Определение и свойства вычетов. Полная система вычетов Алгебраическая форма комплексного числа

или же любые последовательные p числа.

Данная система называется полною системою чисел, не сравнимых по модулю p или же полною системою вычетов по модулю p . Очевидно, что всякие p последовательных чисел образуют такую систему.

Все числа, принадлежащих к одному классу, имеют много общих свойств, следовательно по отношению к модулю их можно рассматривать как одно число. Каждое число, входящее в сравнение как слагаемое или множитель, может быть заменено, без нарушения сравнения, числом, сравнимым с ним, т.е. с числом, принадлежащим к одному и тому же классу.

Другой элемент, который является общим для всех чисел данного класса, является наибольший общий делитель каждого элемента этого класса и модуля p .

Пусть a и b сравнимы по модулю p , тогда

Теорема 1. Если в ax+b вместо x подставим последовательно все p членов полной системы чисел

Поэтому все числа ax+b , где x =1,2,...p -1 не сравнимы по модулю p (в противном случае, числа 1,2,...p -1 были бы сравнимы по модулю p .

Примечания

1) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Литература

• 1. К.Айрленд, М.Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел.− М:Мир, 1987.
• 2. Г.Дэвенпорт. Высшая арифметика.− М:Наука, 1965.
• 3. П.Г. Лежен Дирихле. Лекции по теории чисел. − Москва, 1936.

Совокупность чисел, сравнимых с a по модулю m называется классом чисел по модулю m (или классом эквивалентности). Все числа одного класса имеют вид mt + r при фиксированном r .

При заданном m , r может принимать значения от 0 до m -1, т.е. всего существует m классов чисел по модулю m , и любое целое число попадет в один из классов по модулю m . Таким образом,

Z = m m … [m -1] m , где [r ] m ={x Z: x ≡r (mod m )}

Любое число класса [r ] m называется вычетом по модулю m по отношению ко всем числам того же класса. Число, равное остатку r , называется наименьшим неотрицательным вычетом .

Вычет, наименьший по абсолютной величине, называется абсолютно наименьшим вычетом .

Пример

Возьмем модуль m =5. И пусть a =8. Разделим a на m с остатком:

Остаток r =3. Значит 8 5 , и наименьший неотрицательный вычет числа 8 по модулю 5 есть 3.

Абсолютно наименьший вычет можно отыскать, вычислив r-m=3-5=-2, и сравнив абсолютные величины |-2| и |3|. |-2|<|3|, значит -2 – абсолютно наименьший вычет числа 8 по модулю 5.

Взяв от каждого класса по одному вычету, получим полную систему вычетов по модулю m . Если все эти числа будут являться наименьшими неотрицательными вычетами по модулю m , то такая система вычетов называется полной системой наименьших неотрицательных вычетов , и обозначается Z m .

{0; 1;…; m -1} = Z m – полная система наименьших неотрицательных вычетов.

{– ;…; 0;…; } (если m –нечетное число) ;

{ - ,…,-1, 0, 1,…, } или {- ,…, -1, 0, 1,…, } (если m четное число) – полная система абсолютно наименьших вычетов.

Пример

Если m =11, то полная система наименьших неотрицательных вычетов есть {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, а полная система абсолютно наименьших вычетов – {–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}.

Утверждение 1

Любые m чисел, попарно несравнимые по модулю m , образуют полную систему вычетов по этому модулю.

Доказательство:

Действительно, в силу несравнимости эти числа принадлежат к разным классам, а т.к. их m штук, то в каждый существующий класс попадает ровно одно число.

Утверждение 2

Если (a , m ) = 1, и x пробегает полную систему вычетов по модулю m , то ax +b , где b – любое число из Z, тоже пробегает полную систему вычетов по модулю m .

Доказательство:

Чисел ax +b будет ровно m штук. Остается доказать, что любые 2 числа ax 1 +b и ax 2 +b несравнимы по модулю m , если x 1 x 2 (mod m )

Доказательство от противного. Предположим, что ax 1 +b ≡ ax 2 +b (mod m ) в силу 4-го св-ва сравнений, ax 1 ≡ ax 2 (mod m ) в силу св-ва сравнений №9 и того, что (a , m ) = 1, имеем x 1 ≡ x 2 (mod m ). Получили противоречие с тем, что x 1 x 2 (mod m ). Следовательно, предположение неверно, а значит верно обратное. То есть ax 1 +b и ax 2 +b несравнимы по модулю m , если x 1 x 2 (mod m ), что и требовалось доказать.

