Коэффициент наращения формула. Элементы финансовой математики

Ученые начали отправлять животных в космос задолго до первой высадки людей на Луну и немного раньше, чем Юрий Гагарин совершил свой исторический полет. Главной целью таких экспериментов была проверка влияния невесомости на живые организмы. Первые животные в космосе были отправлены туда за двенадцать лет до 1961 года.

Первыми, кого специально отправили в космос, были дрозофилы. Источник изображения: Wikipedia

Первые земные живые организмы, оказавшиеся в космосе, не были животными, ведь, скорее всего, бактерии или другие микроорганизмы попадали в космос вместе с первыми запусками ракет, а первыми животными, и первыми живыми существами, специально отправленными в космос, были плодовые мушки дрозофилы. Американцы отправили партию мушек в космос 20 февраля 1947 года на борту ракеты V2. Целью эксперимента было исследование влияния радиации на больших высотах. Мушки вернулись целыми и невредимыми в своей капсуле, которая успешно приземлилась с помощью парашюта.

Однако это был лишь суборбиральный полет, в который чуть позже на такой же ракете V2 отправилась обезьяна по кличке Альберт-2. К сожалению парашют капсулы Альберта-2 не раскрылся, и первое животное в космосе погибло при ударе о земную поверхность. Стоит добавить, что первым животным в космосе могла стать обезьяна Альберт (1), однако его ракета не долетела до условной границы космоса на высоте в 100 км.

Альберт-2

Первыми высшими живыми организмами в космосе, пережившими полет и успешно приземлившимися на Землю, были собаки Цыган и Дезик, отправленные СССР 22 июля 1951 года на ракете Р-1В. Полет до приземления продолжался около 20 минут. Никаких физиологических отклонений у собак обнаружено не было. Дезик и Цыган благополучно перенесли перегрузки и невесомость.

Но первые животные в космосе были лишь первопроходцами-испытателями, проложившими дорогу к первому в истории полету, выведшему животное на орбиту Земли. Этим животным была собака Лайка, одна из самых известных собак-космонавтов. Она была запущена в космос на корабле Спутник-2 3 ноября 1957 года с космодрома Байконур. Это событие было огромным достижением, но, как бы это не было грустно, возвращение Лайки на Землю тогда не представлялось возможным и не планировалось. Во время полета через 5-7 часов после старта температура внутри капсулы превысила 40°C и собака погибла от стресса и перегрева, хотя ученые рассчитывали, что она проживет около 7 дней. Эти подробности не сообщались в СМИ, вместо этого говорилось, что Лайку усыпили на 7-й день полета. Сам космический аппарат сгорел в атмосфере на 162-й день миссии, 14 апреля 1958 года.

Лайка в своем полетном модуле.

Первыми же животными, совершившими орбитальный полет и вернувшимися на Землю живыми, были те самые Белка и Стрелка. Запуск ракеты с ними на борту состоялся почти через 3 года после полета Лайки.

Некоторые первые животные в космосе:

Обезьяны:

• 11 июня 1948 года, США, обезьяна Альберт: погиб от удушья
• 14 июня 1949 года, США, обезьяна Альберт-2: погиб при приземлении

• 22 июля 1951 года, СССР, собаки Дезик и Цыган: приземлились успешно
• 29 июля 1951 года, СССР, собаки Дезик и Лиса: отказ парашюта, собаки погибли
• 15 августа 1951 года, СССР, собаки Мишка и Чижик: приземлились успешно

Кошки (кошки запускались только Францией)

• 18 октября 1963 года, Франция, кошка Фелисетт: приземлилась успешно

1. Самый первый в истории человечества космонавт Юрий Гагарин отправился покорять космос 12 апреля 1961 года на корабле «Восток-1». Его полет продлился 108 минут. Гагарин был удостоен звания Герой Советского Союза. Кроме того, его наградили «Волгой» с номерами 12-04 ЮАГ — это дата совершенного полета и инициалы первого космонавта.

2. Первая женщина-космонавт Валентина Терешкова совершила полет в космос 16 июня 1963 года на корабле «Восток-6». Кроме того, Терешкова — единственная женщина, совершившая одиночный полет, все остальные летали только в составе экипажей.

