Общие составляющие уровней временного ряда.

Временной ряд

Временно́й ряд (или ряд динамики) - собранный в разные моменты времени статистический материал о значении каких-либо параметров (в простейшем случае одного) исследуемого процесса. Каждая единица статистического материала называется измерением или отсчётом, также допустимо называть его уровнем на указанный с ним момент времени. Во временном ряде каждому отчету должно быть указано время измерения или номер измерения по порядку. Временной ряд существенно отличается от простой выборки данных , так как при анализе учитывается взаимосвязь измерений со временем, а не только статистическое разнообразие и статистические характеристики выборки .

Анализ временных рядов

Ана́лиз временны́х рядо́в - совокупность математико -статистических методов анализа , предназначенных для выявления структуры временных рядов и для их прогнозирования . Сюда относятся, в частности, методы регрессионного анализа . Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда. Прогноз будущих значений временного ряда используется для эффективного принятия решений.

Пример временного ряда

Временные ряды состоят из двух элементов:

• периода времени, за который или по состоянию на который приводятся числовые значения;
• числовых значений того или иного показателя, называемых уровнями ряда.

Временные ряды классифицируются по следующим признакам:

Примеры временных рядов

Временные ряды, как правило, возникают в результате измерения некоторого показателя. Это могут быть как показатели (характеристики) технических систем, так и показатели природных, социальных, экономических и других систем (например, погодные данные). Типичным примером временного ряда можно назвать биржевой курс, при анализе которого пытаются определить основное направление развития (тенденцию или тренда).

Примечания

Литература

• Мишулина О. А. Статистический анализ и обработка временных рядов. - М .: МИФИ , 2004. - С. 180. - ISBN 5-7262-0536-7

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Семейство рецепторов липопротеинов низкой плотности
• Вудворд, Вивьен Джон

Смотреть что такое "Временной ряд" в других словарях:

временной ряд - — временной ряд ряд динамики динамический ряд Ряд последовательных значений, характеризующих изменение показателя во времени. В.р. разделяются, во первых, на моментные ряды… … Справочник технического переводчика

Временной ряд - (или ряд динамики, или динамический ряд) ряд последовательных значений, характеризующих изменение показателя во времени. В.р. разделяются, во первых, на моментные ряды (данные которых характеризуют величину явления по состоянию на… … Экономико-математический словарь

временной ряд - – это последовательность наблюдений, упорядоченных во времени (или пространстве). Если какое нибудь явление наблюдают на протяжении некоторого времени, имеет смысл представить данные в том порядке, в котором они возникали, из за того, в… … Словарь социологической статистики

ВРЕМЕННОЙ РЯД - англ. series, time; нем. Zeitreihe. Сопоставление количественных данных, к рые характеризуют состояние объекта в различные моменты времени. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии

ВРЕМЕННОЙ РЯД - Упорядочение или организация данных во временном измерении, обычно с обозначенными постоянными временными категориями. Например, изменения некоторой модели поведения могут быть закодированы во временном измерении, когда наблюдения проводятся… … Толковый словарь по психологии

временной ряд - laikinė seka statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. temporal series; time sequence vok. Zeitfolge, f; Zeitsequenz, f rus. временная последовательность, f; временной ряд, m pranc. séquence de temporisation, f … Automatikos terminų žodynas

ВРЕМЕННОЙ РЯД - первоначально в статистич. литературе ряд наблюдений в различные моменты времени (напр., экономические В. р., метеорологические В. р.). В советской экономич. литературе наряду с термином В. р. употребляется термин ряд динамики. С середины 20 х гг … Математическая энциклопедия

Временной ряд - организация данных во временном измерении. Позволяет выявлять колебания активности функции. Например, циркадианные (суточные) и иные ритмы … Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

ВРЕМЕННОЙ РЯД - англ. series, time; нем. Zeitreihe. Сопоставление количественных данных, к рые характеризуют состояние объекта в различные моменты времени … Толковый словарь по социологии

ВРЕМЕННОЙ РЯД - (times series) в идеале совокупность данных, в которой четко определенное количество записывается в последовательных равных промежутках времени точках на протяжении определенного периода (К. Марш, 1988), в частности, индекс розничных цен. Там,… … Большой толковый социологический словарь

Книги

• Основы эконометрического моделирования. Учебное пособие , Л. О. Бабешко. В настоящее пособие включены классические регрессионные модели (линейные и нелинейные), обобщенные регрессионные модели, регрессионные модели с фиктивными переменными, регрессионные модели с…

Временной ряд - это набор чисел, привязанный к последовательным, обычно равноотстоящим моментам времени. Числа, составляющие временной ряд и получающиеся в результате наблюдения за ходом некоторого процесса, называются уровнями временного ряда или элементами. Под длиной временного ряда понимают количество входящих в него уровней n . Временной ряд обычно обозначают Y(t), или, где t= 1,2,…,n.

