Под процентными средствами следует понимать абсолютный размер прибыли, полученной в результате предоставления денег. Они могут передаваться в любой форме. Это могут быть различные финансовые сделки. К примеру, осуществляется выдача ссуды, помещение средств на депозитный счет, продажа изделий в кредит, приобретение облигации, учет векселя и так далее. Особое значение при этом имеет связь между ставкой наращения и ставкой дисконтирования. Рассмотрим эти элементы подробнее.

Специфика

Представляет собой относительную сумму прибыли, полученной за определенный (фиксированный) временной отрезок. Она формируется отношением дохода к размеру задолженности. Измерение ее осуществляется в обыкновенной либо десятичной дроби или же в процентах. Проводя анализ финансовых операций, специалисты используют эту относительную сумму как показатель степени эффективности (доходности) любой коммерческо-хозяйственной, инвестиционной, кредитной деятельности. При этом не будет иметь значения, был ли факт инвестирования средств и процесс увеличения их объема, или он не состоялся. Временной промежуток, к которому приурочена ставка процента, именуется периодом начисления. Им может являться год, квартал, полугодие, месяц и даже день в некоторых случаях. Как правило, на практике используются годовые суммы.

Логика операций дисконтирования (наращения) капитала

По договоренности между заемщиком и кредитором, выплата процентов осуществляется по мере их начисления, либо они включаются в основную сумму задолженности. Увеличение объема средств во времени вследствие присоединения - это наращение капитала. Его именуют еще ростом суммы. - величина, обратная ставке наращения. Это обусловливается тем, что при сокращении сумма, которая относится к предстоящему периоду, уменьшается на показатель соответствующей скидки. В таких случаях говорят, что применяются учетные (дисконтированные) ставки. Проценты, полученные по ним, именуют антисипативными, а те, которые возникли по сумме увеличения, называют декурсивными. Такова логика операций дисконтирования (наращения) капитала.

Особенности начисления

В большинстве случаев декурсивные проценты именуют просто процентами. Для их начисления используется постоянная база. Когда в качестве нее принимается сумма, которая была получена на предыдущем этапе сокращения либо увеличения, применяются сложные проценты. Наращение и дисконтирование в таких случаях проходит по определенным схемам. Относительные суммы могут являться фиксированными. В этом случае в договоре определяются их размеры. Также они могут быть и плавающими. В этом случае в договоре указывается не ставка, а база, изменяющаяся во временном промежутке, а также сумма надбавки - маржи. Размер последней определяется сроком кредита, платежеспособностью заемщика и прочими условиями. В течение всего периода ссудной операции она может являться переменной либо постоянной. В случае последовательного погашения долга допускается два варианта начисления процентов. В первом случае ставка либо простая) применяется к фактически существующей сумме задолженности. Второй вариант используется при потребительском кредитовании. В этом случае начисление осуществляется на всю сумму обязательства без учета его последовательного погашения. На практике используются дискретные суммы. Они начисляются за определенные временные промежутки (полугодие, год и пр.). Операции наращения и дисконтирования могут проводиться непрерывно, в течение бесконечно малых периодов. В этом случае применяют и соответствующие проценты (непрерывные).

Формулы наращения и дисконтирования

Под увеличенной суммой долга (ссуды, депозита, прочих займов или инвестированных средств) следует понимать первоначальный объем денег с процентами к концу периода начисления. Таким образом, можно обозначить:

• проценты за весь срок - I;
• первоначальная сумма задолженности - Р;
• увеличенный объем средств (в конце периода) - S;
• процентная ставка - i;
• время ссуды - n.

За весь период проценты будут составлять:

Наращение суммы определяется сложением первоначальных средств и процентов:

P + I = P + Pni = P (1+ ni) = S.

На практике специалистам часто приходится сталкиваться с противоположной задачей. По сумме S, которая подлежит уплате через какой-то временной промежуток n, нужно определить размер ссуды, которая была получена - Р. В таких случаях имеет место дисконтирование. Расчет осуществляется тогда, когда проценты с суммы S будут удерживаться вперед, непосредственно при выдаче займа. Процесс начисления процентов и их списание именуют учетом. Сами же проценты называют дисконтом либо скидкой. Для вычисления нужно воспользоваться равенством S = P (1 + ni). Получится Р = S / (1 + ni). Таким образом, Р будет являться современным размером S, выплаченным спустя n лет. Приведенные вычисления показывают простые виды дисконтирования (наращения). В последнем случае рассмотрен вариант математического определения суммы. Как видно, при вычислениях используются показатели, которые применяются и в операции наращения, и дисконтирования.

Длительность периода

Операции наращения и дисконтирования могут вычисляться по двум временным базам. Если К будет 360 дней, то получаются коммерческие или обыкновенные проценты. При применении реальной продолжительности календарного года в 365 или 366 дней начисляют точные проценты. Количество дней ссуды берется точно и приближенно. В последнем случае в месяце будет 30 дней. Точное количество дней можно определить посредством вычисления их числа между датами, когда был выдан заем, и когда он должен быть погашен. По ст. 839, п. 1 ГК, дни, в которые был открыт и закрыт вклад, не включаются в общий срок для начисления.

