Параболический тренд записывается в виде. Инструменты прогнозирования в Microsoft Excel

Самым простым типом линии тренда является прямая ли­ния, описываемая линейным (т.е. первой степени) уравнением тренда: где - выровненные, т.е. лишенные колебаний, уровни тренда для лет с номером i;

а - свободный член уравнения, численно равный среднему выровненному уровню для момента или периода времени, принятого за начало отсчета, т.е. для t =0;

b - средняя величина изменения уровней ряда за единицу из­менения времени;

ti - номера моментов или периодов времени, к которым от­носятся уровни временного ряда (год, квартал, месяц, дата).

Среднее изменение уровней ряда за единицу времени - глав­ный параметр и константа прямолинейного тренда. Следова­тельно, этот тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерных изменений уровней: равных в среднем абсолютных приростов или абсолютных сокращений уровней за равные промежутки времени.

Графическое изображение прямолинейного тренда - прямая линия в системе прямоугольных координат с линейным (ариф­метическим) масштабом на обеих осях.

Основные свойства тренд а в форме прямой линии таковы:

Равные изменения за равные промежутки времени;

Если средний абсолютный прирост - положительная вели­чина, то относительные приросты или темпы прироста посте­пенно уменьшаются;

Если среднее абсолютное изменение - отрицательная вели­чина, то относительные изменения или темпы сокращения по­степенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню;

Если тенденция к сокращению уровней, а изучаемая вели­чина является по определению положительной, то среднее изме­нение b не может быть больше среднего уровня а;

При линейном тренде ускорение, т.е. разность абсолютных изменений за последовательные периоды, равно нулю.

Параболический тренд и его свойства. Под названием параболического будем иметь в виду тренд, выраженный параболой II порядка с уравнением

=a+b*t+c*t 2

Значения (смысл, сущность) параметров параболы II поряд­ка таковы: свободный член а - это средний (выровненный) уро­вень тренда на момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. t = 0; b - это средний за весь период среднегодовой прирост, который уже не является константой, а изменяется рав­номерно со средним ускорением, равным 2 с, которое и служит константой, главным параметром параболы II порядка.

Следовательно, тренд в форме параболы II порядка при­меняется для отображения таких тенденций динамики, кото­рым свойственно примерно постоянное ускорение абсолютных изменений уровней.

Основные свойства тренда в форме параболы II порядка та­ковы:

1) неравные, но равномерно возрастающие или равномерно убывающие абсолютные изменения за равные промежутки вре­мени;

2) парабола, рассматриваемая относительно ее математи­ческой формы, имеет две ветви: восходящую с увеличением уровней признака и нисходящую с их уменьшением. Но отно­сительно статистики по содержанию изучаемого процесса из­менений трендом, выражающим определенную тенденцию развития, чаще всего можно считать только одну из ветвей: либо восходящую, либо нисходящую. В особых, более конк­ретных, ситуациях мы не отрицаем возможности объединения обеих ветвей в единый тренд;

3) так как свободный член уравнения а как значение показа­теля в начальный момент (период) отсчета времени, как правило, величина положительная, то характер тренда определяется знаками параметров b и с:

а) при b >0 и с>0 имеем восходящую ветвь, т.е. тенденцию к ускоренному росту уровней;

б) при b <0 и с<0 имеем нисходящую ветвь - тенденцию к ускоренному сокращению уровней;

в) при b > 0 и с<0 имеем либо восходящую ветвь с замедляю­щимся ростом уровней, либо обе ветви параболы, восходящую и нисходящую, если их по существу можно считать единым про­цессом;

г) при b <0 и с>0 имеем либо нисходящую ветвь с замедляю­щимся сокращением уровней, либо обе ветви - нисходящую и восходящую, если их можно считать единой тенденцией;

4) при параболической форме тренда, в зависимости от со­отношений между его параметрами, цепные темпы изменений могут либо уменьшаться, либо некоторое время возрастать, но при достаточно длительном периоде рано или поздно темпы роста обязательно начинают уменьшаться, а темпы сокращения уровней при b <0 и с<0 обязательно начинают возрастать (по абсолютной величине относительного изменения).

Экспоненциальным трендом называют тренд, выраженный уравнением: y i =a*k t i . Свобод­ный член экспоненты а равен выровненному уровню, т.е. уров­ню тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. при t= 0. Основной параметр экспоненциального тренда k является постоянным темпом изменения уровней (цен­ным). Если k> 1, имеем тренд с возрастающими уровнями, при­чем это возрастание не просто ускоренное, а с возрастающим ускорением и возрастающими производными всех более высо­ких порядков. Если k< 1, то имеем тренд, выражающий тенден­цию постоянного, но замедляющегося сокращения уровней, причем замедление непрерывно усиливается. Экстремума экс­понента не имеет и при стремится либо к при k > 1, либо к 0 при k< 1.

Экспоненциальный тренд характерен для процессов, разви­вающихся в среде, не создающей никаких ограничений для рос­та уровня. Из этого следует, что на практике он может развиваться только на ограниченном промежутке времени, так как любая среда рано или поздно создает ограничения, любые ресурсы со временем исчерпаемы.

Основные свойства экспоненциального тренда:

1. Абсолютные изменения уровней тренда пропорциональ­ны самим уровням.

2. Экспонента экстремумов не имеет: при k > 1 тренд стремит­ся к + , при k< 1 тренд стремится к 0.

3. Уровни тренда представляют собой геометр про­грессию: уровень периода с номером t =т есть a*k m .

4. При k > 1 тренд отражает ускоряющийся неравномерно рост уровней, при k < 1 тренд отражает замедляющееся неравномерно уменьшение уровней. Поведение основных показателей дина­мики в этих случаях рассмотрено в табл. 5 и 6.

из различных форм гипербол рассмотрим только наиболее простую:

Если основной параметр гиперболы b>0, то этот тренд вы­ражает тенденцию замедляющегося снижения уровней и при .. Таким образом, свободный член гиперболы - это предел, к которому стремится уровень тренда.

Такая тенденция наблюдается, например (рис. 4), при изу­чении процесса снижения затрат любого ресурса (труда, мате­риалов, энергии) на единицу данного вида продукции или ее себестоимости в целом. Затраты ресурса не могут стремиться к нулю, значит, экспонента не соответствует сущности процесса; нужно применить гиперболическую формулу тренда.

Если параметр b<0, то с возрастанием t, т.е. с течением вре­мени, уровни тренда возрастают и стремятся к величине а при .Такой характер динамики присущ, например, показателям КПД двигателей или иных преобразователей энергии.

Основные свойства гиперболического тренда:

1. Абсолютный прирост или сокращение уровней, ускоре­ние абсолютных изменений, темп изменения - все эти показате­ли не являются постоянными. При b>0 уровни замедленно уменьшаются, отрицательные абсолютные изменения, а также положительные ускорения тоже уменьшаются, цепные темпы из­менения растут и стремятся к 100%.