3. Алексей Леонов — первый человек, который вышел в открытый космос 18 марта 1965 года. Продолжительность первого выхода составила 23 минуты, из которых вне корабля космонавт пробыл 12 минут. Во время пребывания в открытом космосе его скафандр разбух и препятствовал возвращению обратно в корабль. Войти космонавту удалось только после того, как Леонов стравил из скафандра лишнее давление, при этом залез он внутрь корабля вперед головой, а не ногами, как полагалось по инструкции.

4. Первым на лунную поверхность ступил американский астронавт Нил Армстронг 21 июля 1969 года в 2 часа 56 минут по Гринвичу. Спустя 15 минут к нему присоединился Эдвин Олдрин . Всего на Луне космонавты провели два с половиной часа.

5. По числу выходов в открытый космос мировой рекорд принадлежит российскому космонавту Анатолию Соловьеву . Он совершил 16 выходов общей продолжительностью более 78 часов. Суммарный налет Соловьева в космосе составил 651 сутки.

6. Самым молодым космонавтом является Герман Титов , на момент полета ему было 25 лет. Кроме того, Титов также является вторым советским астронавтом в космосе и первым человеком, совершившим длительный (более суток) космический полет. Полет длительностью 1 день 1 час космонавт совершил с 6 на 7 августа 1961 года.

7. Самым пожилым космонавтом, совершившим космический полет, считается американец Джон Гленн . Ему было 77 лет, когда он участвовал в полете на корабле «Дискавери STS-95» в октябре 1998 года. Кроме того, Гленн установил своего рода уникальный рекорд - перерыв между полетами в космос у него составил 36 лет (первый раз он был в космосе в 1962 году).

8. Дольше всех на Луне пробыли американские астронавты Юджин Сернан и Харрисон Шмит в составе экипажа «Apollo 17» в 1972 году. Всего космонавты находились на поверхности земного спутника 75 часов. За это время они совершили три выхода на лунную поверхность общей продолжительностью 22 часа. Они были последними, кто побывал на Луне, и, по некоторым данным, оставили на Луне небольшой диск с надписью «Здесь человек завершил первый этап освоения Луны, декабрь 1972 года».

9. Первым космическим туристом стал американский мультимиллионер Деннис Тито , который отправился в космос 28 апреля 2001 года. При этом де-факто первым туристом считается японский журналист Тоёхиро Акияма , за полет которого в декабре 1990 года заплатила Токийская телевизионная компания. Вообще, космическим туристом не может считаться человек, полет которого оплачивала какая-либо организация.

10. Первым космонавтом Великобритании стала женщина - Хелена Шармен (Helen Sharman), которая отправилась в полет 18 мая 1991 года в составе экипажа «Союз ТМ-12». Она считается единственным космонавтом, летавшим в космос в качестве официального представителя Великобритании, все остальные имели помимо британского гражданство другой страны. Интересно, что до того как стать космонавтом, Шармен работала химиком-технологом на кондитерской фабрике и откликнулась на обращение о конкурсном отборе участников космического полета в 1989 году. Из 13 000 участников выбрали именно её, после чего она приступила к тренировкам в подмосковном Звездном городке.

Внимание, минутная готовность!
Ключ на старт!
Есть ключ на старт!

Протяжка один!
Есть протяжка один!
Продувка!
Есть продувка!
Ключ на дренаж!
Есть ключ на дренаж!
Зажигание!
Понял вас, дается зажигание.
Предварительная!
Есть предварительная!
Промежуточная!
Главная!
Подъем!

35 секунд, полет нормальный. Высота 19 километров. Температура за бортом – 55°С. Здесь вода кипит при температуре человеческого тела, а на иссиня-черном небосводе днем видны звезды.

60 секунд, полет нормальный. Высота 32 километра. За минуту, прошедшую с момента старта, ракета «Фау-2» набрала скорость порядка 1600 м/с (около 6 тыс. км/ч).

В этот момент наблюдатели на Земле видят, как отделилась вторая ступень, названная «ВАК-Корпорал», и, резко увеличив скорость, пошла на штурм предельной высоты.