В общем случае каждый уровень временного можно представить как функцию четырех компонент: f (t ), S (t ), U (t ), (t ) , отражающих закономерность и случайность развития.

Где f (t ) - тренд (долговременная тенденция) развития; S (t ) - сезонная компонента; U (t ) -циклическая компонента; (t )- остаточная компонента.

В модели временного ряда принято выделять две основные составляющие: детерминированную (систематическую) и случайную. Под детерминированной составляющей временного ряда понимают числовую последовательность, элементы которой вычисляются по определенному правилу как функция времени t . Исключив детерминированную составляющую из данных, мы получим колеблющийся вокруг нуля ряд, который может в одном предельном случае представлять случайные скачки, а в другом - плавное колебательное движение.

Детерминированная составляющая может содержать следующие структурные компоненты:

• 1) тренд, или тенденция f (t ), представляет собой устойчивую закономерность, наблюдаемую в течение длительного периода времени. Обычно тренд (тенденция) описывается с помощью той или иной неслучайной функции f тр (t ) (аргументом которой является время), как правило, монотонной. Эту функцию называют функцией тренда, или просто - трендом.
• 2) Сезонная компонента s(t) связана с наличием факторов, действующих с заранее известной периодичностью. Это регулярные колебания, которые носят периодический или близкий к нему характер и заканчиваются в течение года.
• 3) Типичные примеры сезонного эффекта: изменение загруженности автотрассы по временам года, пик продаж товаров для школьников в конце августа - начале сентября. Спрос на пластические операции сезонный: в осенне-зимний период обращений больше. Типичным примером являются сильные колебания объема товарно-материальных запасов в сезонных отраслях Сезонная компонента со временем может меняться, либо иметь плавающий характер.
• 4) Циклическая компонента u (t ) - неслучайная функция, описывающая длительные периоды (более одного года) относительного подъема и спада и состоящая из циклов переменной длительности и амплитуды. Примером циклической (конъюнктурной) компоненты являются волны Кондратьева, демографические «ямы» и т.п. Подобная компонента весьма характерна для рядов макроэкономических показателей. Здесь циклические изменения обусловлены взаимодействием спроса и предложения, а также наложением таких факторов, как истощение ресурсов, погодные условия, изменения в налоговой политике и т.п. Отметим, что циклическую компоненту крайне трудно идентифицировать формальными методами, исходя только из данных изучаемого ряда.
• 5) Случайная компонента (t ) - это составная часть временного ряда, оставшаяся после выделения систематических компонент. Она отражает воздействие многочисленных факторов случайного характера и представляет собой случайную, нерегулярную компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, так как случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому экономическому явлению. Если систематические компоненты временного ряда определены правильно, то остающаяся после выделения из временного ряда этих компонент так называемая остаточная последовательность (ряд остатков) будет случайной компонентой ряда.

Задача анализа временных рядов состоит в том, чтобы с помощью детерминированной компоненты предсказывать прогнозное значение временного ряда, а с помощью случайной компоненты предсказывать величину возможного отклонения и вероятность такого отклонения.

Требования к исходной информации: Для того, чтобы анализ временного ряда обладал в нужной степени достоверностью в первую очередь необходимо обеспечить качество исходной информации:

• 1. Данные должны быть сопоставимы;
• 2. Данные должны быть однородными;
• 3. Данные должны быть устойчивыми;
• 4. Необходим достаточно большой объём данных

В анализе случайного компонента экономических временных рядов важную роль играет сравнение случайной величины с хорошо изученной формой случайных процессов - стационарными случайными процессами.

Стационарным процессом в узком смысле называется такой случайный процесс, вероятностные свойства которого с течением времени не изменяются. Он протекает в приблизительно однородных условиях и имеет вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения. Причем ни средняя амплитуда, ни его частота не обнаруживают с течением времени существенных изменений.