Согласно свойству сравнений №15, числа одного и того же класса по модулю m имеют с модулем m один и тот же НОД. Особенно важны классы, для которых он равен 1.

Взяв от каждого из таких классов по одному числу, получим приведенную систему вычетов по модулю m . Обычно ее выделяют из системы наименьших неотрицательных вычетов по модулю m .

Приведенная система наименьших неотрицательных вычетов по модулю m обозначается U m .

Количество чисел в приведенной системе вычетов по модулю m , очевидно, равно φ(m ).

Пример :

Приведенная система вычетов по модулю 15 есть {1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14}. Заметим, что φ(15)=(5–1)∙(3–1)= 8 и действительно, в приведенной системе вычетов по модулю 15 ровно 8 элементов.

Утверждение 1

Любые φ(m ) чисел, попарно несравнимых по модулю m и взаимно простых с m , образуют приведенную систему вычетов.

(Доказательство очевидно как в утверждении 1 пункт 2)

Утверждение 2

Если (a , m ) = 1, x пробегает приведенную систему вычетов по модулю m , то ax тоже пробегает приведенную систему вычетов по модулю m . (Доказательство очевидно как в утверждении 2 пункт 2).

Обратный элемент.

Говорят, что элемент b называется обратным к a по модулю m , если a∙b ≡1(mod m ), и пишут b ≡ a –1 (mod m ).

Вообще, классическая теория чисел не нуждается в таком понятии как обратный элемент, в чем можно убедиться, ознакомившись, например, с . Однако криптология использует системы вычетов как в теоретико-числовом, так и в алгебраическом аспекте, а потому, для удобства изложения алгебраических основ криптологии, мы вводим понятие обратного элемента.

Возникает вопрос – для всех ли элементов по данному модулю m существует обратный (по умножению), и если для каких-то элементов обратный существует, как его найти?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида. Рассмотрим сначала взаимно простые число a и модуль m . Тогда, очевидно, (a ,m )=1. Расширенный алгоритм Евклида позволяет получить числа x и y , такие, что ax+my= (a ,m ), или, что то же самое, ax+my =1. Из последнего выражения получаем сравнение ax+my ≡1(mod m ). Поскольку my ≡0(mod m ), то ax ≡1(mod m ), а значит полученное с помощью расширенного алгоритма Евклида число x как раз и есть искомый обратный элемент к числу a по модулю m .

Пример.

a =5, m =7. Требуется найти a -1 mod m .

Воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида.

Обратный ход:

1=5–2∙2=5–(7–5∙1)∙2=5∙3–7∙2.

x =3, y =–2.

5 -1 ≡3(mod 7)

Проверка: 5∙3=15. 15≡1(mod 7).

Действительно, 3 является обратным элементом к 5 по модулю 7.

Итак, конструктивным образом убедились в том, что для чисел, взаимно простых с модулем, существует обратный по этому модулю. А существуют ли обратные элементы для чисел, не являющихся с модулем взаимно простыми?

Пусть (a ,m )=d ≠1. Тогда a и m представимы в виде a =d ∙a 1 , m =d ∙m 1 . Допустим, что для a существует обратный элемент по модулю m, то есть b : a ∙b ≡1(modm ). Тогда a ∙b= m ∙k +1. Или, что то же самое, d ∙a 1 ∙b= d ∙m 1 ∙k +1. Но тогда по теореме 2 из §1 п.1, в силу того, что и левая часть данного уравнения, и первое слагаемое в правой части делятся на d , то d \1, а это не так, поскольку d ≠1. Пришли к противоречию, следовательно предположение о существовании обратного элемента неверно.

Итак, мы только что доказали

Теорему обратимости

a -1 (mod m ) (a , m ) = 1.

Суммируя все рассуждения этого пункта, можем сказать, что обратимыми являются только взаимно простые с модулем числа, и найти обратные для них можно с помощью расширенного алгоритма Евклида.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

6. 1. Определение 1.

Классом чисел по данному модулю т называется множество всех тех и только тех целых чисел, которые при делении на т имеют один и тот же остаток r, то есть сравнимых по модулю т (т ÎN, т > 1).

