Виды процентных ставок и способы начисления процентов. Простые проценты

ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА - относительная величина процентных платежей на заемный капитал за определенной период времени, как правило, за год.

По степени реагирования на изменение рыночного уровня процента различают фиксированные процентные ставки и плавающие.

ФИКСИРОВАННАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА - ставка, установленная на весь период пользования заемными средствами без права ее пересмотра.

ПЛАВАЮЩАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА - ставка по средне- и долгосрочным кредитам, уровень которой колеблется в зависимости от конъюнктуры денежно-кредитного рынка.

Плавающая процентная ставка складывается из двух составных частей. Первая часть представляет подвижную основу, изменяющуюся в соответствии с конъюнктурой денежно-кредитного рынка. В ее роли обычно выступают межбанковские ставки предложения кредитных ресурсов: ЛИБОР, ПИБОР, ФИБОР и др. Надбавкой выступает фиксированная величина, являющаяся предметом договоренности сторон и, как правило, неизменная на весь срок действия кредитного договора. Размер фик-сированной надбавки зависит от условий сделки и степени ее риска.

Различают также НОМИНАЛЬНУЮ и РЕАЛЬНУЮ СТАВКИ ПРОЦЕНТА. Под номинальной ставкой понимается текущая рыночная процентная ставка. Реальная ставка представляет собой номинальную ставку, скорректированную на степень инфляционного обесценения денег. Взаимосвязь между реальной (г) и номинальной (і) ставками процента впервые была представлена Дж. Фишером:

где х - ожидаемый уровень инфляции.

В денежно-кредитной сфере западных стран имеется большое разнообразие процентных ставок.

Первый уровень процентных ставок - официальные процентные ставки, устанавливаемые центральными банками отдельных стран по кредитам, предоставляемым коммерческим банкам. Эти ставки носят название учетных или ставок рефинансирования.

Рефинансирование коммерческих банков может производиться либо путем прямого кредитования, либо путем переучета коммерческих векселей. Степень значимости той или иной ставки зависит от исторически сложившегося в стране развития вексельного обращения и системы рефинансирования.

Учетная ставка Центрального банка РФ, наряду с политикой в области обязательных резервов от объема привлеченных банками ресурсов и операциями на открытом рынке является одним из основных инстру-ментов денежно-кредитного регулирования. При помощи маневрирования учетным процентом Центральный банк РФ стремится регулировать объем денежной массы в обращении и темпы инфляционного обесценения денег. Так, понижение официальной учетной ставки приводит кудешевлению и увеличению предложения кредитныхресурсов нарын- ке. Такая политика имеет целью оживление инвестиций и стимулирование экономического роста. Проведение обратнонаправленной учетной политики ведет к сжатию денежно-кредитной массы, замедлению темпов инфляции, но одновременно это путь к сокращению объема инвестиций в экономику. Таким образом, учетная политика Центрального банка должна строиться в зависимости от состояния денежно-кредитной системы и учитывать как опасность инфляции при проводимой политике "дешевых денег", так и негативные последствия низких темпов экономического роста в периоды рестрикционной политики ЦБ РФ.

Следующий уровень процентных ставок представлен ставками предложения на межбанковском рынке кредитных ресурсов. По ставкам предложения ведущие банки осуществляют кредитование в евровалютах первоклассных банков путем размещения у последних депозитов. Примером служит ставка ЛИБОР (LIBOR) - Лондонская межбанковская ставка предложения, которая не является официально определяемой величиной, каждый крупный коммерческий банк фиксирует ее в зависимости от конъюнктуры денежно-кредитного рынка по состоянию на 11 ч утра каждого делового дня. Под ставкой ЛИБОР понимается также средняя ставка по этим банкам, рассчитываемая как средняя арифметическая.

Ставки "ПРАЙМ-РЕЙТ" - следующий уровень процентных ставок, по которым коммерческие банки предоставляют кредиты первоклассным заемщикам.

И наконец, последний уровень процентных ставок - это ставки по более рисковым ссудам предприятиям и частным лицам.

В России в настоящее время также существует целый набор процентных ставок, структура которых приближается к западной практике. Выделяются: учетная ставка Центрального банка РФ, ставки межбанковского денежного рынка, представленные большим набором инструментов (МИБИД - объявленная ставка по предоставлению кредитов коммерческими банками, МИАКР - фактическая ставка по предоставленным кредитам, рассчитываемые Информационным консорциумом как средние от ставок привлечения и размещения межбанковских кредитов, ИНСТАР - межбанковские базовые процентные ствки, рассчитываемые Межбанковским Финансовым Домом по результатам сделок, заключенных коммерческими банками), "базовые" процентные ставки по кредитованию первоклассных клиентов по обеспеченным ссудам и ставки с учетом надбавки за риск по кредитованию прочих заемщиков.

Помимо ставок кредитного рынка, рассмотренных выше, в систему процентных ставок входят ставки денежного и фондового рынков: ставки по казначейским, банковским и корпоративным векселям, проценты по государственным и корпоративным облигациям и др.

В банковской практике существуют различные методы и способы начисления процентов.

Так, в банковской практике применяются простые и сложные проценты.

Простые проценты исподьзуются прежде всего при краткосрочном кредитовании, когда один раз в квартал или другой срок, определенный договором, производится начисление процентов и выплата их кредитору. Как правило, в настоящее время преимущественно применяется изложенный выше способ. При этом обший объем платежей заемщика с учетом основной суммы долга составит:

В банковской практике возможно использование сложного процента, как правило, при долгосрочном кредитовании, когда начисленные суммы не выплачиваются кредитору до окончания сделки, а увеличивают основную сумму долга. В отечественной практике метод начисления сложных процентов получил наибольшее распространение по депозитным счетам частных лиц.