Однако на практике чаще встречаются процессы, вероятностные характеристики которых подчиняются определенным закономерностям и не являются постоянными величинами.

Поэтому в прикладном эконометрическом анализе используется понятие слабой стационарности (или стационарности в широком смысле), которое предполагает неизменность во времени среднего значения, дисперсии и ковариации временного ряда. Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание постоянно и автокорреляционная функция зависит только от длины временного интервала.

В зависимости от вида связи между этими компонентами может быть построена либо аддитивная модель:

Y (t) =f (t )+ S (t )+U (t )+(t );

либо мультипликативная модель:

Y (t) =f (t ) S (t ) U (t )+ (t )

временного ряда.

В процессе формирования значений временных рядов не всегда участвуют все четыре компоненты. Однако во всех случаях предполагается наличие случайной составляющей.

При построении эконометрической модели используются два типа данных:

данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент времени;

данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями . Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временных рядов .

Временной ряд (ряд динамики) – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времен и. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

факторы, формирующие тенденцию ряда;

факторы, формирующие циклические колебания ряда;

случайные факторы.

Рассмотрим воздействие каждого фактора на временной ряд в отдельности.

Большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Все эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 4.1 показан гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.

Рис. 4.1.

Также изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка. На рис. 4.2 представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.

Рис. 4.2.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведен на рис. 4.3.

Рис. 4.3.

Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

В практике исследования динамики явлений принято считать, что значения уровней () временных рядов могут содержать следующие компоненты: тренд (), сезонную компоненту (), циклическую компоненту () и случайную составляющую ().

Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия.

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах часто имеют место более или менее регулярные колебания – периодические составляющие рядов динамики. Если период колебания не превышает года, то их называют сезонными (расходы электроэнергии по кварталам). При большом периоде колебания считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить циклы деловой активности, демографические, инвестиционные.

Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента (). Экономисты разделяют факторы, под воздействием которых формируется нерегулярная компонента, на два вида: факторы резкого, внезапного действия (стихийные бедствия, войны) и текущие факторы (ощущается несколько факторов и их суммарное действие).

В этом случае уровни ряда . Они являются функцией случайной компоненты: колеблются вокруг среднего уровня, что характерно для так называемого стационарного ряда. На рисунке 10.1 такой ряд представляет собой ломаную линию, параллельную оси времени.

Где – уровни динамического ряда, – средний за период уровень ряда, – случайная составляющая, определяемая как .

Большинство динамических рядов в экономике характеризуется тенденцией и случайными колебаниями.

Модель уровня такого ряда имеет вид: ,

Где – тренд, – случайные колебания (рис. 10.2).

Представление временного ряда может быть следующих видов:

(аддитивная модель);

(мультипликативная модель);

(смешанного типа).

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, т.к., на этом этапе можно исследовать компонентный состав временных рядов, а также сделать первые шаги к выбору модели для описания их динамики. Отличительной особенностью аддитивной модели является то, что амплитуда сезонных колебаний, отражающая отклонения от тренда или среднего, остается примерно постоянной, неизменной во времени.

Иногда это сложно описать, т.к. во временном ряду ошибок остаются статистические зависимости, которые можно моделировать. Как правило, ряд ошибок – это стационарный ряд.

Ряд называется стационарным, если совместное распределение m-наблюдений: такое же, как и для при любых m, . В этом случае имеем:

,

При анализе изменения величины в зависимости от значения временного сдвига принято говорить об автоковариационной функции (АКФ).

На практике АКФ статистически оцениваются по имеющимся уровням временного ряда. Выборочная оценка коэффициента автокорреляции определяется формулой:

, (10.1)

где , .

Числитель формулы (10.1) представляет выборочную оценкукоэффициента автоковариации. График АКФ, отражающий изменение , в зависимости от значений сдвига , называют коррелограммой. Вид АКФ оказывает существенную помощь в выборе моделей, описывающих поведение анализируемых временных рядов.

Проверка гипотезы существования тенденции.

Важной задачей возникающей при анализе рядов динамики, является определение основной тенденции в развитии исследуемого явления. Прогнозирование временных рядов целесообразно начинать с по­строения графика исследуемого показателя. Однако в нем не всегда прослеживается присутствие тренда. Поэтому в этих случаях необхо­димо выяснить, существует ли тенденция во временном ряду или она отсутствует.