2. При b<0 уровни замедленно возрастают, положительные абсолютные изменения, а также отрицательные ускорения и цеп­ные темпы роста замедленно уменьшаются, стремясь к 100%.

Как видим, гиперболический тренд описывает в любом слу­чае тенденцию такого процесса, показатели которого со време­нем затухают, т.е. происходит переход от движения к застою.

Важной управленческой задачей, решаемой с использованием рядов динамики, является определение общей тенденции развития . На развитие явления во времени могут оказывать влияние различные по своему характеру и силе воздействия факторы. Одни из них оказывают более или менее постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным. При изучении в рядах динамики общей тенденции развития применяются различные приемы и методы. Одним из наиболее элементарных способов изучения общей тенденции в ряду динамики является укрупнение интервалов . Этот способ основан на укрупнении периодов, к которым относятся уровни ряда динамики.

Пример 11.3 . Имеются данные о выпуске продукции группой предприятий по месяцам (млн. руб.):

Для выявления общей тенденции роста выпуска продукции произведем укрупнение интервалов. Для этой цели исходные (месячные) данные о выработке продукции объединяем в квартальные и получаем показатели выпуска продукции группой предприятий по кварталам:

I - 64,5;

II - 76,9;

III - 78,8;

IV - 85,9.

В результате укрупнения интервалов общая тенденция роста выпуска продукции данной группой предприятий выступает отчетливо:

64,5

1. 
   Метод скользящей средней.

Выявление общей тенденции ряда динамики можно произвести путем сглаживания ряда динамики с помощью метода скользящей средней . Сущность этого приема состоит в том, что по исходным уровням ряда (эмпирическим данным) определяют расчетные (теоретические) уровни. При этом посредством осреднения эмпирических данных индивидуальные колебания погашаются и общая тенденция развития явления выражается в виде некоторой плавной линии (теоретические уровни).

Основное условие применения этого метода состоит в вычислении звеньев подвижной (скользящей) средней из такого числа уровней ряда, которое соответствует длительности наблюдаемых в ряду динамики циклов.

Пример 11.4 . Имеются следующие данные о реализации продукции по городу (среднедневная выручка в сопоставимых ценах):

Квартал	Год
	1	2	3	4
I	175	247	420	426
II	263	298	441	449
III	326	366	453	482
IV	2973	341	399	460

Специфический для данного явления характер колебаний уровней ряда можно видеть из графического представления исходных (эмпирических) данных (рис. 11.1).

Увеличение уровней объема реализации во II и III кварталах и относительное их снижение в IV квартале характерны для каждого из представленных годовых периодов. Для выражения общей тенденции развития явления методом сглаживания рядов динамики необходимо прежде всего определить по эмпирическим данным скользящие средние.

Для ряда внутригодовой динамики с сезонными циклами развития явления по одноименным кварталам года применяют четырехчленные скользящие средние. Расчет состоит в определении средних величин из четырех уровней ряда с отбрасыванием при вычислении каждой новой средней одного уровня ряда слева и присоединением одного уровня справа. Применительно к исходным данным получаем 13 средних.

Особенность сглаживания по четному числу уровней состоит в том, что каждая из исчисленных четырехчленных средних относится к соответствующим промежуткам между смежными кварталами. Так, первая средняя относится к промежутку между II и III кварталом 1-го года, вторая - к промежутку между III и IV кварталом 2-го года и т.д.

Для получения значений сглаженных уровней соответствующих кварталов необходимо произвести центрирование расчетных средних. Так, для определения сглаженного среднего уровня III квартала 1-го года произведем центрирование первой и второй средних. Для определения сглаженного среднего уровня IV квартала 1-го года произведем центрирование второй и третьей средних. Ход расчета необходимых данных для получения средних (теоретических) уровней представим в таблице сглаживания ряда.

Период	Исходный уровень	Средняя из суммы четырех уровней ряда	^ Сглаженный средний уровень (с центрированием)
1	175	1061:4 = 265,25	274,25
2	263
3	326
4	297	1033:4 = 283,25	287,60
5	247	1168:4 = 292,00	297,00
6	298	1208:4 = 302,00	307,50
7	366	1252:4 = 313,00	334,60
8	341	1425:4 = 356,35	374,10
9	420	1568:4 = 392,00	402,90
10	441	1655:4 = 413,75	421,00
11	453	1713:4 = 428,25	429,00
12	399	1719:4 = 429,75	430,75
13	426	1727:4=431,75	435,37
14	449	1756:4 = 439,00	446,62

Недостатком способа сглаживания рядов динамики является то, что полученные средние не дают теоретических закономерностей (моделей) рядов, в основе которых лежала бы математически выраженная закономерность и это позволяло бы не только выполнить анализ, но и прогнозировать динамику ряда на будущее.

Значительно более совершенным приемом изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание . При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены усредненно с помощью определенных математических функций. Путем теоретического анализа выявляется характер развития явления и на этой основе выбирается то или иное математическое выражение типа изменения явления: по прямой, по параболе второго порядка, показательной (логарифмической) кривой и т.п.

1. 
   ^ Трендовые модели временных рядов и МНК.

Уровни временных рядов формируются под совокупным влиянием множества длительно и кратковременно действующих факторов, в т.ч. различного рода случайностей. Изменение условий развития явления приводит к более или менее интенсивной смене самих факторов, к изменению силы и результативности их воздействия и, в конечном счете, к вариации уровня изучаемого явления во времени.

Динамика рядов экономических показателей в общем случае складывается из четырех компонентов :

1) тенденции, характеризующей долговременную основную закономерность развития исследуемого явления;

2) периодичного компонента, связанного с влиянием сезонности развития изучаемого явления;

3) циклического компонента, характеризующего циклические колебания, свойственные любому воспроизводству;

4) случайного компонента как результата влияния множества случайных факторов.

Тенденция - некоторое общее направление развития. Тенденцию ряда динамики представляют в виде гладкой кривой (траектории), которая аналитически выражается некоторой функцией времени, называемой трендом . Тренд характеризует основную закономерность движения во времени, свободную в основном (но не полностью) от случайных воздействий.

В зависимости от вида функции различают следующие основные формы тренда.

^ Линейная форма тренда:

y e = at + b , (11.1)

где у - уровни, освобожденные от колебаний, выровненные по прямой;

b - начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени;

а - среднегодовой абсолютный прирост (среднее изменение за единицу времени t; константа тренда).

^ Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям. Равнодействующая этих факторов при взаимном погашении особенностей отдельных факторов (ускорение, замедление, нелинейность) часто выражается в примерно постоянной абсолютной скорости изменения, т.е. в прямолинейном тренде.

^ Параболическая форма тренда:

у = а + bt + ct 2 , (11.2)

где с - квадратический параметр, равный 1/2 ускорения; константа параболического тренда.