Используемые варианты

На практике применяются три способа начисления процентов:

В процессе инвестирования средств в краткосрочный депозит в некоторых случаях применяют неоднократное последовательное повторение наращения по простому проценту в рамках общего заданного периода. Таким образом выполняется реинвестирование сумм, полученных на каждой стадии увеличения объема средств при помощи переменной или постоянной базы.

Сокращение

Дисконтирование может рассматриваться в качестве определения любого стоимостного показателя, относящегося к предстоящему времени, на более ранний период. Такой метод именуется приведением величины к некоторому, как правило начальному, моменту. Сумму Р, полученную при помощи сокращения, называют текущей стоимостью либо современным размером будущего платежа. В зависимости от используемого вида ставки процента используется два варианта дисконтирования:

1. Математический метод.
2. Коммерческий (банковский) учет.

В первом варианте, рассмотренном выше, полученная дробь именуется дисконтирующим множителем. Он отражает долю, которую составляет первоначальный размер задолженности в конечной сумме. При использовании метода коммерческого учета финансовый институт до наступления срока выплаты по векселю либо другому платежному обязательству покупает его у владельца по стоимости, меньшей, чем указана в бумаге. Таким образом, приобретение осуществляется с учетом скидки. При наступлении срока платежа банк, получив деньги, реализует процентную прибыль в форме дисконта. Владелец бумаги с помощью учета обладает возможностью получить средства раньше указанного в ней срока.

Особенности векселя

Эта ценная бумага представлена в виде Вексель оформляется в соответствии с законодательными требованиями. Нормы предусматривают специальные бланки, в которых присутствуют наименование, срок платежа, место, где он должен быть произведен, сведения о субъекте, которому предназначается оплата, информация о дате и месте составления бумаги, подпись векселедателя. Такие долговые расписки могут быть переводными и простыми. Последние представлены в виде документов, которые удостоверяют безусловное финансовое обязательство векселедателя выплатить определенную сумму владельцу бумаги по наступлению срока погашения обязательства. Переводным называют документ, который выписывает заемщик. Тратта - это форма особого приказа непосредственному плательщику (банковской организации, как правило) о выплате в установленный срок векселедержателю (третьему лицу) определенной суммы.

Учет векселя

Для таких ценных бумаг используется коммерческий (банковский) метод. В соответствии с ним проценты за использование ссуды в форме дисконта будут начисляться на сумму, которая должна быть выплачена в конце периода. Учетным показателем в этом случае выступает d. Размер суммы будет равен Snd. N будет измеряться в годах, если d - годовая ставка. Вычисления будут следующими:

Р = S - Snd = S (1 - nd),

где n - период с момента учета до дня погашения обязательства;

(1 - nd) - дисконтный множитель.

Учет, как правило, выполняется при временной базе К, равной 360 дням, количество дней займа чаще всего берется точное.

Другие варианты

Операции наращения и дисконтирования вычисляются не только по простым процентам. К примеру, суммы не выплачиваются сразу после начисления, а включаются в сумму задолженности. Такое присоединение именуют При вычислении можно применить те же показатели, что использовались выше.

По окончании первого года проценты равны Pi. Наращенная сумма при этом будет Р + Pi = Р (1 + i). К завершению второго года она станет Р (1 + i) + Р (1 + i) i = Р (1 + i) 2 и так далее. По окончании года n сумма будет S = Р (1 + i) n, а проценты за этот период I = S - P = Р [(1 + i) n - 1].

(1 + i) n - множитель наращения по сложным процентам. Время в таких случаях измеряют как АСТ/АСТ. Зачастую срок для начисления процентов не целое число.

Начисление процентов при увеличении средств

Существуют следующие варианты начисления при наращении:

Для сопоставления результатов увеличения по различным процентным показателям достаточно будет провести сравнение соответствующих множителей. При равных уровнях ставок процентов соотношения этих показателей будут существенно зависеть от периода. При n>1 с удлинением срока различие будет увеличиваться. Работая со сложными процентами, используют правило 72: если процентная ставка есть i, то удвоение суммы происходит приблизительно за 72/i лет. К примеру, при 12 % это случится спустя 6 лет.

Номинальный и эффективный показатель

В условиях современности капитализация процентов осуществляется, как правило, не единожды, а несколько раз в течение года. Это может осуществляться поквартально либо по полугодиям. В некоторых зарубежных коммерческих банковских структурах практикуется и ежедневное начисление. Если взять за годовую ставку j, количество периодов в году - m, каждый раз определение процентов будет осуществляться по j/m. Ставка j именуется номинальной. Существует также действительный (эффективный) показатель. Он представляет собой годовую ставку сложных процентов. С ее использованием получают тот же результат, что и при применении m - единовременное начисление процентов по j/m. Эта ставка измеряет тот относительный реальный доход, который получается в целом за год.