Для временного ряда рассмотрим критерий «восходящих и нисходящих» серий, согласно которому наличие тенденции определяется по следующему алгоритму:

1. Для исследуемого временного ряда определяется последователь­ность знаков, исходя из условий

(10.2)

При этом, если последующее наблюдение равно предыдущему, то учи­тывается только одно наблюдение.

Подсчитывается число серий u (n ). Под серией понимается последовательность подряд расположенных плюсов или минусов, причем один плюс или один минус считается серией.

Определяется протяженность самой длинной серии l max (n ).

4. По таблице, приведенной ниже, находится значение l (n ).

Таблица 10.5

5. Если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается с доверительной вероятностью 0,95:

(10.3)

Квадратные скобки неравенства в (10.3) означают целую часть числа.

О качестве моделей регрессии можно судить также по значениям коэффициента корреляции (индекса корреляции) и коэффициента детерминации для однофакторной модели и по значениям коэффициента множественной корреляции и совокупного коэффициента детерминации для моделей множественной регрессии.

Чем ближе абсолютные величины указанных коэффициентов к 1, тем теснее связь между изучаемым признаком и выбранными факторами и, следовательно, с тем большей уверенностью можно судить об адекватности построенной модели, включающей в себя наиболее влияющие факторы.

Для оценки точности регрессионных моделей обычно используются те же статистические критерии точности, что и для трендовых моделей, в частности, средняя относительная ошибка аппроксимации. Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели. Если расчетное значение этого критерия со степенями свободы vi = ra-lHV2 = ra-m-l, где п - количество наблюдений и т - число включенных в модель факторов, больше табличного значения критерия Фишера при заданном уровне значимости, то модель признается значимой.

Привести формулы для получения точечной (интервальной) оценки прогнозного значения изучаемого показателя.

Что называется временным рядом, уровнем временного ряда?

Временно́й ряд (или ряд динамики) - собранный в разные моменты времени статистический материал о значении каких-либо параметров (в простейшем случае одного) исследуемого процесса. Каждая единица статистического материала называется измерением или отсчётом, также допустимо называть его уровнем на указанный с ним момент времени. Во временном ряде для каждого отсчёта должно быть указано время измерения или номер измерения по порядку. Временной ряд существенно отличается от простой выборки данных, так как при анализе учитывается взаимосвязь измерений со временем, а не только статистическое разнообразие и статистические характеристики выборки

Временным рядом называется ряд наблюдаемых значений изучаемого показателя, расположенных в хронологическом порядке или в порядке возрастания времени.

Отдельно взятый временной ряд можно представить как выборочную совокупность из бесконечного ряда значений показателей во времени.

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

факторы, формирующие тенденцию ряда;

факторы, формирующие циклические колебания ряда;

случайные факторы

Уровнями временного ряда называются наблюдения

из которых состоит данный ряд.

Временной ряд называется моментным рядом , если уровень временного ряда фиксирует значение изучаемого показателя на определённый момент времени.

Временной ряд называется интервальным рядом , если уровень временного ряда характеризует значение показателя за определённый период времени.

Временной ряд называется производным рядом , если уровни ряда представлены в виде производных величин (средних или относительных показателей).

Исследование данных, представленных в виде временных рядов, преследует две основные цели:

1) характеристика структуры временного ряда;

2) прогнозирование будущих уровней временного ряда на основании прошлых и настоящих уровней.

Достижение поставленных целей возможно с помощью идентификации модели временного ряда.

Идентификацией модели временного ряда называется процесс выявления основных компонент, которые содержит изучаемый временной ряд.

Временные ряды могут содержать два вида компонент – систематическую и случайную составляющие.

Систематическая составляющая временного ряда является результатом воздействия постоянно действующих факторов.

Выделяют три основных систематических компоненты временного ряда:

2) сезонность;

3) цикличность.

Трендом называется систематическая линейная или нелинейная компонента, изменяющаяся во времени.

Сезонностью называются периодические колебания уровней временного ряда внутри года.

Цикличностью называются периодические колебания, выходящие за рамки одного года. Промежуток времени между двумя соседними вершинами или впадинами в масштабах года определяют как длину цикла.