^ Параболический тренд выражает ускоренное или замедленное изменение уровней ряда с постоянным ускорением. Такой характер развития можно ожидать при наличии важных факторов прогрессивного (регрессивного) развития.

^ Экспоненциальная форма тренда:

где k - темп изменения в разах;

e - константа тренда.

Если k > 1, экспоненциальный тренд выражает тенденцию ускоренного и все более ускоряющегося возрастания уровней. При росте по экспоненте абсолютный прирост пропорционален достигнутому уровню. Так росло население Земли в эпоху «демографического взрыва» в XX столетии.

При k
^ Логарифмическая форма тренда:

y = а + b log(t) . (11.4)

Логарифмический тренд пригоден для отображения тенденции замедляющегося роста уровней при отсутствии предельного возможного значения.

Для определения параметров уравнения тренда применяют метод наименьших квадратов (МНК) . Применение МНК для определения параметров линейного тренда y e = at + b дает систему двух линейных уравнений, решение которой выбирается таким образом, чтобы Σ t = 0. В рядах с нечетным числом членов это выполняется при условии, что для центрального члена ряда t = 0 и вправо t - +1, +2, +3..., а влево: -1, -2, -3...

Пример 11.4 . Реализация молочной продукции в магазинах группы городов по кварталам 1995-1998 гг. характеризуется следующими данными:

Период	Реализовано продукции, тыс. тонн
1995 г.
I квартал	39,9
II квартал	65,5
III квартал	63,9
IV квартал	38,5
1996 г.
I квартал	38,1
II квартал	82,3
III квартал	83,4
IV квартал	45,1
1997 г.
I квартал	45,9
II квартал	101,5
III квартал	103,8
IV квартал	63,8
1998 г.
I квартал	55,7
II квартал	115,5
III квартал	121,7
IV квартал	65,5

^ Существенной особенностью данного ряда является наличие ярко выраженной тенденции роста. Темп роста (базисный относительно 1995 г.) t = 172,97%.

Во многих случаях, когда в рядах динамики наблюдаются явно выраженные периодические колебания, для описания тренда следует использовать

Прогнозирование – это очень важный элемент практически любой сферы деятельности, начиная от экономики и заканчивая инженерией. Существует большое количество программного обеспечения, специализирующегося именно на этом направлении. К сожалению, далеко не все пользователи знают, что обычный табличный процессор Excel имеет в своем арсенале инструменты для выполнения прогнозирования, которые по своей эффективности мало чем уступают профессиональным программам. Давайте выясним, что это за инструменты, и как сделать прогноз на практике.

Целью любого прогнозирования является выявление текущей тенденции, и определение предполагаемого результата в отношении изучаемого объекта на определенный момент времени в будущем.

Способ 1: линия тренда

Одним из самых популярных видов графического прогнозирования в Экселе является экстраполяция выполненная построением линии тренда.

Попробуем предсказать сумму прибыли предприятия через 3 года на основе данных по этому показателю за предыдущие 12 лет.

Способ 2: оператор ПРЕДСКАЗ

Экстраполяцию для табличных данных можно произвести через стандартную функцию Эксель ПРЕДСКАЗ . Этот аргумент относится к категории статистических инструментов и имеет следующий синтаксис:

ПРЕДСКАЗ(X;известные_значения_y;известные значения_x)

«X» – это аргумент, значение функции для которого нужно определить. В нашем случае в качестве аргумента будет выступать год, на который следует произвести прогнозирование.

«Известные значения y» — база известных значений функции. В нашем случае в её роли выступает величина прибыли за предыдущие периоды.

«Известные значения x» — это аргументы, которым соответствуют известные значения функции. В их роли у нас выступает нумерация годов, за которые была собрана информация о прибыли предыдущих лет.

Естественно, что в качестве аргумента не обязательно должен выступать временной отрезок. Например, им может являться температура, а значением функции может выступать уровень расширения воды при нагревании.

При вычислении данным способом используется метод линейной регрессии.

Давайте разберем нюансы применения оператора ПРЕДСКАЗ на конкретном примере. Возьмем всю ту же таблицу. Нам нужно будет узнать прогноз прибыли на 2018 год.

Но не стоит забывать, что, как и при построении линии тренда, отрезок времени до прогнозируемого периода не должен превышать 30% от всего срока, за который накапливалась база данных.

Способ 3: оператор ТЕНДЕНЦИЯ

Для прогнозирования можно использовать ещё одну функцию – ТЕНДЕНЦИЯ . Она также относится к категории статистических операторов. Её синтаксис во многом напоминает синтаксис инструмента ПРЕДСКАЗ и выглядит следующим образом:

ТЕНДЕНЦИЯ(Известные значения_y;известные значения_x; новые_значения_x;[конст])

Как видим, аргументы «Известные значения y» и «Известные значения x» полностью соответствуют аналогичным элементам оператора ПРЕДСКАЗ , а аргумент «Новые значения x» соответствует аргументу «X» предыдущего инструмента. Кроме того, у ТЕНДЕНЦИЯ имеется дополнительный аргумент «Константа» , но он не является обязательным и используется только при наличии постоянных факторов.

Данный оператор наиболее эффективно используется при наличии линейной зависимости функции.

Посмотрим, как этот инструмент будет работать все с тем же массивом данных. Чтобы сравнить полученные результаты, точкой прогнозирования определим 2019 год.

Способ 4: оператор РОСТ

Ещё одной функцией, с помощью которой можно производить прогнозирование в Экселе, является оператор РОСТ. Он тоже относится к статистической группе инструментов, но, в отличие от предыдущих, при расчете применяет не метод линейной зависимости, а экспоненциальной. Синтаксис этого инструмента выглядит таким образом:

РОСТ(Известные значения_y;известные значения_x; новые_значения_x;[конст])

Как видим, аргументы у данной функции в точности повторяют аргументы оператора ТЕНДЕНЦИЯ , так что второй раз на их описании останавливаться не будем, а сразу перейдем к применению этого инструмента на практике.

Способ 5: оператор ЛИНЕЙН

Оператор ЛИНЕЙН при вычислении использует метод линейного приближения. Его не стоит путать с методом линейной зависимости, используемым инструментом ТЕНДЕНЦИЯ . Его синтаксис имеет такой вид:

ЛИНЕЙН(Известные значения_y;известные значения_x; новые_значения_x;[конст];[статистика])

Последние два аргумента являются необязательными. С первыми же двумя мы знакомы по предыдущим способам. Но вы, наверное, заметили, что в этой функции отсутствует аргумент, указывающий на новые значения. Дело в том, что данный инструмент определяет только изменение величины выручки за единицу периода, который в нашем случае равен одному году, а вот общий итог нам предстоит подсчитать отдельно, прибавив к последнему фактическому значению прибыли результат вычисления оператора ЛИНЕЙН , умноженный на количество лет.

Как видим, прогнозируемая величина прибыли, рассчитанная методом линейного приближения, в 2019 году составит 4614,9 тыс. рублей.