100 секунд, полет нормальный. Ракета «ВАК-Корпорал» достигла высоты 110 км. Пройдена «линия Кармана», определяющая границу между космонавтикой и аэронавтикой: на этой высоте становятся бессмысленными все законы аэродинамики, т.к. для создания подъемной силы потребуется превысить первую космическую скорость (7,9 км/с).

145 секунд, полет нормальный. Высота 160 километров. Температура за бортом + 1500°С. Но сверхнизкое давление воздуха, близкое к вакууму, делает бессмысленным само понятие температуры - здесь она лишь указывает на очень высокую скорость движения молекул воздуха. Человек, окажись в термосфере без скафандра, почувствует лишь ледяной холод космического пространства.

150 секунд с момента старта. Первая ступень – ракета «Фау-2» – достигла высоты 161 км и рухнула вниз, в пропасть земной атмосферы... В это время «ВАК-Корпорал» летит в Космос со скоростью 2,5 км/с.

200 секунд, полет нормальный. Достигнута высота 250 км. Граница наиболее низкой возможной орбиты с краткосрочной стабильностью. Искусственный спутник Земли может просуществовать здесь несколько недель.

300 секунд с момента старта. Ракета «Фау-2» разбилась в пустыне в 36 километрах севернее места запуска. В это время «ВАК-Корпорал» продолжает подниматься к звездам.

Обнаруженные обломки "Фау-2"

390 секунд, полет нормальный. Вторая ступень достигла высоты 402 километра. На этой высоте настолько глубокий вакуум, что его не удается достичь даже в самых современных лабораториях в наземных условиях. Таким образом, ракета «ВАК-Корпорал» достигла безвоздушного пространства.

12 минут, конец полета. Ракета «ВАК-Корпорал» разбилась о земную поверхность. Несмотря на то, что радиолокаторы точно определили район падения второй ступени, ее остатки были найдены только через год в 135 километрах от места старта.

Вот так, 24 февраля 1949 года американская ракетно-космическая система «Бампер» открыла Человечеству дорогу к Звездам. Читатель наверняка улыбнулся, прочитав эту фразу – ведь все же знают, что первый космический спутник запустили в Советском Союзе. 4 октября 1957 года баллистическая ракета Р-7, легендарная «Королевская семерка», унесла в ночное небо Байконура стальной шар диаметром 58 сантиметров, ставший символом начала Космической Эры. Человечество победило притяжение Земли.

В погоне за сенсацией

Легенды о космической программе Третьего Рейха и секретных фашистских базах на Луне до сих пор не сходят со страниц «желтой прессы». Действительно, кто же первым вышел в Космическое пространство? Немецкий «астронавт» Курт Келлер, утверждающий что совершил суборбитальный полет на «Фау-2» еще в 1944 году? Или, может быть первым в Космосе был фантастический ракетоплан доктора Зенгера? В конце концов, достойна ли пальмы первенства команда американских исследователей, запустившая в 1949 году ракету на высоту 400 километров?
Смотря что подразумевается под «запуском в космос». Если это обычный суборбитальный полет по параболической траектории, то тогда, несомненно, первыми были немцы – еще в годы Второй мировой войны на Лондон упали 4300 баллистических ракет «Фау-2»!

Здесь сразу же возникает вопрос: где граница земной атмосферы и где начинается Космос? Например, в США официально проводят границу воздушного пространства на высоте 50 миль (80 км). Россия называет цифру 100 километров. Конец жарким спорам подвел Теодор фон Карман, предложив, на мой взгляд, гениальное решение – Космос начинается там, где для создания минимальной аэродинамической подъемной силы требуется первая космическая скорость. Это происходит как раз на высоте около 100 километров. Вершина траектории полета баллистической ракеты «Фау-2» превышала 100 км, другими словами немецкая ракета первой вышла в Космическое пространство. Пусть всего на несколько секунд.