При использовании этого метода размер начисленных средств включается в задолженность и на них продолжает начисляться процент. Формулу для начисления сложных процентов и определения обшей СУММЫ задолженности можно представить в виде:

Банк должен тщательно анализировать все моменты, которые могут в конечном итоге повлиять на прибыльность банковских операций. Например, необходимо учитывать характер инфляции и в этой связи определять, что целесообразней для банка: либо наращивать сумму долга посредством начисленных, но невостребованных процентов, либо получать ежегодную плату за кредит.

Возможны различные способы начисления процента: они определяются характером измерения количества дней пользования ссудой и продолжительностью года в днях (временной базы для расчета процентов). Так, число дней ссуды может определяться точно или приближенно, когда продолжительность любого полного месяца признается равной 30 дням. Временная база приравнивается либо к фактической продолжительности года (365 или 366 дней) или приближенно к 360 дням. Соответственно, применяют следующие варианты начисления сложных процентов:

Точные проценты с фактическим числомдней ссуды; этот способ дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками. Он характеризуется тем, что для расчета используется точное число дней ссуды, временная база равняется фактической продолжительности года. Например,

Р - сумма выданного кредита - 100 000 руб.,

1 - ставка процента - 9% годовых.

К - точное число дней ссуды,

8 - наращенная сумма долга.

8 = 100 000 х (1+ 0,09% х 260 да.: 365 дн.) = 106 411 руб.

Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. В этом слу-чае, так же как и в предыдущем, для расчета берется точное число дней ссуды, но временная база приравнивается к 360 дням. Если срок кредита превышает 360 дней, то сумма начисленных процентов будет больше, чем предусмотрено годовой ставкой (так, если период ссуды равен 364 дням, то 364: 360 = 1,011). Рассмотрим данный способ на предложенном выше примере:

100 0 00 х (1 + 0,09% х 260 дн. : 360 дн.) = 106 499 руб.

Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Здесь продолжительность ссуды в днях определяется приближенно, временная база равна 360 дням. Считается, что точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, поэтому и размер начисленных процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

В нашем примере приближенное число дней ссуды равно 257 дням (83), учитывая это:

100 0 00 х (1 + 0,09% х 257 дн.: 360 дн.) = 106 424 руб.

Приведенные расчеты показывают, что второй способ начисления процентов, а именно обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды дает несколько больший результат относительно двух других вариантов.

Начисление процентов может осуществляться одним из четырех способов:
по формулам простых процентов;
по формулам сложных процентов;
с использованием фиксированной процентной ставки;
с использованием плавающей процентной ставки.
Если в договоре не указывается способ начисления процентов, то начисление про-центов осуществляется по формуле простых процентов с использованием фиксированной процентной ставки.
При начислении суммы процентов по привлеченным и размещенным денежным средствам в расчет принимается величина процентной ставки (в процентах годовых) и фактическое количество календарных дней, на которое привлечены или размещены де-
нежные средства. При этом за базу берется действительное число календарных дней в году (365 или 366 соответственно) .
Рассмотрим формулы определения наращенной суммы долга по привлеченным (размещенным) средствам банков.
Формула простых процентов:
S = Рх(1 + 1хТ/К), (19.1)
где:

Т- количество дней начисления процентов по привлеченным (размещенным) денежным средствам;