Способ 6: оператор ЛГРФПРИБЛ

Последний инструмент, который мы рассмотрим, будет ЛГРФПРИБЛ . Этот оператор производит расчеты на основе метода экспоненциального приближения. Его синтаксис имеет следующую структуру:

ЛГРФПРИБЛ (Известные значения_y;известные значения_x; новые_значения_x;[конст];[статистика])

Как видим, все аргументы полностью повторяют соответствующие элементы предыдущей функции. Алгоритм расчета прогноза немного изменится. Функция рассчитает экспоненциальный тренд, который покажет, во сколько раз поменяется сумма выручки за один период, то есть, за год. Нам нужно будет найти разницу в прибыли между последним фактическим периодом и первым плановым, умножить её на число плановых периодов (3) и прибавить к результату сумму последнего фактического периода.

Прогнозируемая сумма прибыли в 2019 году, которая была рассчитана методом экспоненциального приближения, составит 4639,2 тыс. рублей, что опять не сильно отличается от результатов, полученных при вычислении предыдущими способами.

Мы выяснили, какими способами можно произвести прогнозирование в программе Эксель. Графическим путем это можно сделать через применение линии тренда, а аналитическим – используя целый ряд встроенных статистических функций. В результате обработки идентичных данных этими операторами может получиться разный итог. Но это не удивительно, так как все они используют разные методы расчета. Если колебание небольшое, то все эти варианты, применимые к конкретному случаю, можно считать относительно достоверными.

Если изучаемый процесс приводит к замедлению роста ка­кого-то показателя, но при этом рост не прекращается, не стремится к какому-либо ограниченному пределу, то гипербо­лическая форма тренда уже не подходит. Тем более не подходит парабола с отрицательным ускорением, по которой замедляю­щийся рост перейдет со временем в снижение уровней. В указан­ном случае тенденция изменения лучше всего отображается логарифмической формой тренда: i = а + b lnt i .

Логарифмы возрастают значительно медленнее, чем сами числа (номера периодов t i ), но рост логарифмов неограничен. Подбирая начало отсчета периодов (моментов) времени, мож­но найти такую скорость снижения абсолютных изменений, ко­торая наилучшим образом отвечает фактическому временному ряду.

Примером тенденций, соответствующих логарифмическому тренду, может служить динамика рекордных достижений в спорте: известно, что увеличение на 1 см рекорда прыжка в вы­соту или снижение на 0,1 с времени бега на 200 или 400 м требует все больших и больших затрат времени, каждый рекорд дается все большим и большим трудом. В то же время нет и «вечных» рекордов, все спортивные достижения улучшаются, но медлен­нее и медленнее, т.е. по логарифмическому тренду. Нередко та­кой же характер динамики присущ на отдельных этапах развития динамике урожайности или валового сбора какой-то культуры в данном регионе, пока новое агротехническое достижение не при­даст снова тенденции ускорения, что иллюстрирует рис. 4.5.

Рис. 4.5. Динамика валового сбора чая в Китае

Конечно, характер тенденции маскируется колебаниями, но видно, что рост валового сбора замедляется. Это показывают и средние уровни сбора чая:

за 1978-1983 гг. средний сбор равен 333 тыс. т;

за 1984-1989 гг. средний сбор равен 483 тыс. т, рост на 150 тыс. т;

за 1990-1994 гг. средний сбор равен 566 тыс. т, рост на 83 тыс. т.

На рис. 4.5 для убедительности нанесен и логарифмический тренд. Заметны также 5-6-летние циклические колебания валового сбора чая.

Основные свойства логарифмического тренда:

1. Если b >0, то уровни возрастают, но с замедлением, а если b < 0, то уровни тренда уменьшаются, тоже с замедлением.

Можно сделать общий вывод о том, что логарифмический тренд отражает, так же как и гиперболический тренд, посте­пенно затухающий процесс изменений. Различие состоит в том, что затухание по гиперболе происходит быстро при приближе­нии к конечному пределу, а при логарифмическом тренде зату­хающий процесс продолжается без ограничения гораздо медленнее.

4.6. Логистический тренд и его свойства

Логистическая форма тренда подходит для описания такого процесса, при котором изучаемый показатель проходит полный цикл развития, начиная, как правило, от нулевого уровня, сна­чала медленно, но с ускорением возрастая, затем ускорение ста­новится нулевым в середине цикла, т.е. рост происходит по линейному тренду, затем, в завершающей части цикла, рост за­медляется по гиперболе по мере приближения к предельному значению показателя.

Примером такого цикла динамики может служить измене­ние доли грамотного населения в стране, например в России, с 1800 г. до наших дней, или изменение доли семей, имеющих те­левизоры, примерно с 1945 до 2000 г. в России, доли жилищ в городах, имеющих горячее водоснабжение или центральное ото­пление (процесс, еще не законченный). В некоторых зарубеж­ных программах для компьютеров логистическая кривая называется S -образной кривой.

Можно, конечно, логистическую тенденцию считать объе­динением трех разных по типу тенденций: параболической с ускоряющимся ростом на первом этапе, линейной - на вто­ром и гиперболической с замедляющимся ростом - на третьем этапе. Но есть доводы и в пользу рассмотрения всего цикла развития как особого единого типа тенденции со сложными, переменными свойствами, но постоянным направлением из­менений в сторону увеличения уровней в рассмотренных нами примерах или уменьшения уровней, если взять противополож­ный процесс - сокращение доли неграмотных среди населе­ния, доли жилищ, не оборудованных газоснабжением или центральным отоплением, и т.д.

Рассмотрение таких временных рядов, как проявление еди­ной логистической тенденции, позволяет уже на первом этапе рассчитать всю траекторию развития, определить сроки пере­хода от ускоренного роста к замедленному, что чрезвычайно важно при планировании производства или реализации нового вида товара, спрос на который будет проходить все этапы логи­стической тенденции вплоть до насыщения рынка. Так, напри­мер, обеспеченность населения в России автомобилями в конце 1980-х годов находилась на начальном этапе логистической кри­вой, и это означало, что предстоит еще ряд лет или даже десяти­летий ускоренного роста спроса. В то же время обеспеченность фотоаппаратами уже достигла этапа замедления роста и это означало, что расширять производство или импорт прежних типов фотоаппаратов не следует. Расширение их рынка возмож­но было только для принципиально новых типов фотоаппара­тов, насыщенность которыми еще находится в самом начале первого этапа.

В вышеописанном диапазоне изменения уровней, т.е. от нуля до единицы, уравнение логистического тренда имеет вид:

При а 0 >0, а 1 <0 с ростом номеров периодов времени t i полу­чаем логистическую тенденцию роста уровней, причем если нужно начать рост почти от нулевой величины, то а 0 должно быть примерно равно 10, тогда при t = 1
= 0,000123 . Чембольше модуль а 1 , тем быстрее будут возрастать уровни. При а 0 <0, а 1 >0 имеем логистический тренд со снижением уровней, причем, если снижение должно начаться почти от единицы, то а 0 должно быть примерно равно -10. Чем больше а 1 , тем быст­рее будут снижаться уровни, например, при а 0 = -10; а 1 = 1, уже при t i = 20 уровни снизятся почти до нуля.