Примечание. Секретным разработкам Третьего Рейха зачастую придается несправедливо большое значение. На самом деле, «фантастические» немецкие проекты во многом отражали намерения, а не возможности. После войны на территории Германии не было обнаружено ни одного действующего ядерного реактора. Немецкие реактивные самолеты в реальности оказались ненадежными «вундервафлями» с пылающими двигателями и заклинившими пушками - в это же время у союзников появились свои реактивные машины, ничуть не уступающие немецким «Швальбе» и «Блицбомберам». Советская школа танкостроения превзошла немецкую, а американцы на десятилетие опередили Рейх по системам радиолокации и связи. Из тысячи «суперсовременных» немецких субмарин 783 остались лежать на дне Атлантики. Хваленые зенитные ракеты «Вассерфаль» не сбили ни одного самолета, а от пусков «Фау-2» было не больше пользы, чем от Общества изучения арийской расы.

А в чем же тогда смысл достижения американских ракетчиков, поднявших контейнер с научным оборудованием на высоту 400 километров над Землей? Ведь это обычный суборбитальный полет, который отличается от полетов «Фау-2» лишь более высокой траекторией – «ВАК-Корпорал» поднялась туда, где в настоящее время бороздит космическое пространство МКС (что, конечно, впечатляет – все-таки на дворе стоял 1949 год). Единственное важное преимущество проекта «Бампер» (дикий симбиоз трофейной «Фау-2» и американской метеорологической ракеты) – двухступенчатая конструкция, что позволило многократно увеличить максимальную высоту подъема ракеты. Тем не менее, когда звучит шутливый вопрос: «Кто был первым в космосе?» американские любители космонавтики часто приводят в пример именно полет «ВАК-Корпорал».

Наверное не стоит долго рассказывать, в какой стране создали первый искусственный спутник Земли и кто был первым космонавтом. Принципиальным отличием «Спутник-1» от «ВАК-Корпорал» была эллиптическая траектория полета советского космического аппарата.

Траектории запусков по проекту "Бампер". Кроме полетов в космическое пространство, проводились запуски на максимальную дальность полета.

Что касается уровня их технологического исполнения, то двухступенчатый «Бампер» и ракета-носитель Р-7 отличались также, как китайская петарда и управляемая ракета «Хэллфайр». К концу 40-х годов прабабушка всех современных ракет «Фау-2» была уже во многом устаревшим проектом, с кучей недостатков и неудовлетворительными характеристиками. Ввиду отсутствия на тот момент необходимых знаний и технологий, американским специалистам так и не удалось обеспечить эффективное разделение ступеней ракеты. С точки зрения логики, отделение первой ступени должно происходить в тот момент, когда в ее баках полностью израсходовано горючее, увы, на «Бампере» это было невозможно, т.к. ускорение «Фау-2» в последние секунды работы ее двигателя превышало начальное ускорение, которое могла развить «ВАК-Корпорал». Много вопросов возникло с автоматическим запуском двигателя второй ступени на высоте 30 километров – компоненты топлива отлично горели в наземных условиях, но в разреженной атмосфере они мгновенно испарялись и смешивались, что приводило к преждевременному взрыву в топливопроводах и разрушению ракеты. Много проблем возникло со стабилизацией ракеты на верхнем отрезке траектории – все аэродинамические поверхности оказались бесполезны в вакууме. «ВАК-Корпорал» можно с большой натяжкой назвать космической системой – ни по одному из критериев она не подходит под это звание.
Одним словом, истина остается не зыблема – первенство в космической гонке принадлежит СССР.

Первые изоображения Земли, полученные из ближнего космоса:

В условиях рыночной экономики любое взаимодействие лиц, фирм и предприятий с целью получения прибыли называется сделкой. При кредитных сделках прибыль представляет собой величину дохода от предоставления денежных средств в долг, что на практике реализуется за счет начисления процентов (процентной ставки – i). Проценты зависят от величины предоставляемой суммы, срока ссуды, условий начисления и т. д.

Важнейшее место в финансовых сделках занимает фактор времени (t). С временным фактором связан принцип неравноценности и неэквивалентности вложений. Для того чтобы определить изменения, происходящие с исходной суммой денежных средств (P), необходимо рассчитать величину дохода от предоставления денег в ссуду, вложения их в виде вклада (депозита), инвестированием их в ценные бумаги и т. д.