Р - первоначальная сумма привлеченных (во вклад, в депозит и другие банковские счета) или размещенных (в кредит, заем на других банковских счетах) денежных средств;
S- сумма денежных средств, причитающихся возврату (получению), равная первоначальной сумме привлеченных (размещенных) денежных средств, к которым добавляются начисленные проценты.
Пример 1. Определение начисленных процентов на сумму срочного депозита по формуле 19.1.
02.07.99 г. Банк принимает в межбанковский депозит денежные средства в сумме 50 тыс. руб. сроком на 7 дней по ставке 24,9%. Полный срок депозита (02-09.07.99) 8 календарных дней, период начисления процентов по депозиту (02-08.07.99) - 7 календарных дней. 09.07.99 г. банк возвращает сумму депозита и уплачивает начис-ленные проценты в сумме:
50 000 руб. х 24,9% х (7 дней/365 дней) = 238 руб. 77 коп.
Пример 2. Начисление процентов на сумму выданного кредита по фиксированной процентной ставке (см. формулу 19.1.). 11.08.99 г. банк выдает юридическому лицу (предприятию) кредит в сумме 250 тыс. руб. на 1 месяц по ставке 25%. Срок возврата суммы кредита и уплаты процентов по нему- 11.09.99 г. Полный срок кредита (11.08-11.09.99 г.)- 32 календарных дня, период начисления процентов по кредиту (11.08-10.09.99)- 31 календарный день. 11.09.99г., согласно условиям кредитного договора, предприятие-заемщик погашает перед банком задолженность по кредиту и производит уплату процентов за пользование кредитом в сумме:
250 000 руб. х 25% х (31 день/365 дней) = 5308 руб. 22 коп.
Формула сложных процентов:
S = Px(l + IxJ/K)\ (19.2)
где:
I - годовая процентная ставка;
J - количество календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов;
К - количество календарных дней в году (365 и 366);
п- количество операций по капитализации начисленных процентов в течение общего срока привлечения (размещения) денежных средств;
Р - первоначальная сумма привлеченных (во вклад, депозит и другие банковские счета) или размещенных (в кредит, заем на других банковских счетах) денежных средств;
S - сумма денежных средств, причитающихся возврату (получению), равная первоначальной сумме привлеченных (размещенных) денежных средств, к которым добавляются начисленные проценты.
Пример 3. Начисление процентов на сумму срочного вклада с условием ежемесячной капитализации процентов (см. формулы 19.1-10.2).
20.07.99 г. банк заключает с вкладчиком договор срочного вклада на 3 месяца (срок возврата вклада- 20.10.99 г.). Сумма вклада- 10 тыс. руб. Процентная ставка - 22% , 20-го числа каждого месяца действия договора производится капитализация начисленных процентов. Переоформление вклада по окончании срока действия договора на ранее действовавших условиях срочного вклада договором не предусматривается. Выплата начисленных к сумме вклада процентов осуществляется по истечении срока действия договора. В течение срока действия договора банк трижды, 20.08.99 г. 20.09.99 г., и 20.10.99 г., производит капитализацию начисленных процентов во вклад. 20.10.99 г. срок окончания договора срочного вклада, вкладчик не явился за вкладом в установленный договором срок. В этот же день, после окончания операционного дня, банк переоформляет указанный срочный вклад во вклад до востребования. 28.10-99 г. вкладчик получает сумму вклада до востребования и начисленные за период с 20.10.99 г. по 27.10.99 г. включительно (8 календарных дней) проценты по установленной ставке в 4%. Полный срок срочного вклада (20.07-20.10.99 г.) - 93 календарных дня, период начисления процентов по ставке срочного вклада - 22% (20.07 -19.10.99) - 92 календарных дня.
Полный срок вклада до востребования (20.10-28.10.99)- 9 календарных дней. Период начисления процентов по ставке вклада до востребования- 4% (20.10- 27.10.99) - 8 календарных дней.
Порядок начисления банком процентов на сумму вклада будет следующим:
сумма срочного вклада на 21.08.99 г. (с капитализацией процентов, начисленных за период с 20.07.99 г. по 19.08.99 г. включительно):
10 000 руб. (10 000 х 22% х 31 день/365 дней) = 10 186 руб. 85 коп.
сумма срочного вклада на 21.09.99 г. (с капитализацией процентов, начисленных за период с 20.08.99 по 19.09.99 включительно):
10 186,85 руб.(10 186,85 х 22% х 31 день/365 дней) = 10 377 руб. 19 коп.
сумма срочного вклада по состоянию на конец операционного дня 20.10.99 г. (с капитализацией процентов, начисленных за период с 20.09.99 по 19.10.99 г. включительно), в конце рабочего дня 20.10.99 г. переоформленного на вклад до востребования:
10 377 руб. 85 коп. + (10 377 руб. 19 коп. х 22% х 30 день/365 дней) = 10 564 руб. 83 коп.
сумма начисленных на вклад до востребования процентов (за период с 20.10.99 г. по 27.10.99 г. включительно)
10 564 руб. 83 коп. х 4% х 8 дней/365 дней) = 9 руб. 26 коп.
Таким образом, общая сумма возврата денежных средств вкладчику составит на 28.10.99 г. 10 574 руб. 09 коп., из которых 10 764 руб. 83 коп. - сумма срочного вклада с учетом капитализированных процентов и 9 руб. 26 коп. - проценты, начисленные за время, прошедшее с момента переоформления указанного срочного вклада во вклад до востребования.
Пример 4. Начисление процентов на сумму срочного вклада по формуле слож-ных процентов (см. формулу 19.2).
05.08.99 г. банк заключает с вкладчиком договор срочного банковского вклада на 21 день (срок возврата вклада-26.08.99 г.). Єумма вклада 10 тыс. руб. Процентная ставка- 15%, по условиям договора начисленные по итогам каждого дня срока действия депозита проценты увеличивают сумму вклада. Полный срок вклада (05.08-25.08.99)- 22 календарных дня, период начисления процентов по вкладу (05.08-25.08.99)- 21 календарный день, 26.08.99 банк возвращает вкладчику вклад (с учетом ежедневной капитализации процентов) в сумме:
10 000 руб. х (1 + 15% х 1 день/365 дня) х 21 = 10 086 руб. 66 коп.
Пример 5. Начисление процентов на сумму депозита по плавающей процентной ставке (см. формулу 19.1).
17.11.99 г. банк привлекает на 7-дневный депозит денежные средства юридического лица (предприятия) в сумме 45 тыс. руб. по плавающей процентной ставке, равной ставке рефинансирования БР на момент действия депозита (по состоянию на 17.11.99 г. - 18%) плюс 0,5%.
19.11.99 г. Банк России объявляет о снижении, начиная» с 20.11.99 г., ставки рефи-нансирования с 18 до 16%.
Полный срок депозита (17-24.11.99 г.) - 8 календарных дней.
24.11.99 г. банк возвращает предприятию сумму депозита и уплачивает начисленные проценты в сумме:
(45 000 руб. х 18,5% х 3 дня/365 дней) + (45 000 руб. х 16,5% х 4 дня/365 дней) =
= 149 руб. 79 коп.

В банковской практике существуют различные методы и способы начисления процентов.

Так, в банковской практике применяются простые и сложные проценты.

Простые проценты используются, прежде всего, при краткосрочном кредитовании, когда один раз в квартал или другой срок, определенный договором, производится начисление процентов и выплата их кредитору. Как правило, в настоящее время преимущественно применяется изложенный выше способ. Сумма выплачиваемых процентов (I) за период d рассчитывается по формуле:

где P – сумма вклада (первоначальный долг);

i –размер процентов;

d – срок хранения вклада в днях;

k – количество дней в году.

Сумма вклада с процентами за хранение (S) рассчитывается по формуле:

Срок вклада в годах (n), срок вклада в днях (d) и годовая учетная ставка простых процентов (i) рассчитываются по формулам:

где S – наращенная с процентами сумма вклада;

Общий объем платежей заемщика с учетом основной суммы долга можно также рассчитать по следующей формуле:

где S – сумма выплат по кредиту с учетом первоначального долга;

Р– первоначальный долг;

i –ставка процентов;

n–продолжительность ссуды в годах, либо отношение периода пользования ссудой в днях к применяемой базе (360 или 365 дням).