Если же диапазон изменения уровней ограничен не нулем и единицей, а любыми значениями, определяемыми исходя из су­щества задачи, обозначаемыми у max и у min , , то формула логис­тического тренда принимает вид:

Рисунок 7. Экспоненциальный тренд

Экспоненциальный тренд описывает процессы, развивающиеся в условиях отсутствия значимых ограничений изменения уровня. Уровни тренда представляют собой геометрическую прогрессию. Очевидно, что обычно он имеет место на ограниченных отрезках времени.

Основное выражение гиперболического тренда

Рисунок 8. Гиперболический тренд

Свободный член уравнения, таким образом – это предел, к которому стремятся уровни ряда. Такая тенденция характерна для процессов демонстрирующих тенденцию к замедляющемуся снижению значений показателя, которые, однако, не могут уменьшиться более некоторого нижнего значения. Например, такими свойствами могут обладать тенденции снижения затрат на производство . В случае b < 0 с течением времени уровни тренда, наоборот, возрастают, стремясь к а .

Если изучаемый и прогнозируемый процесс приводит к замедлению роста показателя, но не вызывает прекращения роста, то вполне адекватным отображением тенденции может стать уравнение логарифмического тренда:

.

Рисунок 9. Логарифмический тренд

Подбирая начало отсчета периодов, можно найти такую скорость изменений, которая наиболее точно отвечает фактическому временному ряду .

Логистическая форма уравнения тренда подходит для описания процесса, когда изучаемый показатель проходит полный цикл развития, начиная от нижнего (как правило, нулевого) уровня, сначала медленно с ускорением возрастая, после чего тенденция становится приблизительно прямолинейной. В завершающей части цикла рост замедляется по гиперболе по мере приближения к пределу. В некоторых зарубежных прикладных пакетах статистического анализа логистическая кривая называется S-образной кривой.

Можно считать логисту объединением сразу трех видов тенденций: парабола – прямая – гипербола. Но есть и доводы за рассмотрение логистического тренда как самостоятельного. Его выделение позволяет уже на первом этапе определить всю траекторию развития явления, выяснить сроки перехода от ускоренного роста к замедленному, что может оказаться весьма важно для прогноза.

Рисунок 10. Логистический тренд

При изменении уровней от нулевого уравнение тренда по логисте имеет вид

.

При а0 > 0 и а1 < 0 с ростом номера периодов времени будет иметь место тенденция роста уровней. Если нужно начать рост почти с нуля, то должно быть а0 ≈ 10 . Чем больше будет модуль а1 , тем быстрее будут возрастать уровни. При а1 < 0 и а2 > 0 имеет место тренд снижения уровней ряда, если нужно начать снижение почти от 1 , то должно быть а0 ≈ –10 . Чем больше будет а1 , тем быстрее будут снижаться уровни.

Если диапазон изменения уровней ограничен не нулем и единицей, а обозначенными исходя из условий ymax и ymin , то формула логистического тренда примет вид

Графическое отображение во многих случаях позволяет приближенно выявить вид тип уравнения, наиболее адекватный тенденции временного ряда. Но при этом следует соблюдать некоторые правила построения графика. Требуется точное соблюдение масштаба как по величине уровней ряда, так и по шкале времени. Время откладывается обычно по оси абсцисс, величины уровней – по оси ординат. По каждой оси следует установить такой масштаб, чтобы ширина графика была примерно в 1,5 раза больше его высоты. Если уровни ряда различаются в десятки, сотни, тысячи раз, ось ординат имеет смысл разместить в логарифмическом представлении, равные отрезки будут означать различие уровней в одинаковое число раз. Тогда изменится и интерпретация графика: при линейном масштабе прямая будет означать прямолинейную тенденцию, при логарифмическом – экспоненту. Нужно соблюдать равенство величин, отображающих время на горизонтальной оси, тут логарифмическая шкала не рекомендуется, это значительно осложнит прочтение графика.

Но графический метод не всегда дает хороший результат. Например, таким путем трудно бывает отличить параболу от экспоненты, логарифмическую кривую от гиперболы и т. д. Хотя специализированные прикладные программные пакеты значительно облегчают анализ, в них нередко встроены средства быстрого расчета и нанесения на график линии тренда в соответствии с различными предположениями о его характере (например, нанесение линии тренда на диаграммы в MS Excel). Кроме того, не всегда вариант уравнения тренда, «лучший» внешне, является лучшим с аналитической и статистической точек зрения. Поэтому имеет смысл использовать и иные методы определения типа уравнения тренда: метод последовательных разностей , МНК (выбор уравнения тенденции, дающего наименьшую сумму квадратов отклонений)…

3.1.3. Особенности прогнозирования на основе трендовых моделей

Трендовое прогнозирование обладает свойств:

Для крупных сложных объектов и систем, обладающих большой инерционностью развития, прогноз по тренду, выявленному на базе изучения предыдущего развития, как правило, вполне реален и надежен;

Выясненные параметры тренда (то есть константы аппроксимирующих тренд выражений) должны быть статистически надежны, что достаточно легко проверить. Если они не надежны, то ненадежен и прогноз;

Срок упреждения прогноза должен быть не более половины периода основания прогноза (лучше – не более трети). То есть, если период основания прогноза, в рамках которого изучалась тенденция явления, составляет, скажем, 30 лет, то возможных период упреждения – 10 – 15 лет максимум.

У прогнозирования на базе временных рядов с помощью выясненной тенденции развития есть некоторые преимущества перед другими методами прогнозирования, есть и недостатки.

Уравнение тренда имеет преимущества перед «обычной» статистической регрессией по потенциальной ширине охвата факторов, влияющих на динамику изучаемого явления. Коэффициент при номере пе­риода в уравнении тренда – это комплексный коэффициент регрессии при всех реальных факто­рах, влияющих на уровень изменяющегося показателя, которые сами изменяются во времени. «Обычная» регрессия (которая, кстати, составляет основу эконометрических моделей) позволяет учесть только часть факторов, влияние остальных «списывается» на ошибку регрессии.

Второе преимущество состоит в том, что уравнение тренда есть модель динамики процесса, и на ее основании мы прогно­зируем динамику, т. е. логическая основа тренда соответствует задаче. Напротив, уравнение многофакторной регрессии – это модель вариации уровня показателя в статической совокупнос­ти. Логическая база прогноза по многофакторной регрес­сии в статике не совсем адекватна задаче прогнозирования.

Последнее, хотя и не очень существенное преимущество про­гноза по тренду заключается в том, что для него не требуется большого объема исходной информации о факторах, как для множественной регрессии. Достаточ­но однородного по характеру тенденции периода, допустим, за 20 – 25 лет.