Процесс увеличения суммы денег в связи с начислением процентов (i) называют наращением, или ростом первоначальной суммы (P). Таким образом, изменение первоначальной стоимости под влиянием двух факторов: процентной ставки и времени называется наращенной стоимостью (S).

Наращенная стоимость может определяться по схеме простых и сложных процентов. Простые проценты используются в случае, когда наращенная сумма определяется по отношению к неизменной базе, то есть начисленные проценты погашаются (выплачиваются) сразу после начисления (таким образом, первоначальная сумма не меняется); в случае, когда исходная сумма (первоначальная) меняется во временном интервале, имеют дело со сложными процентами.

При начислении простых процентов наращенная сумма определяется по формуле

S = P (1 + i t), (1)

где S – наращенная сумма (стоимость), руб.; P – первоначальная сумма (стоимость), руб.; i – процентная ставка, выраженная в коэффициенте; t – период начисления процентов.

S = 10 000 (1+ 0,13 · 1) = 11 300, руб. (сумма погашения кредита);

ΔР = 11 300 – 10 000 = 1 300, руб. (сумма начисленных процентов).

Определить сумму погашения долга при условии ежегодной выплаты процентов, если банком выдана ссуда в сумме 50 000 руб. на 2 года, при ставке – 16 % годовых.

S = 50 000 (1+ 0,16 · 2) = 66 000, руб.

Таким образом, начисление простых процентов осуществляется в случае, когда начисленные проценты не накапливаются на сумму основного долга, а периодически выплачиваются, например, раз в год, полугодие, в квартал, в месяц и т. д., что определяется условиями кредитного договора. Также на практике встречаются случаи, когда расчеты производятся за более короткие периоды, в частности на однодневной основе.

В случае, когда срок ссуды (вклада и т. д.) менее одного года, в расчетах необходимо скорректировать заданную процентную ставку в зависимости от временного интервала. Например, можно представить период начисления процентов (t) в виде отношения , где q – число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) ссуды; k – число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) в году.

Таким образом, формула (1) изменяется и имеет следующий вид:

S = P (1 + i ). (2)

Банк принимает вклады на срочный депозит на срок 3 месяца под 11 % годовых. Рассчитать доход клиента при вложении 100 000 руб. на указанный срок.

S = 100 000 (1+ 0,11 · ) = 102 749,9, руб.;

ΔР = 102 749,9 – 100 000 = 2 749,9, руб.

В зависимости от количества дней в году возможны различные варианты расчетов. В случае, когда за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней), исчисляют обыкновенные, или коммерческие проценты. Когда за базу берут действительное число дней в году (365 или 366 – в високосном году), говорят о точных процентах.

При определении числа дней пользования ссудой также применяется два подхода: точный и обыкновенный. В первом случае подсчитывается фактическое число дней между двумя датами, во втором – месяц принимается равным 30 дням. Как в первом, так и во втором случае, день выдачи и день погашения считаются за один день. Также существуют случаи, когда в исчислении применяется количество расчетных или рабочих банковских дней, число которых в месяц составляет 24 дня.

Таким образом, выделяют четыре варианта расчета:

1) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

2) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды;

3) точные проценты с приближенным числом дней ссуды;

4) точные проценты с банковским числом рабочих дней.

При этом необходимо учесть, что на практике день выдачи и день погашения ссуды (депозита) принимают за один день.

Ссуда выдана в размере 20 000 руб. на срок с 10.01.06 до 15.06.06 под 14 % годовых. Определить сумму погашения ссуды.

1. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

156=21+28+31+30+31+15;

S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 213,3, руб.

2. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 205,6, руб.

3. Точные проценты с приближенным числом дней ссуды:

S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 189,0, руб.

4. Точные проценты с банковским числом рабочих дней:

S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 516,7, руб.

Данные для расчета количества дней в периоде представлены в прил. 1, 2.

Как сказано выше, кроме начисления простых процентов применяется сложное начисление, при котором проценты начисляются несколько раз за период и не выплачиваются, а накапливаются на сумму основного долга. Этот механизм особенно эффективен при среднесрочных и долгосрочных кредитах.