Обозначение класса чисел, имеющих остаток r : .

Каждое число из класса называется вычетом по модулю т, а сам класс называется классом вычетов по модулю т.

6. 2. Свойства множества классов вычетов по модулю т :

1) всего по модулю т будет т классоввычетов: Z т = { , , , … , };

2) каждый класс содержит бесконечное множество целых чисел (вычетов) вида: = {a = mq + r / q ÎZ, 0£ r < m }

3) "а Î : а º r (mod m );

4) "а, b Î : а º b (mod m ), то есть любые два вычета, взятые из одного класса, сравнимы по модулю т ;

5) "а Î , "b Î : а b (mod m ), то есть никакие два вычета; взятые из разных классов, несравнимы по модулю т .

6. 3. Определение 3.

Полной системой вычетов по данному модулю т называется любой набор т чисел, взятых по одному и только по одному из каждого класса вычетов по модулю т.

Пример: если m = 5, то {10, 6, – 3, 28, 44} – это полная система вычетов по модулю 5 (причём, не единственная!)

В частности,

множество {0, 1, 2, 3, … , m –1} – это система наименьших неотрицательных вычетов;

множество {1, 2, 3, … , m –1, т }– это система наименьших положительных вычетов.

6. 4. Отметим, что:

если {х 1 , х 2 , … , х т } – полная система вычетов по модулю т , то

.

6. 5. Теорема 1.

Если {х 1 , х 2 , … , х т } – полная система вычетов по модулю т , "а, b Î Z и (а, т ) = 1, – то система чисел {ах 1 + b , ах 2 + b , … , ах т + b }также образует полную систему вычетов по модулю т .

6. 6. Теорема 2.

Все вычеты одного и того же класса вычетов по модулю т имеют с числом т один и тот же наибольший общий делитель: "а, b Î Þ (а; т ) = (b; т ).

6. 7. Определение 4.

Класс вычетов по данному модулю т называется взаимно простым с модулем т , если хотя бы один вычет этого класса – взаимно простой с т.

Заметим, что в этом случае по теореме 2 все числа этого класса будут взаимно простыми с модулем т.

6. 8. Определение 5.

Приведённой системой вычетов по данному модулю т называется система вычетов, взятых по одному и только по одному из каждого класса, взаимно простого с модулем т.

6. 9. Отметим, что:

1) приведённая система вычетов по модулю т содержит j(т ) чисел {х 1 , х 2 ,…, };

2) : .

3) " х i : (х i , m ) = 1;

Пример : Пусть по модулю т = 10 имеется 10классоввычетов:

Z 10 = { , , , , , , , , , }– множество классоввычетов по модулю 10. Полная система вычетов по mod 10 будет, например, такая: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Множество классов вычетов, взаимно простых с модулем m= 10: { , , , }(j(10) = 4).

Приведённая система вычетов по модулю10 будет, например,

{1, 3, 7, 9}, или {11, 43, – 5, 17}, или { – 9, 13, – 5, 77} и т.д. (везде j(10) = 4 числа).

6.10. Практически: чтобы составить одну из возможных приведённых систем вычетов по mod m , нужно из полной системы вычетов по mod m выбрать те вычеты, которые взаимно простые с т. Таких чисел будет j(т ).

6.11. Теорема 3.

Если {х 1 , х 2 ,…, } – приведённая система вычетов по модулю т и

(а , m ) = 1, – то система чисел {ах 1 , ах 2 , … , ах j (т) } также образует

приведённую систему вычетов по модулю т .

6.12. Определение 6.

Суммой ( Å ) классов вычетов и + b, равных сумме любых двух вычетов, взятых по одному из каждого данного класса и : Å = , где "а Î , "b Î .

6.13. Определение 7.

Произведением ( Ä ) классов вычетов и по модулю т называется класс вычетов , то есть класс вычетов, состоящий из чисел а ´ b, равных произведению любых двух вычетов, взятых по одному из каждого данного класса и : Ä = , где "а Î , "b Î .

Таким образом, в множестве классов вычетов по модулю т : Z т = { , , ,…, } определены две алгебраические операции – "сложения" и "умножения".

6.14. Теорема 4.

Множество классов вычетов Z т по модулю т является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей:

< Z т , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – кольцо.