Банковский учет

При вычислении по коммерческому методу используется сложная ставка. В таких случаях процесс сокращения суммы проходит с определенным замедлением. Это обусловливается тем, что каждый раз учетную ставку применяют не к первоначальному объему средств. Она используется для суммы, дисконтированной на предыдущем этапе во временном промежутке. Эффективный учетный показатель характеризует степень сокращения за год. Эта ставка во всех случаях при m>1 будет меньше, чем номинальная.

В финансовой практике часто приходится решать задачи, обратные опре­делению наращённой суммы: по уже известной наращённой сумме (FV) следует определить неизвестную первоначальную сумму долга (PV).

Такие ситуации возникают при разработке условий финансовой сделки, или когда проценты с наращённой суммы удерживаются непосредственно при выдаче ссуды.

Процесс начисления и удержания процентов вперёд, до наступ­ления срока погашения долга, называют учётом, а сами проценты в виде разно­сти наращённой и первоначальной сумм долга дисконтом (discount)".

Термин дисконтирование в широком смысле означает определение зна­чения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину.

Не редко такой расчёт называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину РУ называют приведённой (современной или текущей) величиной FV. Таким образом, дисконтирование - приведение буду­
щих денег к текущему моменту времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет, а также независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращённой.

Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчётах фактор времени, поскольку даёт сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому моменту вре­мени, а не обязательно к началу финансовой операции.

Исходя из методики начисления процентов, применяют два вида дискон­тирования:

Математическое дисконтирование по процентной ставке;

Банковский учёт по учётной ставке.

Различие в ставке процентов и учётной ставке заключается в различии базы для начислений процентов:

В процентной ставке в качестве базы берётся первоначальная сумма

В учётной ставке за базу принимается наращённая сумма долга

РУ-РУ Л. (0°)

Проценты, начисленные по ставке процентов, называются антисипатив- ными, а по учётной ставке - декурсивными.

Учётная ставка более жёстко отражает временной фактор, чем процент­ная ставка. Если сравнить между собой математическое и банковское дискон­тирование в случае, когда процентная и учётная ставка равны по своей величине, то видно, что приведённая величина по процентной ставке больше приведённой величины по учётной ставке.

Математическое дисконтирование - определение первоначальной сум­мы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процент­ной ставки (/), позволит к концу срока получить указанную наращённую сумму для простых процентов:

РУ =---------- =---------- = РУ х (1 + пх /)-1 = РУ х кЛ, (1.31)

1 + п х I 1 + п х I

где кд - дисконтный множитель (коэффициент приведения) для простых про­центов.

Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первона­чальная сумма долга в величине наращённой суммы. Поскольку дисконтный множитель (множитель приведения) зависит от двух аргументов (процентной ставки и срока ссуды), то его значения легко табулируются, что облегчает фи­нансовые расчёты.

Пример. Через 150 дней с момента подписания контракта необходимо уплатить 310 тыс. руб., исходя из 8% годовых и временной базы 360 дней. Определить первоначальную сумму долга. Решение:

Поскольку срок ссуды менее года, то используем формулу простых процентов:

РУ = 310000 х 1 / (1 + 150 / 360 х 0,08) = 300 000 руб.

РУ = 310000 х 0,9677419 = 300 000 руб. Таким образом, первоначальная сумма долга составила 300 тыс. руб., а проценты за 150 дней - 10 тыс. руб. Для сложных процентов -

РУ = ГУ х(1 + 0-п = ГУ хка, (1.32)

где кд - дисконтный множитель для сложных процентов.

Если начисление процентов производится т раз в год, то формула примет

Пример. Через два года фирме потребуются деньги в размере 30 млн руб., какую сумму необходимо сегодня поместить в банк, начисляющий 25% годовых, чтобы через 2 года получить требуемую сумму? Решение:

Поскольку срок финансовой операции составляет более года, что исполь­зуем формулу приведения для сложных процентов:

РУ = 30000000 х 1 / (1 + 0,25)2 = 19 200 000 руб.

РУ = 30000000 х 0,6400000 = 19 200 000 руб.

Таким образом, фирме следует разместить на счёте 19 200 000 руб. под 25% годовых, чтобы через два года получить желаемые 30 000 000 руб.

Современная величина и процентная ставка, по которой проводится дис­контирование, находятся в обратной зависимости: чем выше процентная ставка, тем при прочих равных условиях меньше современная величина.

В той же обратной зависимости находятся современная величина и срок финансовой операции: чем выше срок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современная величина.

Банковский учёт - второй вид дисконтирования, при котором исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт.

Операция учёта (учёт векселей) заключается в том, что банк или другое финансовое учреждение до наступления платежа по векселю покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т. е. приобретает его с дисконтом.

Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учёте векселя, называется дисконтированной величиной векселя. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока его погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продаёт большинство своих ценных бумаг.

Для расчёта дисконта используется учётная ставка:

Б = РУ - РУ = РУ х п х Л = РУ х ^ х Л, (1.34)

где п - продолжительность срока в годах от момента учёта до даты выплаты известной суммы в будущем.