Но прогноз на основе временного тренда может не давать корректных результатов в случае высокой нестабильности объекта предсказания. Нет возможности проигрывать разные вариан­ты прогноза при разных сочетаниях значений факторов, что обычно делается при прогнозе по регрессионной модели с уп­равляемыми факторами (то есть сделать прогноз действительно вариативным). Кроме того, наилучшие результаты трендовое прогнозирование дает на относительно коротких периодах упреждения (краткосрочный, если по годам – среднесрочный прогноз).

Прогноз производится по такому общему алгоритму:

1. упорядочение прошлых данных;

2. сглаживание временного ряда;

3. выделение тренда;

4. определение уравнения тренда;

5. расчет прогнозного значения;

6. оценка доверительного интервала с заданной вероятностью.

В процессе выяснения тренда показателя может потребоваться учет повторяющихся колебаний в рамках самой основной тенденции, своего рода тренда внутри тренда. В данном случае речь идет о периодической колеблемости неслучайного характера, например, о сезонности. В этом случае трендовую модель имеет смысл дополнить до модели тренда и сезонности.

Такую коррекцию можно провести с помощью индексов сезонности. Сезонность – явление, имеющее обычно ежегодную повторяемость. Для ее определения желательно проанализировать данные по 7-ми – 10-ти периодам, в которых имеет она место. Можно обойтись и меньшим числом периодов (например, лет), но тогда достоверность наличия выявленной закономерности снижается.

Можно рассчитывать индексы сезонности как собой частное от деления отдельных уровней ряда на средний по всему ряду, для которого определяется сезонность, уровень. Например, сезонность в рамках года определима индексами, получаемыми в результате деления месячных уровней на среднемесячное значение уровня ряда за весь год. Умножение на 100 даст величину индекса в процентах.

Возможен и расчет сезонных индексов с использованием весов. Тогда используется несколько иной алгоритм расчетов. Обратимся к примеру расчета квартальной сезонности в течение года на основе помесячных данных за несколько лет:

1. определяются индексы сезонности путем соотнесения эмпирических данных (yi ) с рассчитанными по уравнению тренда (https://pandia.ru/text/78/235/images/image028_9.gif" width="71" height="61">;

2..gif" width="21 height=28" height="28">) для каждого уже укрупненного периода времени – собственно сезона (квартал). Роль весов играют средние значения уровней ряда для годов, рассчитанные ранее, где – индексы сезонности по месяцам:

.

Учет периодической колеблемости может осуществляться и иными способами (например, на основе рядов Фурье).

3.2. Эконометрическое моделирование

3.2.1. Общее понятие эконометрических моделей

Эконометрические модели (в основе которых лежат методы статистики, точнее – регрессионного анализа) из всех формализованных методов прогнозирования используются, возможно, наиболее часто (по крайней мере, за рубежом).

В качестве самостоятельной отрасли знания эконометрика оформилась в начале 30-х годов XX века. Термины «эконометрика» и «эконометрия» стали общеупотребительными благодаря норвежскому экономисту Р. Фришу. Согласно Р. Фришу, эконометрика объединяет «как чистую экономическую теорию , так и статистическую проверку законов чистой экономической теории». Более конкретно: «сущность эконометрики заключается во взаимном переплетении количественной экономической теории и статистических оценок». Отсюда следует, что к числу эконометрических относятся отнюдь не все модели, а лишь такие, которые позволяют проводить статистические операции. Существует не мало моделей и развернутых на их основе «количественных теорий», являющихся экономико-математическими, но вовсе не эконометрическими. Поскольку за каждой переменной эконометрической модели стоит определенный статистический индикатор, с той или иной точностью измеряющий какую-то сторону хозяйственного механизма, расчеты на базе этой модели, как правило, имеют достаточно высокую практическую ценность. Они могут быть использованы при выработке экономической политики государства , рыночной стратегии фирмы и решении других конкретных задач.

Методологическая особенность эконометрики заключается в применении общих гипотез о статистических свойствах экономических параметров и ошибок при их измерении. Полученные при этом результаты могут оказаться нетождественными тому содержанию, которое вкладывается в реальный объект. Поэтому важная задача эконометрики – создание как более универсальных, так и специальных методов для обнаружения наиболее устойчивых характеристик в поведении реальных экономических показателей. Эконометрика разрабатывает методы «подгонки» формальной модели с целью наилучшего имитирования ею поведения моделируемого объекта на основе гипотезы о том, что отклонение модельных параметров от реально наблюдаемых случайны и вероятностные характеристики их известны.

Главным инструментом эконометрики служит эконометрическая модель – модель факторного анализа , параметры которой оцениваются средствами математической статистики. Такая модель выступает в качестве средства анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов на основе реальной статистической информации.

Можно выделить два основных класса эконометрических моделей:

1) Регрессионные модели с одним уравнением. В таких моделях зависимая (объясняемая) переменная Y представляется в виде функции , где x 1 , …, хn – независимые (объясняющие) переменные, β1, …, β m – параметры. В зависимости от вида функции f (x , β) модели делятся на линейные и нелинейные . Например, можно исследовать среднедушевой уровень потребления населения как функцию от уровня доходов населения и численности населения, или зависимость заработной платы от возраста, пола, уровня образования, стажа работы и т. п. По математической форме они могут быть схожи с моделями временных рядов, в которых в качестве независимой переменной выступает значение момента времени

Область применения таких моделей, даже линейных, значительно шире, чем моделей временных рядов. Проблемам теории оценивания, верификации (проверки на практике), отбора значимых параметров и другим посвящен огромный объем литературы. Эта тема – стержневая в эконометрике.

2) Системы одновременных уравнений. Эти модели описываются системами уравнений. Системы могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых (кроме независимых переменных) может включать в себя также зависимые переменные из других уравнений системы. В результате имеется набор зависимых переменных, связанных через уравнения системы, решаемые одновременно. Примером может служить модель Уортона, имеющая очень большую размерность (уортоновская квартальная модель американской экономики содержит более 1 тыс. уравнений).

3.2.2. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов (МНК)

С помощью методов регрессионного анализа, основных для эконометрического моделирования, строятся и проверяются модели, характеризующие связь между одной эндогенной (зависимой) переменной и одной или более экзогенными (независимыми) переменными. Независимые переменные называются регрессором.

Направленность связи между переменными определяется путем предварительного обоснования и включается в модель в качестве исходной гипотезы. Задача регрессионного анализа – проверка статистической состоятельности модели, если данная гипотеза верна. Регрессионный анализ не в состоянии «доказать» гипотезу, он может лишь подтвердить ее статистически или отвергнуть.

Рассмотрим методологию построения регрессионных эконометрических моделей на примере моделей из одного уравнения . Модели в виде системы уравнений, обладая своими особенностями (в частности, при определении параметров-коэффициентов модели) также базируются на ней.