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

1. Составить по модулю т = 9:

1) полную систему наименьших положительных вычетов;

2) полную систему наименьших неотрицательных вычетов;

3) произвольную полную систему вычетов;

4) полную систему наименьших по абсолютной величине вычетов.

Ответ :1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};

2. Составить приведённую систему вычетов по модулю т = 12.

Решение.

1) Составим полную систему наименьших положительных вычетов по модулю т = 12:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} (всего т = 12 чисел).

2) Вычеркнем из этой системы числа, не взаимно простые с числом 12:

{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.

3) Оставшиеся числа, взаимно простые с числом 12, образуют искомую приведённую систему вычетов по модулю т = 12 (всего j(т ) = j(12) = 4 числа).

Ответ: {1, 5, 7, 11} – приведённая система вычетов по модулю т = 12.

130. Составьте 1) полную систему наименьших положительных вычетов; 2) полную систему наименьших неотрицательных вычетов; 3) произвольную систему вычетов; 4) полную систему наименьших по абсолютной величине вычетов; 5) приведённую систему вычетов: а) по модулю m = 6; б) по модулю m = 8.

131. Является ли множество {9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85} полной системой вычетов по модулю 8 ?

132 По какому модулю множество{20, – 4, 22, 18, – 1}является полной системой вычетов?

133. Составьте приведённую систему вычетов по модулю m , если а) m = 9; б) m = 24; в) m = 7. Сколько чисел должна содержать такая система?

134. Сформулируйте основные свойства полной системы вычетов и приведённой системы вычетов по модулю m .

135. Какими элементами отличаются приведённая и полная системы наименьших неотрицательных вычетов по простому модулю?

136. При каком условии числа а и – а принадлежат одному классу вычетов по модулю m ?

137. Каким классам вычетов по модулю 8 принадлежат все простые числа р ³ 3 ?

138. Образует ли множество чисел {0, 2 0 , 2 1 , 2 2 , ... , 2 9 } полную систему вычетов по модулю 11 ?

139. Скольким классам вычетов по модулю 21 принадлежат все вычеты из одного класса вычетов по модулю 7 ?

140. Множество целых чисел Z распределите по классам вычетов по модулю 5. Составьте таблицы сложения и умножения в образовавшемся множестве классов вычетов Z 5 . Является ли множество Z 5: а) группой с операцией сложения классов? б) группой с операцией умножения классов?

§ 7. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

7. 1. Теорема 1.

Если а ÎZ , т ÎN, т >1 и (а ; т ) = 1 , – то в бесконечной последовательности степеней а 1 , а 2 , а 3 , ... , а s , … , а t , … найдутся хотя бы две степени с показателями s и t (s < t ) такие, что . (*)

7. 2. Замечание . Обозначив t – s = k > 0, из (*) получим: . Возводя обе части этого сравнения в степень n ÎN , получим: (**). Это означает, что существует бесконечное множество степеней числа a , удовлетворяющих сравнению (**). Но как найти эти показатели? Каков наименьший показатель, удовлетворяющий сравнению (**) ? На первый вопрос отвечает теорема Эйлера (1707 – 1783).

7. 3. Теорема Эйлера.

Если а ÎZ , т ÎN, т >1 и (а ; т ) = 1, – то . (13)

Пример. Пусть а = 2, т = 21, (а ; т ) = (2; 21) = 1. Тогда . Так как j (21) = 12, то 2 12 º 1(mod 21). В самом деле: 2 12 = 4096 и (4096 – 1) 21. Тогда очевидно, что 2 24 º 1(mod 21), 2 36 º 1(mod 21) и так далее. Но является ли показатель степени 12 – наименьшим , удовлетворяющим сравнению 2 n º 1(mod 21) ? Оказывается, нет. Наименьшим показателем будет п = 6: 2 6 º 1(mod 21), ибо 2 6 – 1 = 63, а 63 21. Заметим, что наименьший показатель следует искать только среди делителей числа j(т ) (в данном примере – среди делителей числа j(21) = 12).

7. 4. Малая теорема Ферма (1601 – 1665).

Для любого простого числа р и любого числа а ÎZ , не делящегося на р , имеет место сравнение . (14)

Пример. Пусть а = 3, р = 5, где 3 не 5. Тогда или .

7. 5. Обобщёння теорема Ферма.

Для любого простого числа р и произвольного числа а ÎZ имеет место сравнение (15)

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

1. Докажите, что 38 73 º 3(mod 35).