Очень часто в банковской практике приходится производить операцию, обратную процедуре начисления процентов. Это имеет место, например, в случае обращения дисконтных векселей. В этом случае при определении первоначального долга будет применяться следующая формула:

Предположим, банк выпустил вексель на следующих условиях: вексельная сумма по номиналу 100 млн. руб. сроком на 3 месяца при условии уплаты 120% годовых. Сумма платежа в случае размещения векселя (стоимость покупки) составит:

Особую важность в условиях высокого уровня инфляции приобретает определение реального дохода от депозитных (кредитных) вложений. Сумма вклада с процентами, пересчитанная с учетом инфляции (P t) рассчитывается по формуле:

где t r – уровень инфляции за срок хранения.

Уровень инфляции за срок хранения t r рассчитывается следующим образом:

где mn – количество месяцев в сроке хранения;

t m – месячный уровень инфляции.

Например, при условии, что размер вклада составил 100 тыс. руб. на срок 6 месяцев под 40 % годовых номинальный доход вкладчика составит:

Однако, при условии, что среднемесячный уровень инфляции за период хранения составит 5 %, то сумма реального дохода (пересчитанная с учетом инфляции), который получит вкладчик составит:

Таким образом, через полгода вкладчик получит 120 тыс. руб., покупательная способность которых составит 89750 руб.

В банковской практике возможно использование сложного процента, как правило, при долгосрочном кредитовании, когда начисленные суммы не выплачиваются кредитору до окончания сделки, а увеличивают основную сумму долга. При использовании этого метода размер начисленных средств включается в задолженность и на них продолжает начисляться процент (т.е. проценты начисляются на проценты). Формулу для начисления сложных процентов и определения общей суммы задолженности можно представить в виде:

Наращенная сумма вклада с процентами рассчитывается по следующей формуле:

где S – наращенная сумма вклада с процентами;

n – срок хранения вклада в годах;

m – количество периодов начисления в году;

mn – количество периодов начисления за срок хранения.

Сумма начисленных процентов рассчитывается по формуле:

Рассмотрим условный пример.

Допустим, вкладчик планирует положить в банк на депозит 200 тыс. руб. сроком на 10 месяцев. При этом предлагаются следующие условия хранения:

банк начисляет на вклады 70 % годовых по простой процентной ставке;

банк начисляет проценты на вклады ежемесячно по сложной ставке 60 % годовых (начисленные после первого периода начисления проценты не выплачиваются, а присоединяются к сумме вклада).

Рассчитаем наращенную сумму вклада с процентами по 2-м вариантам:

Таким образом, несмотря на то, что при начислении по простой процентной ставке проценты, начисляемые банком по вкладам, выше (70 % годовых), чем при начислении по сложной процентной ставке (60 % годовых), доход, получаемый вкладчиком при существующих условиях будет больше при использовании второго варианта хранения.

Такие же методы начисления процентов могут использоваться при кредитовании банком своих клиентов. При этом банк должен тщательно анализировать все моменты, которые могут в конечном итоге повлиять на прибыльность банковских операций. Например, необходимо учитывать характер инфляции и в этой связи определять, что целесообразней для банка: либо наращивать сумму долга посредством начисленных, но невостребованных процентов, либо получать ежегодную плату за кредит.

Возможны различные способы начисления процента: они определяются характером измерения количества дней пользования ссудой и продолжительностью года в днях (временной базы для расчета процентов). Так, число дней ссуды может определяться точно или приближенно, когда продолжительность любого полного месяца признается равной 30 дням. Временная база приравнивается либо к фактической продолжительности года (365 или 366 дней) или приближенно к 360 дням. Соответственно, применяют следующие варианты начисления сложных процентов:

1. Точные проценты с фактическим числом дней ссуды; этот способ дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками. Он характеризуется тем, что для расчета используется точное число дней ссуды, временная база равняется фактической продолжительности года. Например,

Р – сумма выданного кредита – 100000 руб.,

i – ставка процента – 9% годовых.

K – точное число дней ссуды,

S – наращенная сумма долга.

Тогда, S = 100000 x (1 + 0,09% x 260 дн.: 365 дн.) = 106411 руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. В этом случае также как и в предыдущем, для расчета берется точное число дней ссуды, но временная база приравнивается к 360 дням. Если срок кредита превышает 360 дней, то сумма начисленных процентов будет больше, чем предусмотрено годовой ставкой (так, если период ссуды равен 364 дням, то 364:360 = 1,011). Рассмотрим данный способ на предложенном выше примере:

S 2 = 100000 x (1 + 0,09% x 260 дн.: 360 дн.) = 106499 руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Здесь продолжительность ссуды в днях определяется приближенно, временная база равна 360 дням. Считается, что точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, поэтому и размер начисленных процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

В нашем примере приближенное число дней ссуды равно 257 дням (S 3), учитывая это:

S 3 = 10000 x (1 + 0,09% x 257 дн.: 360 дн.) = 106424 руб.

Практика показывает, что второй способ начисления процентов, а именно, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды дает несколько больший результат относительно двух других вариантов, что необходимо иметь ввиду кредитору при оформлении ссуды.

Глава 12. Финансовый рынок

Виды процентных ставок и способы начисления процентов. Простые проценты.

Основным свойством денег является их временная ценность, связанная с

− наличием инфляции,

− обращением капитала.

Деньги, относящиеся к различным моментам времени, неравноценны, например, сегодняшние деньги ценнее будущих, а будущие, в свою очередь, менее ценны, чем сегодняшние при равенстве их сумм.