После первого года (периода) наращенная сумма определяется по формуле (1), где i будет являться годовой ставкой сложных процентов. После двух лет (периодов) наращенная сумма S 2 составит:

S 2 = S 1 (1 + it) = P (1 + it) · (1 + it) = P (1 + it) 2 .

Таким образом, при начислении сложных процентов (после n лет (периодов) наращения) наращенная сумма определяется по формуле

S = P (1 + i t) n , (3)

где i – ставка сложных процентов, выраженная в коэффициенте; n – число начислений сложных процентов за весь период.

Коэффициент наращения в данном случае рассчитывается по формуле

Кн = (1 + i t) n , (4)

где Кн – коэффициент наращения первоначальной стоимости, ед.

Вкладчик имеет возможность поместить денежные средства в размере 75 000 руб. на депозит в коммерческий банк на 3 года под 10 % годовых.

Определить сумму начисленных процентов к концу срока вклада, при начислении сложных процентов.

S = 75 000 (1+ 0,1 · 1) 3 = 99 825, руб.

ΔР = 24 825, руб.

Таким образом, коэффициент наращения составит:

Кн = (1+ 0,1 · 1) 3 = 1,331

Следовательно, коэффициент наращения показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма при заданных условиях.

Доля расчетов с использованием сложных процентов в финансовой практике достаточно велика. Расчеты по правилу сложных процентов часто называют начисление процентов на проценты, а процедуру присоединения начисленных процентов – их реинвестированием или капитализацией.

Рис. 1. Динамика увеличения денежных средств при начислении простых и сложных процентов

Из-за постоянного роста базы вследствие реинвестирования процентов рост первоначальной суммы денег осуществляется с ускорением, что наглядно представлено на рис. 1.

В финансовой практике обычно проценты начисляются несколько раз в году. Если проценты начисляются и присоединяются чаще (m раз в год), то имеет место m-кратное начисление процентов. В такой ситуации в условиях финансовой сделки не оговаривают ставку за период, поэтому в финансовых договорах фиксируется годовая ставка процентов i, на основе которой исчисляют процентную ставку за период (). При этом годовую ставку называют номинальной, она служит основой для определения той ставки, по которой начисляются проценты в каждом периоде, а фактически применяемую в этом случае ставку (() mn) – эффективной, которая характеризует полный эффект (доход) операции с учетом внутригодовой капитализации.

Наращенная сумма по схеме эффективных сложных процентов определяется по формуле

S = P (1+ ) mn , (5)

где i – годовая номинальная ставка, %; (1+ ) mn – коэффициент наращения эффективной ставки; m – число случаев начисления процентов за год; mn – число случаев начисления процентов за период.

S = 20 000 (1+ ) 4·1 = 22 950, руб.

Следует отметить, что при периоде, равным 1 году, число случаев начисления процентов за год будет соответствовать числу случаев начисления процентов за весь период. Если, период составляет более 1 года, тогда n (см. формулу (3)) – будет соответствовать этому значению.

S = 20 000 (1+ ) 4·3 = 31 279, 1 , руб.

Начисление сложных процентов также применяется не только в случаях исчисления возросшей на проценты суммы задолженности, но и при неоднократном учете ценных бумаг, определении арендной платы при лизинговом обслуживании, определении изменения стоимости денег под влиянием инфляции и т. д.

Как говорилось выше, ставку, которая измеряет относительный доход, полученный в целом за период, называют эффективной. Вычисление эффективной процентной ставки применяется для определения реальной доходности финансовых операций. Эта доходность определяется соответствующей эффективной процентной ставкой.

I эф = (1+ ) mn – 1 . (6)

Кредитная организация начисляет проценты на срочный вклад, исходя из номинальной ставки 10 % годовых. Определить эффективную ставку при ежедневном начислении сложных процентов.

i = (1+ ) 365 – 1 = 0,115156, т. е. 11 %.

Реальный доход вкладчика на 1 руб. вложенных средств составит не 10 коп. (из условия), а 11 коп. Таким образом, эффективная процентная ставка по депозиту выше номинальной.

Банк в конце года выплачивает по вкладам 10% годовых. Какова реальная доходность вкладов при начислении процентов: а) ежеквартально; б) по полугодиям.