Решение.

1) Так как (38; 35) = 1, то по теореме Эйлера ; j(35) = 24, значит,

(1).

2) Из сравнения (1) по следствию 2 свойства 5 0 числовых сравнений имеем:

3) Из сравнения (2) по следствию 1 свойства 5 0 сравнений: 38 72 ×38 º 1×38 (mod 35) Þ Þ38 73 º38 º 38–35 = 3(mod 35) Þ 38 73 º 3 (mod 35), что и требовалось доказать.

2. Дано: а = 4, т = 15. Найти наименьший показатель степени k , удовлетворяющий сравнению (*)

Решение.

1) Так как (a ; m ) = (4; 25) = 1, то по теореме Эйлера , j(25) = 20, поэтому .

2) Является ли найденный показатель степени – число 20 – наименьшим натуральным числом, удовлетворяющим сравнению (*)? Если существует показатель степени, меньший 20, то он должен быть делителем числа 20. Значит, искомый наименьший показатель k надо искать среди множества чисел n = {1, 2, 4, 5, 10, 20}– делителей числа 20.

3) При п = 1: ;

при п = 2: ;

при п = 3: (рассматривать не надо);

при п = 4: ;

при п = 5: ;

при п = 6, 7, 8, 9: (рассматривать не надо);

при п = 10: .

Итак, наименьшим показателем степени k , удовлетворяющим сравнению(*), является k = 10.

Ответ: .

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

141. По теореме Эйлера . При а = 3, т = 6 имеем: .

Так как j(6) = 2, то 3 2 º1(mod 6), или 9º1(mod 6), Тогда, по лемме, (9 – 1) 6 или 8 6 (нацело!?). Где ошибка?

142. Докажите, что: а) 23 100 º1(mod 101); б) 81 40 º 1(mod100); в) 2 73 º 2 (mod 73).

143. Докажите, что а) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10);

б) 5 4п + 1 + 7 4п + 1 делится без остатка на 12..

144. Докажите теорему, обратную теореме Эйлера: если а j ( m ) º 1(mod m ), то (а, m ) =1.

145. Найдите наименьший показатель степени k ÎN, удовлетворяющий данному сравнению: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

и) ; к) ; л) ; м) .

146. Найдите остаток от деления:

а) 7 100 на 11; б) 9 900 на 5; в) 5 176 на 7; г) 2 1999 на 5; д) 8 377 на 5;

е) 26 57 на 35; ж) 35 359 на 22; з) 5 718 на 103; и) 27 260 на 40; к) 25 1998 на 62.

147*. Докажите, что а 561 º а (mod 11).

148*. Если каноническое разложение натурального числа п не содержит множителей 2 и 5, то 12-я степень этого числа оканчивается цифрой 1. Докажите.

149*. Докажите, что 2 64 º 16 (mod 360).

150*. Докажите: если (а, 65) =1 , (b, 65) =1, то a 12 – b 12 делится без остатка на 65.

Глава 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

ТЕОРИИ ЧИСЛОВЫХ СРАВНЕНИЙ

§ 8. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

1. ЦЕЛЫЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

8. 1. Определение 1.

Системой счисления называется всякий способ записи чисел. Знаки, с помощью которых записывают эти числа, называют цифрами.

8. 2. Определение 2.

Целым неотрицательным систематическим числом, записанным в t -ичной позиционной системе счисления, называется число n вида

, где a i (i = 0,1, 2,…, k ) – целые неотрицательные числа – цифры , причём 0 £ a i £ t – 1, t – основание системы счисления, t ÎN, t > 1.

Например, запись числа в 7-ричной системе имеет вид: (5603) 7 = 5 ×7 3 + 6×7 2 + 0×7 1 + 3. Здесь a i – это 5, 6, 0, 3 – цифры; все они удовлетворяют условию: 0 £ a i £ 6. При t =10 говорят: число n записано в десятичной системе счисления, причём индекс t= 10не пишут.

8. 3. Теорема 1.

Всякое целое неотрицательное число может быть представлено, причём единственным образом, в виде систематического числа по любому основанию t, где t Î N, t > 1.

Пример: (1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …

8. 4. Отметим, что:

1) приписывание к систематическому числу нулей слева не изменяет этого числа:

(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .

2) приписывание к систематическому числу s нулей справа равносильно умножению этого числа на t s : (3 4) 5 = 3×5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3×5 3 + 4×5 2 + 0×5 1 + 0 = 5 2 ×(3×5 1 + 4).

8. 5. Алгоритм перевода числа, записанного в t -ичной системе, в десятичную:

Пример: (287) 12 = 2×12 2 + 8×12 1 +7×12 0 = 2×144 + 8×12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10 .

8. 6. Алгоритм перевода числа, записанного в десятичной системе, в t -ичную:

Пример: (3 9 1) 10 = (х ) 12 . Найти х.

8. 7. Действия над систематическими числами

2. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ДРОБИ

8. 8. Определение 3.

Конечной t-ичной систематической дробью в системе счисления с основанием t называется число вида

где c 0 ÎZ , с i – цифры – целые неотрицательные числа , причём 0 £ с i £ t – 1, t Î N, t > 1, k Î N .

Обозначение: a = (c 0 , с 1 с 2 …с k ) t . При t = 10 дробь называется десятичной .

8. 9. Следствие 1.

Всякая конечная систематическая дробь есть рациональное число, которое можно представить в виде , где а Î Z, b Î N.

Пример. a = (3 1, 2 4) 6 = 3×6 + 1 + =19 + – рациональное число. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Например, дробь нельзя преобразовать в конечную систематическую (десятичную) дробь.

8.10. Определение 4.

Бесконечной t-ичной положительной систематической дробью в системе счисления с основанием t называется число вида

, где с 0 Î N , с i (i =1, 2, …, к , …) – цифры – целые неотрицательные числа , причём 0 £ с i £ t –1, t ÎN, t > 1, k ÎN .

Обозначение: a = (с 0 , с 1 с 2 … с k …) t . При t =10 дробь называется десятичной .

8.11. Определение 5.

Возможны три вида бесконечных систематических дробей:

I a = (с 0 , ) t = = t , где = = = … В этом случае число a называется бесконечной чисто периодической дробью, (с 1 с 2 … с k ) – периодом , k– количество цифр в периоде – длиной периода.

II a = .

В этом случае число a называется бесконечной смешанной периодической дробью, – предпериодом , () – периодом , k – количество цифр в периоде – длиной периода, l – количество цифр между целой частью и первым периодом – длиной предпериода.

III a = (с 0 , с 1 с 2 … с k …) t . В этом случае число a называется бесконечной непериодической дробью.

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

1. Число (а ) 5 = (2 1 4 3) 5 , заданное в 5–ричной системе, перевести в 7-ричную систему, то есть найти х , если (2 1 4 3) 5 = (х ) 7 .

Решение.

1) Преобразуем данное число (2 1 4 3) 5 в число (у ) 10 , записанное в десятичной системе:

2. Выполните действия:

1) (7) 8 + (5) 8 ; 2) (7) 8 × (5) 8 ; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;

4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5 ; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .

Решение.

1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1×8 + 4 = (1 4) 8 ;

2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4×8 + 3 = (4 3) 8 ;

3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6	Примечание:	4+5 = 9 = 1×6+3, 3 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 6+3+1=10 =1×6+4, 4 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 3+4+1= 8 = 1×6+2, 2 пишем, 1 переходит в следующий разряд.
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7	Примечание:	"занимаем" единицу высшего разряда, т. е. "1" = 1×7: (3 + 1×7) – 5 = 10 – 5 = 5, (1 + 1×7) – 3 = 8 – 3 = 5,
5) (4 2 3) 5 ´ (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5	Примечание:	При умножении на 2: 3 ×2 = 6 = 1×5 + 1, 1 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 2 ×2 +1=5 = 1×5 +0, 0 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 2 ×4 +1=9 = 1×5 +4, 4 пишем, 1 переходит в следующий разряд, При умножении на 3: 3 ×3 = 9 = 1×5 + 4, 4 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 3 ×2 +1=7 = 1×5 +2, 2 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 3 ×4 +1=13=2×5 +3, 3 пишем, 2 переходит в следующий разряд.

6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5

2 3 2 4 (3 2) 5

1 4 0 1 Ответ: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;

(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

151. Числа, заданные в t -ичной системе, переведите в десятичную систему:

а) (2 3 5) 7 ; б) (2 4 3 1) 5 ; в) (1 0 0 1 0 1) 2 ; г) (1 3 ) 15 ;

д) (2 7) 11 ; е) (3 2 5 4) 6 ; ж) (1 5 0 1 3) 8 ; з) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2 ;

и) (7 6 2) 8 ; к) (1 1 1 1) 20 .