Какова цель построения и анализа временных рядов.

Практическое изучение временного ряда предполагает выявление свойств ряда и получение выводов о вероятностном механизме, порождающем этот ряд. Основные цели при изучении временного ряда следующие:

– описание характерных особенностей ряда в сжатой форме;

– построение модели временного ряда;

– предсказание будущих значений на основе прошлых наблюдений;

– управление процессом, порождающим временной ряд, путем выборки сигналов, предупреждающих о грядущих неблагоприятных событиях.

Достижение поставленных целей возможно далеко не всегда как из-за недостатка исходных данных (недостаточная длительность наблюдения), так из-за изменчивости со временем статистической структуры ряда.

Перечисленные цели диктуют в значительной мере, последовательность этапов анализа временных рядов:

Графическое представление и описание поведения ряда;

Выделение и исключение закономерных, неслучайных составляющих ряда, зависящих от времени;

Исследование случайной составляющей временного ряда, оставшейся после удаления закономерной составляющей;

Построение (подбор) математической модели для описания случайной составляющей и проверка ее адекватности;

Прогнозирование будущих значений ряда.

При анализе временных рядов используются различные методы, наиболее распространенными из которых являются:

Корреляционный анализ, используемый для выявления характерных особенностей ряда (периодичностей, тенденций и т. д.);

спектральный анализ, позволяющий находить периодические составляющие временного ряда;

Методы сглаживания и фильтрации, предназначенные для преобразования временных рядов с целью удаления высокочастотных и сезонных колебаний;

Методы прогнозирования.

Анализ временных рядов - это анализ, основанный на исходном предложении, согласно которому случившееся в прошлом служит достаточно надежным указанием на то, что произойдет в будущем. Это также можно назвать проектированием тенденций.

Существует две основные цели анализа временных рядов : определение природы ряда и прогнозирование , т.е. предсказание будущих значений временного ряда по настоящим и прошлым значениям. Обе цели требуют, чтобы модель ряда была определена и более или менее формально описана. Как только модель определена, с ее помощью можно интерпретировать рассматриваемые данные - например, использовать ее для анализа наличия сезонного изменения цен на товары. Затем можно экстраполировать ряд на основе найденной модели, т.е. предсказать его будущие значения.

Указать общий вид и область применения модели аддитивной модели временного ряда.

Модели , где временной ряд представлен в виде суммы перечисленных компонентов называются аддитивными , если в виде произведения – мультипликативными моделями . Аддитивная модель имеет вид: Y = T + S + E.

Общий вид аддитивной модели следующий:

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.

Аддитивная модель применима в тех случаях, когда анализируемый временной ряд имеет приблизительно одинаковые изменения на протяжении всей длительности ряда.

Наиболее фундаментальной является классическая мультипликативная модель временного ряда, широко используемая при анализе ежемесячных, ежеквартальных и ежегодных данных и потому чаще всего применяемая в экономических исследованиях.

Определить параметры аддитивной модели: тренд, сезонная компонента, ошибка модели.

Компоненты временного ряда

Уровни временного ряда являются суммой двух составляющих:

систематической (детерминированной, регулярной)

случайной (нерегулярной, непредсказуемой), не зависящей от времени

Регулярная составляющая, в общем случае, может складываться из тренда, циклической компоненты и сезонной компоненты. Однако, регулярная составляющая не обязательно должна включать все три компоненты.

Случайная (нерегулярная) компонента. Экономисты разделяют факторы, под действием которых формируется нерегулярная компонента, на 2 вида:

факторы резкого, внезапного действия;

текущие факторы.

Первый тип факторов (например, стихийные бедствия, эпидемии и др.), как правило , вызывает более значительные отклонения по сравнению со случайными колебаниями - иногда такие отклонения называют катастрофическими колебаниями.

Факторы второго типа вызывают случайные колебания, являющиеся результатом действия большого числа побочных причин. Влияние каждого из текущих факторов незначительно, но ощущается их суммарное воздействие.

Цель сезонной декомпозиции и корректировки временного ряда состоит в том, чтобы разложить ряд на составляющие: тренд, сезонную компоненту и нерегулярную составляющую.