Предмет финансовой математики – это специальные модели и алгоритмы, связанные с проблемой «деньги – время» и позволяющие оценить будущие доходы с позиции текущего момента.

Основными задачами финансовой математики являются:

− измерение конечных результатов финансовой операции;

− разработка планов выполнения финансовых операций;

− оценка зависимости конечных результатов операции от ее условий;

− определение допустимых критических значений параметров операции и расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий финансовой операции.

Любая финансовая операция, инвестиционный проект или коммерческое соглашение предполагают наличие ряда условий их выполнения, с которыми согласны участвую­щие стороны.

К таким условиям относятся следующие количе­ственные данные:

− денежные суммы,

− временные параметры,

− процентные ставки.

Под процента­ми, понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, про­дажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облига­ции и т.д.

Под процентной ставкой пони­мается относительная величина дохода за фиксированный отре­зок времени – отношение дохода (процентных денег) к сумме долга.

Она измеряется в процентах. При выполнении расчетов про­центные ставки обычно измеряются в десятичных дробях.

Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. В качестве такого перио­да принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.

Проценты согласно договоренности между кредитором и за­емщиком выплачиваются по мере их начисления или присоеди­няются к основной сумме долга (капитализация процентов).

Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присо­единением процентов называют наращениемэтой суммы.

Возможно определение процентов и при движении во времени в обратном направлении – от будущего к настоящему. В этом случае сумма денег, относящаяся к будущему, уменьша­ется на величину соответствующего дисконта(скидки). Такой способ называют дисконтированием(сокращением).

Размер процентной ставки зависит от:

− общего состояния экономики, в том числе денежно-кредитного рынка;

− кратковре­менных и долгосрочных ожиданий его динамики; вида сделки, ее валюты; срока кредита;

− особенностей заемщика (его надеж­ности) и кредитора, истории их предыдущих отношении и т. д.

Простые проценты

Под наращенной суммойссуды (депозита, инвестированных средств, платежного обязательства и т.п.) понимается ее первоначальная сумма с начисленными на нее процентами к концу срока наращения.Величина наращенной суммы представляет собой произведение первоначальной суммы ссуды на множитель наращения, который показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.В зависимости от применяемой процентной ставки и условий наращения формула расчета множителя наращения записывается по-разному.

Например, для наращения по простым процентам наращенная сумма (S) будет рассчитываться так:

где Р – первоначальная сумма ссуды, ден. ед.; п –срок ссуды (а днях, месяцах, годах и т. п.); i – ставка наращения (простая постоянная), ед.

Выражение (1 + ni) называется множителем наращения.

В финансово-экономических расчетах срок ссуды обычно измеряется годами, поэтому значение ставки наращения i есть значение годовой ставки процентов. Проценты, начисленные за весь срок ссуды, в этом случае составят:

,

где I – процентная сумма (величина дохода), ден. ед.

Представленная выше формула называется формулой простых процентов, а величину I можно определить как процентный доход, или процентные деньги (проценты).

В практической работе банки, коммерческие организации, финансовые институты и т.п. используют различные способы изменения числа дней ссуды (t) и продолжительности года (временной базыдля расчета процентов) в днях (К).В зависимости от того, как определяются величины t и К– точно, или приблизительно применяются следующие варианты («практики», «системы») начисления простых процентов.

1. Точные проценты с фактическим числом дней ссуды(так называемая «английская» практика).Этот вариант дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками мира. В этом случае K=365 дням, а в месяцах 28, 29, 30 и 31 день.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды(так называемая «французская»практика или банковский метод).Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов.Так, если число дней ссуды превышает 360, то данный способ измерения времени приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, при t = 363 дням, n=363:З60=1,0083, а множитель наращения за этот период будет равен: 1+1,0083*i.

3.Обыкновенные проценты с приближенным числом днейссуды («германская»практика). Подсчет числа дней в этом варианте базируется на годе в 360 дней и месяцах по 30 дней. Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, то проценты с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным, a следовательно, и наращенная сумма по процентам с точным числом дней обычно выше.

Наращение суммы в случае изменения простой процентной ставки в течение срока ссуды.На практике часто встречается ситуация, когда кредитные договоры (соглашения) предусматривают изменение процентной ставки в течение срока ссуды (например, в связи с изменением ставки рефинансирования; желанием банка учесть темп инфляции и т. д.). При этом годовая ставка процентов, указанная в кредитном договоре, носит название номинальной.В этом случае наращенная сумма будет исчисляться следующим образом:

где i t , – ставка простых процентов в периоде t; t=l,2,...,m; ед.;

n t , – продолжительность периода; лет;

т – число периодов, ед.

Наращение суммы при реинвестировании.В целях повышения заинтересованности вкладчиков и быстрого привлечения дополнительных денежных средств, например, в кратко- и среднесрочные депозиты, банки и финансовые компании могут предлагать производить своим клиентам неоднократное наращение вложенной суммы в пределах общего срока займа, т.е. реинвестировать ее. Иными словами, реинвестирование предполагает присоединение начисленных процентов к исходной (первоначальной) сумме и начисление процентов уже на возросшую сумму, и так несколько раз за период.При таком реинвестировании наращенная сумма рассчитывается по формуле:

где n 1 ,n 2 ,...n t – продолжительность периодов наращения, лет;

причем (общий срок сделки);

i 1 , i 2 , … i t , – ставки реинвестирования, ед.

В частном случае, когда и , т.е. когда периоды начисления и ставки процентов равны формула принимает

,

где m – число операций реинвестирования, ед.

Пример 1.1. На сумму вклада в размере 50 тыс. р. в течение месяца начисляются простые проценты по ставке 24% годовых. Какова будет наращенная сумма, если эта операция будет повторена в течение 6 мес. текущего года (т.е. при реинвестировании этой суммы шесть раз) при расчете точных процентов с фактическим числом дней ссуды с 1 -го марта?