152. Числа. заданные в десятичной системе, переведите в t -ичную систему. Сделайте проверку.

а) (1 3 2) 10 = (х ) 7 ; б) (2 9 8) 10 = (х ) 5 ; в) (3 7) 10 = (х ) 2 ; г) (3 2 4 5) 10 = (х ) 6 ;

д) (4 4 4 4) 10 = (х ) 3 ; е) (5 6 3) 10 = (х ) 12 ; ж) (5 0 0) 10 = (х ) 8 ; з) (6 0 0) 10 = (х ) 2 ;

и)(1 0 0 1 5) 10 =(х ) 20 ; к) (9 2 5) 10 = (х ) 8 ; л) (6 3 3) 10 = (х ) 15 ; м) (1 4 3) 10 = (х ) 2 .

153. Числа, заданные в t -ичной системе, переведите в q -ичную систему (путём перехода через десятичную систему).

а) (3 7) 8 = (х ) 3 ; б) (1 1 0 1 1 0) 2 = (х ) 5 ; в) ( 6 2) 11 = (х ) 4 ;

г) (4 ) 12 = (х ) 9 . д) (3 3 1 3 1) 5 = (х ) 12 .

154. а) Как изменится число (1 2 3) 5 , если к нему справа приписать нуль?

б) Как изменится число (5 7 6) 8 , если к нему справа приписать два нуля?

155. Выполните действия:

а) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4 ; б) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8 ; в) (1 0 1 1 0 1) 2 +(1 1 0 1 10) 2 ;

г) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; д) (4 7 6) 9 – (2 8 7) 9 ; е) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7 ;

ж) (8 3) 12 – (5 7 9) 12 ; з) (1 7 5) 11 – ( 6) 11 ; и) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7 ;

к) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2 ; л) (7 4 1) 8 × (2 6) 8 ; м) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8 ;

н) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4 ; о) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3 ; п) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4 ;

р) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8 ; с) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5 ; т)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2:(1 0 1 0 1) 2

у) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2 ; ф) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6 ; х)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9:(7 6 4 2) 9 .

ц) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8 ; ч) (1 1 1 1) 3 – (2 1 2) 3 ; ш)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12b" × b 1 Тогда:

I Если знаменатель b = b" (содержит только "2" и / или "5"), – то дробь преобразуется в конечную десятичную дробь. Количество десятичных знаков равно наименьшему натуральному числу l l º 0(mod b ").

II Если знаменатель b = b 1 (не содержит "2" и "5"), – то дробь преобразуется в бесконечную чисто периодическую равна наименьшему натуральному числу k , удовлетворяющему сравнению 10 k º 1(mod b 1).

III Если знаменатель b = b" × b 1 (содержит "2" и / или"5", а также иные простые множители), – то дробь преобразуется в бесконечную смешанную периодическую деся-

тичную дробь.

Длина периода равна наименьшему натуральному числу k , удовлетворяющему сравнению 10 k º 1(mod b 1 ).

Длина предпериода равна наименьшему натуральному числу l , удовлетворяющему сравнению 10 l º 0(mod b ").

9. 2. Выводы.

9. 3. Отметим, что:

рациональным числом является всякая конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая десятичная дробь;

иррациональным числом является всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь.

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

1. Данные обыкновенные дроби, записанные в десятичной системе, преобразовать в

десятичные, предварительно определив вид искомой дроби (конечная или бесконечная; периодическая или непериодическая; если – периодическая, то чисто периодическая или смешанная периодическая); в последних случаях – предварительно найти число k – длину периода и число l – длину предпериода. 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) У дроби = знаменатель – число b = 80 = 2 4 × 5 содержит только "2" и "5". Поэтому данная дробь преобразуется в конечную десятичную дробь. Количество десятичных знаков l наим определяется из условия: 10 l º0(mod80):

2) У дроби = знаменатель – число b = 27 = 3 3 не содержит "2" и "5". Поэтому данная дробь преобразуется в бесконечную чисто периодическую десятичную дробь. Длина периода k наим определяется из условия: 10 k º1(mod27):

3) У дроби = знаменатель – число b = 24 = 2 3 ×3, то есть имеет вид: b = b" × b 1 (кроме "2" или "5" содержит и иные множители, в данном случае число 3). Поэтому данная дробь преобразуется в бесконечную смешанную периодическую десятичную дробь. Длина периода k наим определяется из условия: 10 k º1(mod3), откуда k наим = 1, то есть длина периода k = 1. Длина предпериода l наим определяется из условия: 10 l º0(mod8), откуда l наим = 3, то есть длина предпериода l = 3.