В общем случае временной ряд можно представить из четырех различных компонент:

сезонной компоненты (обозначается St, где t обозначает момент времени)

тренда (Tt)

циклической компоненты (Ct)

случайной, нерегулярной компоненты (Et)

Разница между циклической и сезонной компонентой состоит в том, что последняя имеет регулярную (сезонную) периодичность, тогда как циклические факторы обычно имеют более длительный эффект, который, к тому же, меняется от цикла к циклу. Тренд и циклическую компоненту обычно объединяют в одну тренд-циклическую компоненту (TtCt) (для простоты обозначений далее TtCt->Tt). Конкретные функциональные взаимосвязи между этими компонентами могут иметь самый разный вид. Однако можно выделить два основных способа, с помощью которых они могут взаимодейс твовать - аддитивно и мультипликативно:

Аддитивная модель: Уt = TCt + St + Et

Мультипликативная модель: Уt = Tt*Ct*St*Et

Модель смешанного типа: Уt = Tt*Ct*St+Et

Выбор одной из трех моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты. Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T , S и E для каждого уровня ряда. Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней .

Расчет значений сезонной компоненты S .

Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (Y - S=T + E) в аддитивной или (Y: S=T * E) в мультипликативной модели.

Аналитическое выравнивание уровней (T + E) или (T * E) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.

Расчет полученных по модели значений (T + E) или (T * E).

Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если из временного ряда удалить тренд (Tt) и периодические составляющие (Ct и St), то останется нерегулярная компонента (Et), так называемая, ошибка. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок (Et) для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Скользящее среднее

Прежде, чем рассчитывать сезонную компоненту (S), исходный временной ряд необходимо выровнять. Для этого применяются методы механического выравнивания, к которым относятся:

метод скользящих средних;

метод экспоненциального сглаживания;

метод медианного сглаживания и др.

Вычисляя скользящее среднее для временного ряда, интервал сглаживания (ширина окна) берется равным периоду сезонности. Если период сезонности - четное число, можно выбрать одну из двух возможностей:

в случае взвешенного скользящего среднего, брать скользящее среднее с одинаковыми весами или же с неравными весами так, что первое и последнее наблюдения в окне имеют усредненные веса.

в случае простого скользящего среднего, необходимо провести процедуру центрирования, которая заключается в повторном скольжении с шагом, равным двум. Число уровней сглаженного ряда будет меньше на величину шага скользящей средней.

После определения скользящих средних вся сезонная (т.е. внутри сезона) изменчивость будет исключена и поэтому разность (в случае аддитивной модели) или отношение (для мультипликативной модели) между наблюдаемым (Yi) и сглаженным рядом (Ŷt) будет выделять сезонную составляющую плюс нерегулярную компоненту.

Таким образом, результатом процедуры сглаживания будет временной ряд выровненных значений Ŷt, не содержащий сезонной компоненты. То есть: ряд скользящих средних вычитается из наблюдаемого ряда (Yi-Ŷt) (в аддитивной модели) или же значения наблюдаемого ряда делятся на значения скользящих средних (Yi:Ŷt) (в мультипликативной модели).

Сезонная составляющая

На следующем шаге вычисляется сезонная составляющая, как среднее (для аддитивных моделей) или урезанное среднее (для мультипликативных моделей) всех значений ряда, соответствующих данной точке сезонного интервала по аналогичным временным периодам, с последующей сезонной корректировкой ряда.

Если временной ряд представлен аддитивной моделью, то в качестве сезонной компоненты (составляющей) используется показатель абсолютного отклонения – SΔi (S->SΔi). Сумма всех сезонных компонент, т.е. показателей абсолютных отклонений SΔi должна быть равна нулю.

Если временной ряд представлен мультипликативной моделью, то в качестве сезонной компоненты используется индекс сезонности – Isi (S->Isi). Среднее всех сезонных компонент, т. е. индексов сезонности Isi, должно быть равно единице.

Обычно сумма индексов се­зонности хотя и незначительно, но отличается от 4 (для четырех кварталов сумма индексов должна быть равна 4, для года - 12, а их средняя рав­на 1,00), то для устранения этих расхождений определяется попра­вочный коэффициент как отношение теоретической суммы ин­дексов (4,0) к фактической величине их суммы.