По условиям примера Р = 50 тыс. р.; i = 0,24. Точное число дней не високосного года, начиная с марта и заканчивая августом составит: 31+30+31+30+31->-31=184 дня.

По формуле получаем:

Пример 1.2. Потенциальный клиент ряда надежных и расположенных в пределах его пешеходной доступности банков города имеет временно свободные денежные средства в размере 10 тыс. р. и хотел бы поместить их на депозитный счет сроком на 1 год. Первый банк (банк А) предлагает ему сделать вклад на условиях ежеквартального начисления по ставке 20% годовых и капитализации (реинвестирования) процентов. Второй банк (банк Б) на следующих условиях: начисление на вклад по ставке 24% годовых дважды в год с капитализацией процентов. Банк В предлагает ежемесячное начисление процентов по ставке 20% годовых и капитализацией начисленных процентов. И, наконец, банк Г предлагает сделать вклад на условиях начисления 25% годовых без капитализации процентов и начисления их в конце срока вклада.

В каком из банков вкладчик может получить наибольшую сумму по окончании срока договора?

По условиям примера Р = 10тыс. р.; i 1 = 20% ; i 2 = 24% ; i 3 = 20%; i 4 = 25%. Учитывая, что начисление процентов происходит ежеквартально, по полугодиям и ежемесячно с капитализацией, и только в банке Г – в конце года (без реинвестирования), по формуле и получим (тыс. р.):

Наращенная сумма при вкладах в конце и в начале каждого года.

Довольно часто по условиям договоров вклада депозитных договоров банки предусматривают возможность довложения определенной (часто – не выше первоначальной) денежной суммы.

В случае если вклады делаются в конце каждого года, то наращенная сумма составит:

где m – число вкладов, ед.; D – величина вклада, ден. ед.

Если вклады по своей величине равны, т.е. D 1 =D 2 =D 3 =D m , Т о формулу можно записать так:
,

или, учитывая, что ,

можно окончательно написать: .

Очевидно, что наращение по ставке простых процентов в случае, когда довложения делаются в начале года, существенно выгоднее по сравнению в довложениями в конце года.Это происходит потому, что в первом случае увеличивается на один год наращения.

Расчет суммы необходимого депозита при ежегодных выплатах. Довольно часто (особенно при работе с клиентами – пенсионерами, со вкладами на несовершеннолетних и т.п.) работники банка, работающие со вкладами населения, сталкиваются с задачей определения необходимой первоначальной суммы вклада (депозита) клиента, который смог бы обеспечить ему определенные ежегодные выплаты в течении n лет по заранее оговоренной ставке процентов. В общем случае эта задача сводится к решению задачи определения «вечной» ренты, которая подробно будет рассмотрена ниже. Сейчас же рассмотрим ее решение исходя из тех знаний, которые мы уже имеем.

Используя формулу , можно составить следующее уравнение:

где Р 1 ,Р 2 ,…,Р n – определенные ежегодные выплаты, ден, ед.; п – время выплат, лет.

При условии равенства ежегодных выплат, т.е. при P 1 =P 2 = Р 3 = Рn формулу можно преобразовать в выражение следующего вида:

.

Для приближенных, оценочных расчетов величины первоначального вклада можно использовать примерное равенство выражений:

.

Пример 1.3. Рассчитать необходимую первоначальную величину депозита клиента для того, чтобы он имел возможность ежегодно в течении 5 лет получать со своего счета в банке сумму в размере 6 тыс. руб. при начислении простой процентной ставки, равной 30% годовых.

По условиям примера Р=6 тыс. руб.; i n =30%; n=5 лет. Используя формулу , получим (тыс. р.):

Расчет по формуле
дает следующий результат:

Расхождение по сравнению с результатом, полученным по первой формуле, равно – 0,046 тыс. руб., или менее 0,3%. Как видим, расчет по второй формуле дает вполне приемлемый результат.

Расчет срока ссуды и уровня процентной ставки.При подготовке обоснования для получения ссуды и расчета ее эффективности возникает задача определения срока ссуды и уровня процентной ставки при имеющихся прочих условиях. В этом случае срок ссуды может быть определен как в годах, так и в днях:

в годах ;

в днях .

Соответственно и размер процентной ставки может быть определен при исчислений срока ссуды в годах как: ,

а при исчислении срока ссуды в днях так: .

Наращение и равномерная выплата процентов в потребительском кредите. В потребительском кредите, т.е. кредите, как правило, на личные нужды для приобретения товаров (или услуг) проценты начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу чаще всего уже в момент открытия кредита. Такой подход называется разовым начислением процентов, апогашение долга с процентами в этом случае производится обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Наращенная сумма долга при таком подходе рассчитывается по формуле , а величина разового погасительного платежа (R) так:

,

где т – число погасительных платежей по кредиту в году, ед.

Заметим, что в связи с тем, что проценты начисляются на первоначальную сумму долга, а фактическая его величина постоянно уменьшается со временем, действительная процентная ставка (по фактически использованному кредиту) оказывается заметно выше, чем ставка по первоначальным договорным условиям.

Вопросы для самопроверки:

1. Что является предметов финансовой математики?

2. Какую роль играет время в финансовых расчетах?

3. Перечислите виды процентных ставок.

4. Что такое наращенная сумма?

5. Что такое дисконтирование?

6. Как определяется величина процентной ставки?

7. Как рассчитывается срок ссуды.

Тема 3.1.-3.2. Понятие эквивалентности процентных ставок. Вывод формул эквивалентности процентных ставок на основе равенства множителей наращения. Принцип финансовой эквивалентности обязательств. Уравнение эквивалентности. Объединение (консолидация) платежей.