В общем виде регрессионное уравнение выглядит так:

,

где – функция, которая описывает детерминированную составляющую модели (само уравнение регрессии), ε представляет собой «случайную» компоненту.

Обычно наиболее часто для отображения зависимости используются линейные регрессионные уравнения, отображающие зависимость в виде прямой в многомерном пространстве. В случае с парной линейной регрессией это знакомое всем со школы уравнение прямой:

.

Здесь α – постоянная составляющая, то есть даже если х = 0 , то Y все равно будет иметь какое-либо положительное или отрицательное значение; β обычно называют коэффициентом регрессии, он отражает наклон линии графика, вдоль которой рассеяны значения Y , выявленные в результате наблюдения за поведением Y , а не в результате расчетов в соответствии с моделью; ε – ошибка или значение помехи, также называемая остатком. Существование остатка может объяснимо либо тем, что кроме рассматриваемого фактора х на значение зависимой переменной могут влиять и другие факторы, неучтенные в модели, либо трудностями измерения х . Математическое ожидание (среднее значение) ошибки ε равно нулю.

В качестве факторной переменной может учитываться показатель времени t . Тогда мы имеем дело с уравнением тренда. В случае с линейным трендом значения t = 1, 2, 3 … n .

Метод наименьших квадратов (МНК, англ. Ordinary Least Squares , OLS ) является одним из основных методов определения параметров регрессионных уравнений, Он заключается в том, чтобы определить вид кривой, характер которой в наибольшей степени соответствует выраженной эмпирическими данными зависимости. Такая кривая должна обеспечить наименьшее значение суммы квадратов отклонений эмпирических значений величин показателя от значений, вычисленных согласно уравнению этой кривой. Меняя вид теоретических кривых, приближенно отображающих динамику рассматриваемого показателя, пытаются добиться как можно меньшего значения этой разности.

Пусть теоретическая зависимость линейна (парная регрессия, прямая в двухмерном пространстве) и выражена регрессионным уравнением:

Коэффициент b можно определить по формуле

Найдем a , подставив в уравнение прямой, параметры которого находим, значение уже известного параметра b и средние значения x ср и Y ср :

Допустим, связь между двумя показателями парной регрессии выражена функцией

то есть в виде многочлена степени k .

– матрица коэффициентов системы (2.19). В случае, когда величины х i (то есть, в различных наблюдениях i ) различны, столбцы матрицы Х линейно независимы. Тогда вектор-столбец коэффициентов многочлена Y (х) является единственным решением матричного уравнения:

,

где – вектор столбец последовательных значений величины Y . Отсюда a (вектор оценок параметров) может быть найден по формуле:

,

Линейная многомерная регрессионная модель (модель множественной линейной регрессии ) является обобщением модели парной линейной регрессии. Она имеет вид:

где Х mt – значение фактора-регрессора Х m в момент наблюдения t , при α 0 вектор независимых переменных Х0 = (1, 1, …, 1) . В этом случае α 0 – так называемый свободный член. Такая модель с учетом допущений, перечисленных выше, называется нормальной линейной регрессионной моделью .

Удобно будет представить формулу (2.23) в матричном виде. Обозначим через Y вектор-столбец значений зависимой переменной (Y 1 , Y2, …, Yn ) ; α вектор-столбец коэффициентов (α 0 , α 1 , α 2 , …, αm ) ; ε – вектор-столбец стохастических компонент (ошибок) (ε 0 , ε 1 , ε 2 , …, εn ) ; Х – матрица независимых переменных размерности nxm :

Получим матричную запись системы, состоящей из уравнений вида

.

Отсюда, учитывая обратимость матрицы XTX , находим вектор оценок коэффициентов системы, при чем это будет сделано в соответствии с формулой, в точности повторяющей уже знакомую нам формулу:

.

Для обоснованного применения метода наименьших квадратов данные должны соответствовать ряду допущений:

1) Математическая форма зависимости эндогенных переменных от экзогенных переменных модели носит линейный характер (другие типы уравнений, отражающих зависимость значения одной переменной от других, должны быть приведены к линейному виду, прежде чем возможно будет использовать метод наименьших квадратов), и независимые переменные модели являются единственными значимыми факторами, определяющими поведение зависимой переменной;

2) Значение ошибки ε нормально распределено со средней, равной 0 , и постоянной дисперсией , . То есть, хотя значение переменной Y значимо определяется только учтенными в модели факторными признаками, существует также ряд второстепенных факторов, некоторые из которых будут положительно влиять на величину Y , некоторые – отрицательно. В случае множества как положительных, так и отрицательных влияний значение ошибки ε будет нормально распределено. Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами: средней и средним квадратическим отклонением (дисперсией σ 2 ). Чем больше случайных величин действует вместе, тем точнее проявляется закон нормального распределения. Допущение о постоянной дисперсии говорит о постоянности разброса значений ε , вне зависимости от величины значения факторов. Тогда значение ошибки обладает свойством гомоскедастичности . Если разброс значений ошибки ε непостоянен, то имеет место явление гетероскедастичности .

3) Последующие значения ошибок независимы друг от друга, то есть ковариация в парах значений ε равна нулю (cov ε i ε j = 0 ). Это означает, что второстепенные факторы или факторы-причины ошибки для одной из величин Y, не приводят автоматически к ошибкам для всех наблюдений Y . Когда значения ε независимы, то данные неавтокоррелированы. Если же значения ε не являются независимыми, то данные демонстрируют наличие автокорреляции .

4) Независимые переменные являются нестохастическими, то есть их значения для модели детерминированы, заданы изначально.

Процесс построения и использования эконометрических моделей является достаточно сложным и подразумевает следующее:

1) после определения цели исследования необходимо построить систему показателей и логически рассортировать факторы, в наибольшей степени влияющие на каждый показатель;

2) осуществляется выбор формы связи изучаемых показателей между собой и отобранными факторами, другими словами, выбор типа эконометрической модели (линейная, нелинейная, степенная и т. д.);

3) решается проблемы сбора исходных данных и анализа информации;

4) строится эконометрическая модель, то есть определяются ее параметры;

5) проверяется качество построенной модели, в первую очередь ее адекватность изучаемому явлению, после чего модель может быть использована для экономического анализа и прогнозирования.

3.2.3. Отбор переменных эконометрической модели

Особое внимание следует обратить на построение системы показателей и определение совокупности факторов, влияющих на каждый из показателей. К включаемым в эконометрическую модель факторам предъявляются требования:

· включение каждого фактора в модель следует обосновать теоретически;

· целесообразно учитывать только те факторы, которые оказывают существенное влияние на изучаемые показатели, при этом рекомендуется, чтобы количество включаемых в модель факторов не превышало одной трети от числа наблюдений в выборке (длины временного ряда);

· между факторами не должно существовать линейной зависимости, поскольку ее наличие будет означать, что они характеризуют влияние одной и той же по сути причины на показатель. Например, размер заработной платы работников зависит в том числе и от роста производительности труда и от объема выпускаемой продукции. Однако эти два фактора могут быть тесно взаимосвязаны, коррелированны, следовательно в модель целесообразно включить лишь один из них. Включение в модель линейно зависимых факторов приводит к возникновению мультиколлинеарности , которая отрицательно сказывается на качестве модели;

· в одну модель не следует включать какой-либо фактор одновременно с образующими его частными факторами. Это приведет к не соответствующему реальности увеличению их влияния на зависимые переменные модели и, как следствие, к искажению отображения реальной действительности.