Показатель абсолютного отклонения в i-том сезоне рассчитывается как среднее арифметическое из отклонений фактического и выровненного уровней временного ряда:

Индекс сезонности в i-том сезоне рассчитывается как среднее арифметическое из отношений фактического уровня временного ряда к выровненному:

Если, при построении аддитивной модели временного ряда, сумма всех абсолютных отклонений не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных компонент по формуле:

где L – общее количество сезонных компонент (уровни временного ряда могут быть представлены в виде квартальных показателей, либо детализированы по месяцам за весь временной отрезок). При этом, для определения среднего значения отклонений для соответствующего периода, все отклонения необходимо сгруппировать (соответственно, по аналогичным кварталам или месяцам каждого года) и только потом определить среднюю величину отклонений, на которую и будет произведена корректировка. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В случае с поквартальным представлением уровней временного ряда, число периодов одного цикла равно 4.

Уровни исходного временного ряда корректируются на величину сезонной компоненты следующим образом:

1) для аддитивной модели: из исходных уровней вычитаются скорректированные показатели абсолютных отклонений

SΔi (S->SΔi) (Уt=TtCt+St+Et отсюда: Y - SΔскорр.=T+E)

2) для мультипликативной модели: уровни исходного временного ряда делятся на скорректированные индексы сезонности

Isi (S->Isi) (Уt=Tt*Ct*St*Et отсюда: Y: Isскорр.=T*E)

(Смотри на примере: Сезонная корректировка временного ряда)

На следующем этапе построения модели временного ряда осуществляется расчёт трендовой компоненты с помощью метода аналитического выравнивания функциями времени y=f(t) или кривыми роста. Данный метод выравнивания применяют не к исходному временному ряду, а к временному ряду с исключённой сезонной компонентой. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию (T) и случайную компоненту (E).

Тренд-циклическая компонента

Циклическая компонента отличается от сезонной компоненты тем, что продолжительность цикла больше, чем один сезонный период (год) и разные циклы могут иметь разную продолжительность. Периодическая компонента рассматривается как долговременное колебательное изменение уровней - долгопериодическая функция. Примерами долговременной циклической компоненты могут служить демографические, инвестиционные и другие циклы; соответствующая реакция экономики страны, находящейся в определенной фазе своего развития: I – фаза кризиса; II – фаза депрессии; III – фаза оживления; IV – фаза подъема и стабилизации. Теория циклического развития создает основу для преодоления экстраполяционных подходов в построении прогнозов, для достоверного учета нелинейности экономической динамики. Ориентация на цикличный характер развития способствует верному выявлению и отражению в прогнозах предстоящих критических или поворотных точек в трендовом движении.

Развитие цивилизаций Случайная или нерегулярная компонента

На последнем шаге выделяется случайная или нерегулярная компонента (погрешность, шум, ошибка) путем вычитания из ряда с сезонной поправкой (аддитивная модель) или делением этого ряда (мультипликативная модель) на тренд-циклическую компоненту.

Привести схему построения аддитивной модели временного ряда.

Алгоритм построения аддитивной модели

Построение аддитивной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

3 Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T + E).

4 Аналитическое выравнивание уровней (T + E) с использованием полученного уравнения тренда.

5 Расчет полученных по модели значений (T + E).

Указать формулу расчета прогнозного значения по аддитивной модели временного ряда.

Прогнозирование по аддитивной модели. Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент

Прогнозные значения по модели с аддитивной компонентой рассчитываются как

F = Т + S+/-E (тыс. шт. за квартал),

где трендовое значение Т, сезонная компонента S , Е - ошибка прогноза

Привести схему построения мультипликативной модели временного ряда .

Алгоритм построения мультипликативной модели

Построение мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1 Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2 Расчет значений сезонной компоненты S.

3 Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T x E).

4Аналитическое выравнивание уровней (T x E) с использованием полученного уравнения тренда.

5 Расчет полученных по модели значений (T x E).

6 Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Указать формулу расчета прогнозного значения по мультипликативной модели временного ряда.

Прогнозирование по мультипликативной модели. Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в мультипликативной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для мультипликативной модели фактическое значение рассчитывается по формуле:

Расчет фактического значения в мультипликативной модели

Т - трендовое значение S - сезонная вариация Е - ошибка прогноза

Описать схему построения модели прогнозирования на основе временных рядов при отсутствии сезонных колебаний.

Какие формулы расчета точечной и интервальной оценки прогнозного значения применяются в модели временного ряда при отсутствии сезонных колебаний?

В чем заключаются ошибки 1-го и 2-го рода временного ряда