Вопросы для рассмотрения:

1. Эквивалентность процентных ставок. Общие принципы.

2. Эквивалентность простой и сложной процентной ставки с начислением процентов 1 раз в год.

3. Эквивалентность простой процентной ставки и сложной с начислением процентов m раз в год.

4. Эквивалентность сложной процентной ставки с начислением процентов 1 раз в год и сложной процентной ставки с начислением процентов m раз в год.

5. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и простой процентной ставки.

6. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и сложной процентной ставки с начислением 1 раз в год.

7. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и простой процентной ставки с начислением m раз в год.

8. Средняя процентная ставка.

9. Финансовая эквивалентность обязательств.

1. Принцип финансовой эквивалентности обязательств

В финансовой практике часто возникают ситуации, когда необходимо заменить одно обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один (кон­солидировать платежи), изменить схему начисления процентов и т. п. Таким общепринятым принципом, на котором базируются изменения условий контрактов, является финан­совая эквивалентность обязательств.

Изменение условий контракта основывается на принципе финансовой эквивалентности обязательств , который позволяет сохранить баланс интересов сторон контракта. Этот принцип предполагает неизменность финансовых отношений до и после изменения условий контракта. При изменении способов начисления процентов необходимо учитывать взаимозаменяемость между различными видами процентных ставок.

Эквивалентными называются процентные ставки , которые при замене одной на другую приводят к одинаковым финансовым результатам, т.е. отношения сторон не изменяются в рамках одной финансовой операции.

При изменении условий платежей также необходимо учитывать разновременность платежей, которые производятся в ходе выполнения условий контракта до и после его изменения. Эквивалентными считаются такие платежи , которые оказываются равными после их приведения по заданной процентной ставке к одному моменту времени, либо после приведения одного из них к моменту наступления другого по заданной процентной ставке.

Приведе­ние осуществляется путем дисконтирования (приведение к бо­лее ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (ес­ли эта дата относится к будущему).

Если при изменении усло­вий контракта принцип финансовой эквивалентности не со­блюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, раз­мер которого можно заранее определить.

2. Эквивалентность процентных ставок

Для нахождения значений эквивалентных процентных ставок следует составлять уравнение эквивалентности.

Эквивалентность простой процентной и простой учетной ставок. Исходные уравнения для вывода эквивалентности

S = P (1 + n ∙ i ) и

Если результаты наращения равны, то получаем уравнение

P (1 + n ∙ i ) = .

Отсюда 1 + n ∙ i =

и .

Для одних и тех же параметров ссуды условие эквивалентности приводит к тому, что d < i . При этом с ростом срока финансовой операции различие между ставками увеличивается.

Пример 1 . Определить простую учетную ставку, эквивалентную ставке обычных процентов 12 % годовых, при наращении за 2 года.

Решение . Параметры задачи: n = 2 года, i = 12 %. Тогда

d = 0,12/(1 + 2 ∙ 0,12) = 0,0968 или 9,7 %.

Следовательно, операция, в которой принята учетная ставка 9,7 %, дает тот же финансовый результат для 2-годичного периода, что и простая ставка 12 % годовых.

Эквивалентность простой и сложной процентных ставок. Наращенные суммы по простой и сложной процентным ставкам равны

и .

Если равны результаты наращения, то уравнение эквивалентности

= .

Отсюда
и .

При начислении процентов m раз в году аналогично рассуждая, получим: и
.

Пример 2 . Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20 % годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26 % годовых. Найти оптимальный вариант.

Решение . Параметры задачи: n = 4 года, m = 2, i с = 20 %, i п = 26 %. Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

0,285 9 или 28,59 %.

Таким образом, эквивалентная сложной ставке, по первому варианту, простая процентная ставка составляет 28,59 % годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26 % годовых по второму варианту. Следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 20 % годовых с полугодовым начислением процентов.

Пример 3. По трёхмесячному депозиту назначена ставка 10,2 % годовых. Какую ставку годовых процентов следует назначить на ежемесячные депозиты, чтобы последовательное переоформление этих депозитов привело к такому же результату, что и использование трёхмесячного депозита, если пренебречь двумя днями, которые теряются при переоформлении депозитов (T =360)?

Решение . Приравняем соответствующие множители наращения:

Отсюда получаем, что i = 0,101 1 или 10,11 %.

Простые проценты.

. Из равенства: получаем: , где i – простая ставка процентов, характеризующая требуемую реальную доходность финансовой операции (нетто-ставка); i τ – процентная ставка с поправкой на инфляцию.

Это ставка, скорректированная на инфляцию, называется брутто-ставкой.

Сложные проценты.

Проценты 1 раз в год:

Наращенная сумма при отсутствии инфляции равна , а ее эквивалент в условиях инфляции равен . Из равенства: получаем:
из которой можно сравнивать уровни процентной ставки и инфляции, проводить анализ эффективности вложений и устанавливать реальный прирост вложенного капитала.

Проценты m раз в год:

При начислении процентов несколько раз в год:

.

Эти модели позволяют производить учет инфляции и корректировку процентных ставок.

Годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая реальную доходность кредитной операции, определяется по формуле Фишера, связывает три показателя:

R – номинальная процентная ставка, α – уровень инфляции

r – реальная процентная ставка (доходность финансовой операции)

, , .

Пример 4.1. Годовой темп инфляции 20%. Банк рассчитывает получить 10% реального дохода в результате предоставления кредитных ресурсов. Какова номинальная ставка, по которой банк предоставит кредит?