РУ = РУ - РУх п х Л = РУ х (1 - п х Л), (1.35)

где (1 - п х ё) - дисконтный множитель.

Очевидно, что чем выше значение учётной ставки, тем больше дисконт. Дисконтирование по простой учётной ставке чаще всего производится по французской практике начисления процентов, т. е. когда временная база при­нимается за 360 дней, а число дней в периоде берётся точным.

Пример. Вексель выдан на 5 000 руб. с уплатой 17 ноября, а владелец учёл его в банке 19 августа по учётной ставке 8%. Определить сумму, получен­ную предъявителем векселя и доход банка при реализации дисконта.

Для определения суммы при учёте векселя рассчитываем число дней, оставшихся до погашения обязательств:

Отсюда, определяемая сумма:

РУ = 5000 х (1 - 90/360 х 0,08) = 4 900 руб.

Тогда дисконт составит:

Б = РУ - РУ = 5000 - 4900 = 100 руб.

Б = 5000 х 90/360 х 0,08 = 100 руб.

Следовательно, предъявитель векселя получит сумму 4900 руб., а банк при наступлении срока векселя реализует дисконт в размере 100 руб.

По сложной учётной ставке текущая величина составит:

РУ = РУ х (1 - !)п (1.36)

При использовании сложной учётной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, т. к. учётная ставка каждый раз применяется к уменьшаемой на величину дисконта величине.

Пример. Определить величину суммы, выдаваемую заёмщику, если он обязуется вернуть её через два года в размере 55 тыс. руб. Банк определяет свой доход с использованием годовой учётной ставки 30%.

Используя формулу дисконтирования по сложной учётной ставке, опре­деляем:

РУ = 55000 х (1 - 0,3)2 = 26 950 руб.

Заёмщик может получить ссуду в размере 26 950 руб., а через два года вернёт 55 тыс. руб.

Объединение платежей можно производить и на основе учётной ставки, например, при консолидировании векселей. В этом случае, сумма консолиди­рованного платежа рассчитывается по следующей формуле:

РУб =1 РУ} х (1 - с! х ^)Л (1.37)

где ^ - интервал времени между сроками векселей.

Пример. Вексель на сумму 10 тыс. руб. со сроком погашения 10.06, а также вексель на сумму 20 тыс. руб. со сроком погашения 01.08 заменяются одним с продлением срока до 01.10. При объединении векселей применяется учётная ставка 25%. Определить сумму консолидированного векселя.

Для использования формулы консолидированного платежа необходимо определить срок пролонгации векселей:

ї1 = 21 (июнь) + 31 (июль) + 31 (август) + + 30 (сентябрь) + 1 (октябрь) - 1 = 113 дней, = 31 (август) + 30 (сентябрь) + 1(октябрь) - 1 = 61 день.

Тогда, сумма консолидированного векселя будет равна: ¥У0 = 10000 х (1 - 113/360 х 0,25)-1 + 20000 х (1 - 61/360 х 0,25)-1 = 31 736 руб.

Таким образом, сумма консолидированного векселя с датой погашения 01.10 составит 31 736 руб.

В том случае, когда учёту подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учётной ставке:

РУ2 = РУ1 х (1 + п х і) х (1 - п2 х й), (1.38)

где РУ1 - первоначальная сумма долга;

РУ2 - сумма, получаемая при учёте обязательства;

п1 - общий срок платёжного обязательства;

п2 - срок от момента учёта до погашения.

Пример. Обязательство уплатить через 100 дней сумму долга в размере 50 тыс. руб. с начисляемыми на неё точными процентами по ставке 40%, было учтено за 25 дней до срока погашения по учётной ставке 25%. Определить сум­му, полученную при учёте обязательства.

Следует обратить внимание на различие временных баз, используемых при наращении и учёте:

РУ2 = 50000 х (1 + 100/365 х 0,4) х (1 - 25/360 х 0,25) = 54 516 руб.

Следовательно, сумма, получаемая при учёте данного обязательства, со­ставит 54 516 руб.

Простейшим примером финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы (PV) с условием, что через какое-то время (t) будет возвращена большая сумма (FV). При этом FV называется будущей стоимостью, а PV – настоящей стоимостью.

Будущая стоимость денег денег (FV) – это сумма инвестированных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом определенной ставки процента.

Настоящая стоимость денег (PV) – это сумма будущих денежных средств, приведенных с учетом определенной ставки процента (процентной ставки) к настоящему периоду времени.

Результативность приведенной сделки может быть охарактеризована:

· или с помощью абсолютного показателя (FV – PV), но как было уже сказано, абсолютные показатели не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости во временном аспекте;

· или расчетом относительного показателя, специального коэффициента – ставки.

Ставка рассчитывается как отношение приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо PV, либо FV. Таким образом, ставка рассчитывается по одной из двух формул:

· темп прироста

· темп снижения

В финансовых вычислениях первый показатель имеет еще названия «процентная ставка», «процент», «ставка процента», «норма прибыли», «доходность», а второй – «учетная ставка», «дисконт».