а) i = (1+ ) 4 – 1 = 0,1038, т. е. 10,38 %;

б) i = (1+ ) 2 – 1 = 0,1025, т. е. 10,25 %.

Расчет показывает, что разница между ставками незначительна, однако начисление 10 % годовых ежеквартально выгодней для вкладчика.

Расчет эффективной процентной ставки в финансовой практике позволяет субъектам финансовых отношений ориентироваться в предложениях различных банков и выбрать наиболее приемлемый вариант вложения средств.

В кредитных соглашениях иногда предусматривается изменение во времени процентной ставки. Это вызвано изменением контрактных условий, предоставлением льгот, предъявлением штрафных санкций, а также изменением общих условий совершаемых сделок, в частности, изменение процентной ставки во времени (как правило, в сторону увеличения) связано с предотвращением банковских рисков, возможных в результате изменения экономической ситуации в стране, роста цен, обесценения национальной валюты и т. д.

Расчет наращенной суммы при изменении процентной ставки во времени может осуществляться как начислением простых процентов, так и сложных. Схема начисления процентов указывается в финансовом соглашении и зависит от срока, суммы и условий операции.

Пусть процентная ставка меняется по годам. Первые n 1 лет она будет равна i 1 , n 2 – i 2 и т. д. При начислении на первоначальную сумму простых процентов необходимо сложить процентные ставки i 1 , i 2 , i n , а при сложных – найти их произведение.

При начислении простых процентов применяется формула

S = P (1+i 1 t 1 + i 2 t 2 + i 3 t 3 + i n t n) , (7)

где i n – ставка простых процентов; t n – продолжительность периода начисления.

В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты выплачиваются ежегодно.

S = 10 000 (1+0,10 · 1 +0,105 · 1 + 0,11 · 1)=13 150, руб.;

ΔР = 3 150, руб.

При начислении сложных процентов применяется формула

S = P(1+i 1 t 1)·(1+ i 2 t 2)·(1+ i 3 t 3)·(1+ i n t n) (8)

где i n – ставка сложных процентов; t n – продолжительность периода ее начисления.

В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты капитализируются.

S = 10 000 (1+0,10 · 1)·(1 +0,105 · 1)·(1 + 0,11 · 1)= 13 492, 05, руб.

Приведенные примеры подтверждают тот факт, что начисление простых процентов связано с определением наращенной суммы по отношению к неизменной базе, т. е. каждый год (период) проценты начисляются на одну и ту же первоначальную стоимость. Если рассмотреть пример 10, то в этом случае наращенная стоимость составит:

– за первый год: S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;

ΔР 1 = 1 000, руб.;

– за второй год: S 2 = 10 000 (1+0,105 · 1) = 11 050, руб.;

ΔР 2 = 1 050, руб.;

– за третий год: S 3 = 10 000 (1+0,11 · 1) = 11 100, руб.;

ΔР 3 = 1 100, руб.

Таким образом, сумма процентов за 3 года составит:

ΔР = 1 000+1 050+1 100 = 3 150, руб. (см. пример 10).

В случае начисления сложных процентов, исходная сумма меняется после каждого начисления, так как проценты не выплачиваются, а накапливаются на основную сумму, т. е. происходит начисление процентов на проценты. Рассмотрим пример 11:

– в первом году: S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;

– во втором году: S 2 = 11000 (1+0,105 · 1) = 12 100, руб.;

– в третьем году: S 3 = 12100 (1+0,11 · 1) = 13 431, руб.

Таким образом, сумма процентов за 3 года составит: i 3 = 3 431, руб. (см. пример 10).

При разработке условий контрактов или их анализе иногда возникает необходимость в решении обратных задач – определение срока операции или уровня процентной ставки.

Формулы для расчета продолжительности ссуды в годах, днях и т. д. можно рассчитать, преобразуя формулы (1) и (5).

Срок ссуды (вклада):

t = · 365 . (9)

Определить на какой срок вкладчику поместить 10 000 руб. на депозит при начислении простых процентов по ставке 10 % годовых, чтобы получить 12 000 руб.

t = () · 365 = 730 дней (2 года).