На практике довольно часто довольствуются сравнением i и τ путем вычисления реальной ставки , т.е. уменьшенной ставки доходности на уровень инфляции:

i = (i - τ) / (1 + τ)

Поскольку покупательная способность денег снижается в условиях инфляции, то происходит обесценивание денежных доходов. Поэтому при наращении денег на депозите вкладчик должен сопоставить номинальную процентную ставку, т.е. ставку, указанную в договоре, с величиной индекса потребительских цен.

Вычисление наращенных сумм

Получаем формулу: или, где - уровень инфляции.

Реальная стоимость С суммы S , обесцененная во времени за счет инфляции при индексе цен , рассчитывается по формуле:

Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то . С учетом инфляции реальная стоимость суммы S составит

Для определения реальной покупательской способности, наращенную сумму необходимо привести ее к ценам базового периода:
.

Вследствие начисления процентов происходит увеличение денежных сумм, но их стоимость под влиянием инфляции уменьшается. Поскольку каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, то в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги.

Наращение осуществляется по простым или сложным процентам, но инфляция всегда оценивается по сложному проценту.

Наращенная сумма за n лет с учетом ее обесценивания составит:
, здесь множитель наращения, учитывающий темп инфляции.

− Если темп инфляции больше ставки начисляемых процентов, то полученная наращенная сумма не компенсирует потерю покупательной способности денег. Банковская ставка называется отрицательной.

− Если темп инфляции меньше ставки начисляемых процентов, то наблюдается реальный рост покупательной способности денег. Банковская ставка называется положительной.

− Если темп инфляции равен ставке начисляемых процентов, то покупательная способность наращенной суммы равна покупательной способности первоначальной суммы.

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое инфляция? Перечислите виды инфляции.

2. Что такое ИПЦ?

3. С какой целью проводят учет инфляции?

4. Что такое номинальная ставка процента? Чем она отличается от реальной ставки?

5. Что такое финансовая операция?

6. Как измерить реальную доходность финансовой операции?

Тема 5.1.-5.2. Понятия видов потоков платежей и их основные параметры. Понятие финансовой ренты. Основные параметры ренты и их вычисление. Различные виды финансовых рент. Виды переменных рент. Постоянная непрерывная рента. Конверсии рент.

Вопросы для рассмотрения:

1. Ренты. Классификация рент.

2. Наращенная сумма финансовой ренты постнумерандно.

3. Современная величина финансовой ренты постнумерандно.

4. Срок финансовой ренты постнумерандно.

5. Член финансовой ренты постнумерандно.

6. Наращенная сумма и современная величина других типов финансовых рент.

7. Определение параметров других типов финансовых рент.

8. Определение процентной ставки финансовой ренты.

Очень часто в контрактах финансового характера предусматриваются не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей . Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления - положительными.

Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.

Наращенная сумма потока платежей - это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки.

5.1. Понятие финансовой ренты (аннуитета)

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом .

Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты - величина каждого отдельного платежа, период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты - время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода, процентная ставка - ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту, число платежей в году, число начислений процентов в году, моменты платежа внутри периода ренты.

Виды финансовых рент

Классификация рент может быть произведена по различным признакам. Рассмотрим их.

В зависимости от продолжительности периода, ренты делят на годовые и p-срочные, где p - число выплат в году. Довольно часто в практике встречаются ренты, в которые период выплат превышает год и более (например, в инвестиционной деятельности).

По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, m раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

По величине членов различают постоянные (с равными членами)и переменные ренты . Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные . Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.

Так, например, с необходимостью учета и расчета вечной ренты приходится сталкиваться при финансовых вычислениях, связанных с инвестированием денежных средств или покупкой финансового инструмента (материального объекта), если период их функционирования (возможного получения дохода) достаточно продолжительный и не оговорен конкретными сроками (отсюда и возможность получения бессрочной, т.е. «вечной» ренты), в качестве примера можно привести инвестирование в ценные бумаги крупнейших транснациональных компаний и государства (при отсутствии срока окончания их обращения), покупку доходных гостиниц, ферм, участков земли, производств и т.п.

В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные . Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.

Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода – года, полугодия, месяца и т.п., то такие ренты называются обычными или постнумерандо . Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо . Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.

постнумерандо(когда платежи осуществляются в конце соответствующих периодов) и ренты пренумерандо(когда соответствующие платежи осуществляются в начале указанных периодов). Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i ) раз.

Нечасто, но встречаются на практике и ренты, платежи по которым производятся в середине периодов. Такие ренты называются миннумерандо .Примером такой ренты могут служить, в ряде случаев, авансовые платежи по аренде помещений, а также полугодовые оплаты трат по внешнеторговым контрактам.

Чаще всего в практических финансово-экономических расчетах решается, по существу, двуединая задача определения наращенной суммыили современной величины(стоимости) потока платежей. В данном контексте под современной величиной потока платежей понимается сумма всех его членов, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей, или упреждающий его. Она может характеризовать капитализированный доход, чистую приведенную прибыль, приведенные издержки, эффективность инвестиций и валютно-финансовых условий внешнеторговых контрактов, доходность вкладов и депозитов и др. финансово-экономических и коммерческих операций.

Формулы наращенной суммы

Обычная годовая рента

Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в года по ставке i . В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины , так как на сумму R проценты начислялись в течение n-1 года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии

В которой первый член равен R , знаменатель (1+i) , число членов n . Эта сумма равна

где - по схеме постнумерандо.

- по схеме пренумерандо. (1.2)

Пример: В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:
млн. руб.

Обычная годовая рента

Пусть член годовой ренты равен R , процентная ставка i , проценты начисляются один раз в конце года, срок ренты n . Тогда дисконтированная величина первого платежа равна

, где - дисконтный множитель.

Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна Rn 2 и т.д. В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: Rn, Rn 2 ,Rn 3 , ..., R n n , сумма которой равна