Обе ставки взаимосвязаны, т.е. зная одну ставку, можно рассчитать другую:

Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения:

· в формуле процентной ставки (1.1) за базу сравнения берется исходная сумма;

· в формуле учетной ставки (1.2) – возвращаемая сумма.

Очевидно, что , а степень расхождения зависит от уровня процентных ставок на конкретный момент времени. Например:

· если i t = 8 %, то d t = 7,4 %, т.е.

· если i t = 80 %, то d t = 44,4 %, т.е. ставки существенно различаются по величине.

Как мы видим, при разумных значениях ставок расхождения между процентной и дисконтной ставками относительно невелики и потому в прогнозных расчетах, например, при оценке инвестиционных проектов может быть использована любая из них.

Итак, в любой простейшей сделке всегда присутствуют три величины, две из которых заданы, а одна является искомой.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и процентная ставка называется процессом наращения , а процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и коэффициент дисконтирования, называется процессом дисконтирования . В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором – о движении денежного потока от будущего к настоящему (рисунок 1.1).

В качестве коэффициента дисконтирования может использоваться либо процентная ставка (математическое дисконтирование), либо учетная ставка (банковское дисконтирование).

Экономический смысл операции наращения (формула 1.1.) состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Поскольку из формулы (1.1) получается:

то видно, что время генерирует деньги. Величина FV показывает будущую стоимость «сегодняшней» величины PV при заданном уровне доходности.

На практике доходность является величиной непостоянной, зависящей, главным образом, от степени риска, ассоциированного с данным видом бизнеса. Связь здесь прямо пропорциональная: чем рискованнее бизнес, тем выше значение доходности.

Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных временных периодов. Коэффициент дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина PV показывает как бы текущую, сегодняшнюю стоимость будущей величины FV. Например, предприятие получило кредит на один год в размере 5 млн. руб. с условием возврата 10 млн. руб. в этом случае процентная ставка равна 100 %, а дисконт – 50 %.

I. Процессы наращения и дисконтирования в финансовых операциях.

1.1 Процентная ставка

Простейшие и самые распространенные финансовые операции связаны с кредитом. Если вы хотите занять деньги, то идете в банк. Банк даст вам деньги с определенными условиями возврата, которые включают величину, способы возврата и время возврата денег. Если вы предоставляете свой капитал на определенное время, то тоже указываете в договоре величину, способы возврата и время возврата денег. При заключении финансового договора кредитор и заемщик договариваются о величине процентной ставки . Процентная ставка (rate of interest) является одной из основных характеристик кредитных, финансовых, коммерческих и инвестиционных контрактов. Процентная ставка – одно из основных финансовых понятий.

Процентная ставка учитывает фактор времени. В контрактах обязательно указывается сроки, периоды выплаты денег.

Фраза «доллар сегодня дороже, чем доллар завтра», отражает основной принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени (time-value of many). Имеющуюся сегодня сумму можно инвестировать и получить в будущем доход, и сегодняшние 1000 руб. имеют большую ценность чем те же 1000 руб. через три или пять лет с учетом инфляции и рисков невозврата инвестиции (кредита). Фактор времени в долгосрочных операциях иногда оказывается важнее, чем величина суммы денег.

Процентная ставка учитывает временной интервал , который называется периодом начисления (running period). Периодом начисления может быть год, квартал, месяц, день. В практической деятельности и в статистике обычно подразумеваются годовые процентные ставки.

Процентная ставка учитывает риски финансовых операций и инфляцию . Процентная ставка является мерой эффективности (доходности) финансовой деятельности, кредитования, инвестиции, коммерческой деятельности.

Существуют различные виды процентных ставок. Ставки наращения (interest base rate), которые в зависимости от начальной суммы (базы начисления) в соответствующем периоде начисления подразделяются на простые и сложные. Учетная ставка (discount rate) – используется в операциях банковского дисконтирования, когда необходимо найти первоначальную сумму при известной конечной сумме.

Процентные ставки бывают фиксированным и плавающими. Базовая процентная ставка показывает изменяющуюся во времени базу и размер надбавки к ней (маржу). Например, межбанковская ставка LIBOR (London interbank offered rate), базовая ставка по рублевым кредитам МИБОР.

Важные для финансовой деятельности процентные ставки имеют специальное название. Это ставки рефинансирования Центрального Банка России (для США Федеральной резервной системы, далее ФРС). Ставка рефинансирования – это процентная ставка, по которой ЦБ выдает кредиты коммерческим банкам . За их изменениями внимательно следят участники финансового рынка.

Процентные ставки изменяются во времени, и зависимость от времени процентной ставки (временная структура процентной ставки) является одной их важнейших характеристик финансового рынка.

Процентные ставки выражаются либо в процентах, либо в долях единицы. Далее везде будем использовать в формулах значения процентов в виде десятичной дроби.