Клиент имеет возможность вложить в банк 50 000 руб. на полгода. Определить процентную ставку, обеспечивающую доход клиента в сумме 2 000 руб.

t = () = 0,08 = 8 % годовых

Аналогично определяется необходимый срок окончания финансовой операции и ее протяженность, либо размер требуемой процентной ставки при начислении сложных процентов.

Для упрощения расчетов значения коэффициента (множитель) наращения представлены в прил. 3.

Простой процент : , где P – первоначальный капитал, j – t – срок депозита (в годах), I – называется наращенной суммой (S). Итак, FV . Коэффициент наращения a .) . - S , обозначают PV= d . Итак, .

Сложный процент: наращенная сумма, текущая стоимость, коэффициенты наращения и дисконтирования.

Процент называется сложным, когда после начисления процента начальный капитал вместе с наросшим процентом снова кладется на счет в банке, в следующем периоде времени процент нарастает не только с первоначального капитала, но также и с процента, наросшего в первом периоде. Наращенная сумма , . Время между двумя последовательными капитализациями (начислениями) процента называется периодом капитализации процента ,m- число капитализаций процента в течение года. Коэффициент наращения a (показывающий наращенную сумму в расчёте на одну денежную единицу первоначального капитала), находится по формуле: . Текущая стоимость – это первоначальный капитал, обеспечивающий заданную наращенную сумму. . Коэффициент дисконтирования d (показывающий текущую стоимость в расчете на одну денежную единицу наращенной суммы). .

Смешанный метод начисления процентов при нецелом числе периодов капитализации: наращенная сумма, текущая стоимость, коэффициенты наращения и дисконтирования.

В соответствии со смешанным методом, вначале нужно найти наращенную сумму для целого числа периодов капитализации в сроке депозита. (Здесь через обозначен срок депозита, выраженный в периодах капитализации. Заметим, что .) Эта сумма находится по формуле для сложного процента: . Затем, для оставшейся дробной части срока депозита начисляется простой процент с капитала (наросшего за целое число периодов капитализации ). Заметим, что периода капитализации – это года. Следовательно, к концу срока депозита наращенная сумма составит: . Учитывая, что , формулу можно также записать в виде: .

Общий метод начисления процентов при нецелом числе периодов капитализации: наращенная сумма, текущая стоимость, коэффициенты наращения и дисконтирования.

В соответствии с общим методом, наращенная сумма ищется по формуле ,где- S наращенная сумма, Р- первоначальный капитал, ,m- число капитализаций процента в течение года.

Эквивалентные процентные ставки: экономический смысл, критерий эквивалентности.

Две номинальные годовые процентные ставки и (с числом капитализаций процента в году и , соответственно) называются эквивалентными, если при одном и том же начальном капитале они обеспечивают одинаковый процент за равные промежутки времени. При конечных и условие эквивалентности номинальных годовых процентных ставок и запишется следующим образом: , в случае, если , условие эквивалентности имеет вид: .

Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени: экономический смысл и нахождение.

Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени будем понимать количество денег, которое обеспечивается заданной последовательностью платежей в момент времени . ,(10) где r – эффективная процентная ставка для периодов времени, в которых выражены сроки платежей .

Простой процент: наращенная сумма, текущая стоимость, коэффициенты наращения и дисконтирования.

Простой процент определяется как произведение капитала, процентной ставки и времени: , где P – первоначальный капитал, j – номинальная годовая процентная ставка, t – срок депозита (в годах), I – простой процент (в денежном выражении). Сумма первоначального капитала и наросшего процента называется наращенной суммой (S). Итак, . Наращенную сумму часто обозначают FV . Коэффициент наращения показывает наращенную сумму в расчете на одну денежную единицу первоначального капитала (a .) .Приведенной (текущей) стоимость - первоначальный капитал, обеспечивающий наращенную сумму S , обозначают PV= Коэффициентом дисконтирования показывает текущую стоимость одной денежной единицы наращенной суммы, т.е. то количество денег, которое нужно положить на счет в настоящий момент времени для того, чтобы обеспечить одну денежную единицу наращенной суммы. Обозначаем буквой d . Итак, .