Проверка: разделим "уголком" 5 на 24 и получим: = 0, 208 (3).

Ответ: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

156. Данные обыкновенные дроби, записанные в десятичной системе, преобразуйте в десятичные дроби. Если десятичная дробь - периодическая, то предварительно найдите число k - длину периода и число l - длину предпериода.

157. Данные обыкновенные дроби, записанные в десятичной системе, преобразуйте в t -ичные систематические дроби. Найдите числа k - длину периода и l - длину предпериода.

158*. В какой системе счисления число (4 6) 10 записывается теми же цифрами, но в

обратном порядке?

159*. Что больше: единица 8-го разряда в двоичной системе или единица 4-го разряда в 8-ричной системе?

§ 10. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

10. 1. Теорема Паскаля (1623 – 1662).

Даны натуральные числа: т > 1 и n, записанное в t - ичной системе:

, где a i – – цифры: a i ÎN, 0 £ a i £ t –1 (i = 0,1, 2,…, k ), t ÎN, t > 1.

Пусть n = (a k a k – 1 … a 1 a 0) 10 = a k ×10 k +a k – 1 ×10 k – 1 +…+a 1 ×10 + a 0 , m =3 и m = 9.

1) Найдём b i : по модулю m = 3по модулю m = 9

10 0 º1(mod3), т.е. b 0 =1, 10 0 º1(mod9), т.е. b 0 =1,

10 1 º1(mod3), т.е. b 1 =1, 10 1 º1(mod9), т.е. b 1 =1,

10 2 º1(mod3), т.е. b 2 =1, 10 2 º1(mod9), т.е. b

Уравнение деления (), рассмотренное в предыдущей секции, имеет два входа (a и n ) и два выхода (q и r ). В модульной арифметике мы интересуемся только одним из выходов - остатком r . Мы не заботимся о частном q . Другими словами, когда мы делим a на n , мы интересуемся только тем, что значение остатка равно r . Это подразумевает, что мы можем представить изображение вышеупомянутого уравнения как бинарный оператор с двумя входами a и n и одним выходом r .

Операции по модулю

Вышеупомянутый бинарный оператор назван оператором по модулю и обозначается как mod . Второй вход (n ) назван модулем . Вывод r назван вычетом . Рисунок 2.9 показывает отношение деления по сравнению с оператором по модулю.

Рис. 2.9.

Рис. 2.13.

Фактически применяются два набора операторов: первый набор - один из бинарных операторов ; второй - операторы по модулю. Мы должны использовать круглые скобки, чтобы подчеркнуть порядок работ. Как показано на рис. 2.13 , входы (a и b ) могут быть членами Z или Z n .

Пример 2.16

Выполните следующие операторы (поступающие от Z n ):

а. Сложение 7 и 14 в Z 15

б. Вычитание 11 из 7 в Z 13

в. Умножение 11 на 7 в Z 20

Решение

(14+7) mod 15 -> (21) mod 15 = 6 (7–11) mod 13 -> (-4) mod 13 = 9 (7x11) mod 20 -> (77) mod 20 = 17

Пример 2.17

Выполните следующие операции (поступающие от Z n ):

a. Сложение 17 и 27 в Z 14

b. Вычитание 43 из 12 в Z 13

c. Умножение 123 на -10 в Z 19

Решение

Ниже показаны два шага для каждой операции:

(17 + 27) mod 14 -> (44) mod 14 = 2 (12 – 43) mod 13 -> (–31) mod 13 = 8 ((123) x (–10)) mod 19 -> (–1230) mod 19 = 5

Свойства

Мы уже упоминали, что два входа для трех бинарных операторов в сравнении по модулю могут использовать данные из Z или Z n . Следующие свойства позволяют нам сначала отображать два входа к Z n (если они прибывают от Z ) перед выполнением этих трех