1.2 Процессы наращения и дисконтирования.

Процесс наращения – это увеличение первоначальной суммы денег..gif" width="21" height="24 src=">- исходная сумма, - наращенная сумма за время t или будущая сумма. Эффективность такой финансовой операции за один период Т от t = 0 до t = T рассчитывается, как доля прироста капитала к первоначальной сумме

https://pandia.ru/text/78/654/images/image006_39.gif" width="12 height=13" height="13">называется процентной ставкой за период наращения Т.

Рис.1.1. Графическое изображение процесса наращения.

Настоящее. Будущее.

Начальная (настоящая) сумма Возвращаемая (будущая)сумма

(РV-present value) (FV –future value)

https://pandia.ru/text/78/654/images/image008_33.gif" width="246" height="12"> https://pandia.ru/text/78/654/images/image009_29.gif" width="97" height="24 src=">. (1.2)

Время генерирует деньги.

Если известна возвращаемая сумма и надо найти отношение прироста к конечной сумме https://pandia.ru/text/78/654/images/image012_26.gif" width="15" height="19 src=">

дисконтирование

https://pandia.ru/text/78/654/images/image010_28.gif" width="17" height="24 src="> и первоначальной суммой долга.

https://pandia.ru/text/78/654/images/image017_20.gif" width="34" height="24">при известной величине называется дисконтированием или банковским учетом. Из (1.3) эта величина равна

. (1.5)

В финансовой практике d называется часто учетной ставкой. Учетная ставка используется тогда, когда плата за кредит (процентный доход) начисляется авансом при выдаче кредита и связана с так называемым «антисипативным» способом начисления процента. Заемщику выдается сумма, уменьшенная на величину процентного дохода, а возвращается полная сумма долга.

Из формул (1.2) и (1.5) легко найти связь между процентной ставкой r и учетной ставкой d.

https://pandia.ru/text/78/654/images/image021_20.gif" width="72" height="45 src=">..gif" width="45" height="24 src=">.gif" width="133" height="41 src=">. (1.6)

Из приведенных формул следует, что теоретическая дисконтная ставка d меньше процентной ставки r .

Наряду с банковским дисконтированием, в котором используется учетная ставка, существует и математическое дисконтирование, в котором, используется процентная ставка r . При математическом дисконтировании сумма за один период равна

https://pandia.ru/text/78/654/images/image027_17.gif" width="43 height=17" height="17">, то можно использовать приближение , в результате получим .

Выше приведенные соотношения между начальной и наращенной суммой соответствуют одному временному интервалу – периоду начисления (дисконтирования) t . Если таких периодов несколько, то в формулах наращения (1.2) и дисконтирования (1.5) появляется коэффициенты (множители) наращения и дисконтирования.

Пример 1. Фирма получила кредит на один год в размере 10 млн. руб. с условием возврата а) 15млн. руб., б) 10,5 млн. руб. Найти процентную ставку и дисконт.

а) https://pandia.ru/text/78/654/images/image031_11.gif" width="120 height=41" height="41"> в процентах r = 50%, d = 33,33%.

б) https://pandia.ru/text/78/654/images/image033_13.gif" width="140" height="44 src=">, в процентах r = 5%, d = 4,8%.

При равных наращенных и начальных суммах величина учетной ставки меньше процентной ставки. При уменьшении наращенной суммы разность между учетной и процентной ставкой уменьшается.

Пример 2. Кредит был выдан под 12% годовых. Найти начальную сумму, если возвращаемая сумма равна 650 тыс. руб.

Решение. Расчет начальной суммы можно произвести двумя способами. По методу банковского дисконтирования (1.5) начальная сумма равна

https://pandia.ru/text/78/654/images/image035_10.gif" width="97" height="44 src=">580,357 тыс. руб.

Пример 3. Сравнить наращенные проценты по процентной ставке и учетной ставке, считая их равными.

Решение. Величина наращенных процентов по процентной ставке r равна , по учетной ставке d равна , поскольку , то при равенстве r = d , учетная ставка приводит к большей величине задолженности, чем процентная ставка r.

1.3. Начисление простого процента и сложного процента.

Простой процент.

Простой процент начисляется за все время действия контракта на определенную первоначальную сумму. Этот способ начисления процентов называют “наращиванием без капитализации”. Наращенная сумма при ежегодном начислении процентов или будущая стоимость (future value) равна

https://pandia.ru/text/78/654/images/image040_8.gif" width="112" height="45 src=">, (1.9)

где https://pandia.ru/text/78/654/images/image042_7.gif" width="91" height="24"> или .

Пример 4. Кредит в размере 2 млн. руб. был выдан на 60 дней под 12% годовых. Найти наращенную сумму и процентный доход.

Решение. По формуле (1.9) найдем наращенную сумму

https://pandia.ru/text/78/654/images/image045_8.gif" width="111" height="41">=0,4 млн. руб.

Пример 5. Банк предлагает депозит с начислением на первоначальную сумму. Первые три месяца по ставке 4% годовых, в следующие три месяца процент возрастает на 0,5%. Найти наращенную сумму и процентный доход, если сумма вклада составляет 30 000руб.