При отборе факторов, влияющих на зависимые переменные модели, используются статистические методы отбора. Так, существенного сокращения числа факторов (а значит – сделать модель менее громоздкой) можно достичь с помощью применения пошаговых процедур отбора переменных . Их можно сочетать и с другими подходами к решению проблемы, например, с экспертными методами оценки значимость факторов. Среди пошаговых процедур отбора факторов часто используются процедуры пошагового включения и исключения факторов.

Метод исключения предполагает построение уравнения, включающего некоторую начальную совокупность переменных с последующим последовательным сокращением их числа до тех пор, пока не будет выполнено заданное изначально при составлении уравнения условие. Применение метода включения подразумевает последовательное включение в модель все новых переменных, пока модель не станет соответствовать установленному критерию качества модели. Последовательность включения переменных в модель определяется с помощью частных коэффициентов корреляции: те переменные, для которых значение такого коэффициента, показывающего их связь с исследуемым показателем, больше, чем для прочих, включаются в регрессионное уравнение в первую очередь.

Одним из критериев одновременного включения или невключения нескольких признаков-факторов в модель является их линейная независимость. Если данная предпосылка не выполняется, то возникает явление мультиколлинеарности, то есть наличие сильной корреляции между некоторыми независимыми переменными модели (факторами). В содержательном аспекте мультиколлинеарность приводит к искажению смысла коэффициентов регрессии и затрудненности выявления наиболее влиятельных факторов.

Основные причины мультиколлинеарности: независимые переменные либо характеризуют одно и то же свойство изучаемого явления, либо их влияния являются составными элементами влияния одного и того же признака.

Наиболее распространенным методом выявления мультиколлинеарности является метод корреляции . Устраняют мультиколлинеарность чаще всего исключением одного из таких факторов.

3.2.4. Оценка качества параметров и анализ эконометрической модели

Описывавшиеся выше модели линейной регрессии являются вероятностными, а определяемые на основе метода наименьших квадратов параметры уравнений регрессии – только лишь оценками a и b истинных параметров a и b зависимости эндогенной переменной от некоторых экзогенных. Таким образом, нужно проверить, насколько данные оценки верны относительно истинных коэффициентов. Это осуществляется путем проверки:

­ статистической значимости коэффициентов регрессии;

­ близости расположения фактических данных к рассчитанной линии регрессии.

Оценки коэффициентов регрессии так же, как и ошибка (стохастическая компонента уравнения регрессии), предположительно нормально распределены. Статистическая значимость коэффициентов измеряется степенью вариации вокруг оценочного значения. Для измерения величины вариации нормально распределенных ошибок, остатков используется среднее квадратическое отклонение этих остатков – стандартные ошибки коэффициентов. Для определения степени значимости коэффициентов используется t-критерий . Для того чтобы иметь возможность их определить, нужно узнать оценки их дисперсий и, таким образом, средних квадратических отклонений.

После можно проверить гипотезу относительно коэффициентов либо определить для них доверительные интервалы.

Оценки параметров уравнения парной линейной регрессии. Надежность полученных оценок коэффициентов α и β , очевидно, зависит от дисперсии стохастической компоненты уравнения регрессии ε. Однако по данным выборки значений переменных модели дисперсия ε не может быть оценена, то при анализе надежности оценок коэффициентов регрессии используется дисперсия отклонений эмпирических значений переменной Y от рассчитанных на основе полученного уравнения: еi = Yi – a – bxi.

В случае парной линейной регрессии дисперсия b – оценки β равна:

Дисперсия α равна

мера разброса значений зависимой переменной вокруг линии регрессии – так называемая «необъясненная дисперсия», «остаточная дисперсия». Sa и Sb – стандартные отклонения случайных величинa и b . Коэффициент b – коэффициент наклона линии регрессии. Чем больше разброс значений зависимой переменной вокруг линии регрессии, тем большей (в среднем) окажется ошибка в определении наклона линии регрессии. Если же все значения Y расположены на линии регрессии (ei = 0 , а, значит, σ² = 0 ), то ошибки в определении значений коэффициентов a и b отсутствуют (отсюда – s 2 , соответствующее σ² , равно нулю).

Формально значимость оцененного коэффициента регрессии b может быть проверена с помощью анализа его отношения к своему стандартному отклонению . Эта величина в случае соблюдения исходных предпосылок модели характеризуется t-распределением Стьюдента с n –2 степенями свободы, где n – число наблюдений:

Для t-статистики проверяется гипотеза о равенстве ее нулю. t = 0 будет означать b = 0 .

При оценке коэффициента линейной регрессии можно использовать следующее грубое правило. Если стандартная ошибка коэффициента больше его модуля (│ t │<1 ), то он не может быть признан «хорошим», значимым, поскольку доверительная вероятность при двусторонней альтернативной гипотезе составляет менее приблизительно 0,7 . Если стандартная ошибка меньше модуля коэффициента, но больше его половины (1<│ t │<2 ), то данная оценка коэффициента может рассматриваться как более или менее значимая (доверительная вероятность от 0,7 до 0,95 ). Значение t от 2 до 3 свидетельствует о наличии весьма значимой связи (доверительная вероятность от 0,95 до 0,99 ), │t│>3 означает практически стопроцентное подтверждение ее наличия. Несомненно, в каждом случае определенную роль играет количество наблюдений: чем их больше, тем надежнее при прочих равных условиях выводы о наличии связи и тем меньше граница доверительного интервала для данного числа степеней свободы и уровня значимости. Однако эти различия существенны лишь для малых n , а при n≥10 сформулированные правила приблизительно верны.

Для осуществления проверки значимости оценок коэффициентов регрессии нужно решить, будет ли она односторонней или двусторонней. Выбор определяется теоретическим обоснованием модели связи зависимой и независимой переменных. При этом односторонняя проверка предполагает, что характер связи между X и Y однозначен: либо связь отрицательна, либо положительна, но не то и другое одновременно. При двусторонней проверке исходят из предположения, что связь между X и Y может быть как положительной, так и отрицательной.

С помощью рассчитанных стандартных отклонений и значений t-статистики можно определить доверительный интервал значений α и β с заданной доверительной вероятностью. Предполагаемые значения α и β будут находиться в рамках этого интервала, если же нет, то придется отвергнуть предположение, выдвинутое относительно величины α и β :