Решение..gif" width="164" height="41 src=">=337,5 руб. За все шесть месяцев процентный доход равен 300+337,5=637,5 руб. Наращенная сумма равна DIV_ADBLOCK110">

Сложный процент.

Начисление сложного процента осуществляется на наращенную сумму, поэтому этот способ начисления называют «наращением с капитализацией»..gif" width="107" height="39 src=">, (1.10)

где r - годовая процентная ставка (per annual), выраженная в виде долей единицы. Величина часто бывает нецелым числом. В зависимости от внутренних правил банка для расчета наращенной суммы при дробном числе лет как формула (1.10) или применяться приближенная формула.

https://pandia.ru/text/78/654/images/image054_6.gif" width="21" height="45">, а f - дробная часть этого числа. Если начисление сложных процентов происходит m раз в году течении n лет, то расчет наращенной суммы за время производят по формуле

, (1.12)

где r – годовая процентная ставка (номинальная), https://pandia.ru/text/78/654/images/image059_10.gif" width="77" height="24 src="> – называется множителем наращения , а – коэффициентом наращения . Наращенная сумма зависит от частоты начисления процентов. Чем больше частота начисления процентов, тем больше наращенная сумма. Таким образом, для вкладчика выгоднее частое начисление процентов, а для заемщика наоборот. В кредитных контрактах и депозитных договорах , когда начисление процентов происходит по сложной процентной ставке, указывается годовая процентная ставка, которая называется номинальной.

Непрерывное начисление процентов.

Если частота начисления процентов становится непрерывной, то есть частота начисления процентов бесконечно возрастает , а временной интервал начисления становится бесконечно малым, то наращенная сумма или будущая стоимость рассчитывается по формуле

, (1.13)

где https://pandia.ru/text/78/654/images/image002_62.gif" width="12 height=23" height="23">.gif" width="79" height="41 src=">.gif" width="133" height="51 src=">, (1.14)

где – DIV_ADBLOCK111">

https://pandia.ru/text/78/654/images/image071_6.gif" width="227" height="25 src=">, (1.16)

где https://pandia.ru/text/78/654/images/image073_4.gif" width="68" height="41 src=">; (1.17)

для сложных процентов из формулы (1.12)

. (1.19)

Пример 6. Сколько лет потребуется для увеличения первоначальной суммы в 1,2 раза, если номинальная процентная ставка равна 9%, а начисление процентов происходит 4 раза в год.

Решение. По формуле (1.19) найдем необходимое число лет:

N = 1,2; m = 4, https://pandia.ru/text/78/654/images/image077_5.gif" width="13" height="13 src=">2 года.

Решение. Расчет проведем по формуле (1.12) в Excel. Результаты расчетов приведены ниже в таблице и на гистограммах ниже.

Таблица 1. Наращенные суммы и множители наращения для различной частоты начисления процентов в году .

6.2. Временнáя ценность денег: операции наращения и дисконтирования (теория и практика)

Важность учета фактора времени обусловлена принципом неравноценности денег, относящихся к различным моментам времени: равные по абсолютной величине денежные суммы "сегодня" и "завтра" оцениваются по-разному, – сегодняшние деньги ценнее будущих. Отмеченная зависимость ценности денег от времени обусловлена влиянием фактора времени.

Во-первых, деньги можно продуктивно использовать во времени как приносящий доход финансовый актив, то есть деньги могут быть инвестированы и тем самым принести доход. Рубль сегодня стоит больше, чем рубль, который должен быть получен завтра ввиду процентного дохода, который вы можете получить, положив его на сберегательный счет или проведя другую инвестиционную операцию;

Во-вторых, инфляционные процессы ведут к обесцениванию денег во времени. Сегодня на рубль можно купить товара больше, чем завтра на этот же рубль, так как цены на товар повышаются.

В-третьих, неопределенность будущего и связанный с этим риск повышает ценность имеющихся денег. Сегодня рубль уже есть и его можно израсходовать на потребление, а будет ли он завтра, – еще вопрос.

Возникают, как правило, две задачи.

Первая – это определение будущей стоимости «сегодняшних» денег. В качестве цены денег рассматривается процент, как экономическая категория, используемая для сопоставления одной и той же суммы денег в различные периоды времени с учетом того, что вложенная сумма денег приносит доход.

Вторая – это определение текущей стоимости «будущих» денег.

Для рассмотрения формул, используемых при решении данных задач, введем ряд условных обозначений:

PV – величина первоначальной суммы или настоящая (текущая) стоимость денег (presentvalue);

FV – наращенная сумма или будущая стоимость денег (futurevalue), первоначальная сумма с начисленными на нее процентами;

r – ставка процента за период начисления процентов или норма доходности (interestrate);

n – число процентных периодов.

Рассмотрим суть и содержание каждой из этих задач.

Будущая стоимость денег – это стоимость настоящих денег через определенный период времени, увеличенная (наращенная) при осуществлении финансовой операции согласно заданной норме доходности. Операция наращения – это процесс увеличения (наращения) настоящей стоимости денег согласно заданной норме доходности при осуществлении финансовой операции по схеме простых или по схеме сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает начисление процентов в конце каждого периода начисления на настоящую стоимость денег.

Соответственно, будущая стоимость денег (по схеме простых процентов) к концу второго периода начисления процентов можно определить следующим образом:

FV=PV∙(1+r∙n)

Схема сложных процентов предполагает начисление процентов в конце каждого периода начисления на увеличенную на сумму начисленных процентов за предыдущие периоды стоимость денег. Принцип наращения при использовании схемы сложных процентов можно представить в таблице 2.

FV= PV∙〖(1+r)〗^n

Разберем теперь определение текущей стоимости денег (операция дисконтирования).

Текущая стоимость денег – это стоимость будущих денежных поступлений (платежей) в настоящий момент времени. Текущая стоимость денег определяется с помощью операции дисконтирования. Дисконтирование – это процесс приведения будущей стоимости денег к их текущей (приведенной) стоимости или оценка будущих денежных поступлений (платежей) с текущего момента времени.

Необходимость определения текущей стоимости денег обусловлена следующими факторами:

обесценивание денег в результате инфляции;

обращение денежных средств как капитала обеспечивает получение дохода от этого оборота;

предъявление инвестором определенных требований к доходности вкладываемых денежных средств (инвестором устанавливается норма доходности).

Модель операции дисконтирования описывается следующей формулой:

PV=FV/〖(1+r)〗^n

Пример 1. «Оценка будущей стоимости денег при использовании схемы простых процентов».

Организация помещает в банк 100 у.е. на три года. Банк использует при начислении схему простых процентов исходя из 12% годовых.

Определить: а) какая сумма денег будет на счете в банке на конец первого, второго и третьего года; б) какая сумма денег будет на счете в банке через три месяца.

Решение:

а) Определим сумму денег на счете в банке на конец соответствующего года:

на конец первого года: FV 1 = 100 · (1+0,12·1) = 112 у.е.;

на конец второго года: FV 2 = 100 · (1+0,12·2) = 124 у.е.;

на конец третьего года: FV 3 = 100 · (1+0,12·3) = 136 у.е.

б) Для определения суммы денег на счете в банке через три месяца необходимо определить ставку процента за три месяца:

Соответственно, сумма денег на счете через три месяца составит:

FV 3 мес. = 100 · (1 + 0,03·1) = 103 у.е.

Пример 2. «Оценка будущей стоимости денег при использовании схемы сложных процентов».

Организация помещает в банк 100 у.е. на три года. Банк использует при начислении схему сложных процентов исходя из 12% годовых.

Определить, какая сумма денег будет на счете в банке на конец первого, второго и третьего года, если период начисления процентов равен: а) году; б) трем месяцам; в) месяцу.

Решение:

Сумма денег на счете в банке на конец первого, второго и третьего года будет зависеть от длительности периода начисления процентов и составит соответственно:

а) длительность периода начисления процентов – год

FV 1 = 100 (1 + 0,12) 1 = 112 у.е.;

FV 2 = 100 (1 + 0,12) 2 = 125,5 у.е.;

FV 3 = 100 (1 + 0,12) 3 = 140,5 у.е.

б) длительность периода начисления процентов – три месяца

FV 1 = 100 (1+0,12/4) 12/3 = 100 (1+0,03) 4 = 112,6 у.е.;

FV 2 = 100 (1+0,12/4) 24/3 = 100 (1+0,03) 8 = 126,7 у.е.;

FV 3 = 100 (1+0,12/4) 36/3 = 100 (1+0,03) 12 = 142,6 у.е.

в) длительность периода начисления процентов – месяц

FV 1 = 100 (1+0,01) 12 = 112,7 у.е.;

FV 2 = 100 (1+0,01) 24 = 126,9 у.е.;

FV 3 = 100 (1+0,01) 36 = 143,1 у.е.

Можно сделать вывод, что меньше длительность периода начисления процентов, тем больше будет наращенная сумма за рассматриваемый период.

Пример 3. «Оценка текущей стоимости денег».

Предполагается получение 140,5 у.е. через три года. Ставка дисконтирования принимается на уровне 12% годовых (доход приносит вложенная сумма и полученные проценты). Первоначальный вклад составляет: а) 90 у.е.; б) 110 у.е.

Определить целесообразность заключения финансовой сделки в условиях разного первоначального вклада.

Решение:

Расчет текущей стоимости денег по приведенной модели дисконтирования выглядит следующим образом:

140,5/(1,12^3)=100

Расчет чистой текущей стоимости денег приведен по двум вариантам первоначальных затрат:

а) PVnet = 100 – 90 = 10 у.е.

б) PVnet = 100 – 110 = - 10 у.е.

По результатам расчетов можно сказать, что финансовая сделка целесообразна при условии первоначального вложения 90 у.е.