Кто придумал счеты. Учебный проект по математике "Русские счёты" (5 класс)

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Богучарская средняя общеобразовательная школа № 1»

Научно-исследовательская работа

Дьяченко Евгений Александрович, 5»А» класс

Руководитель: Алабина Галина Юрьевна

Богучар 2016 г.

Введение…………………………………………………………………….2

История развития вычислительных приборов………………………….3

1. Абак………………………………………………………………….…..3

   Суан-пан………………………………………………………………....6

   Соробан………………………………………………………………….6

   Русские счеты…………………………………………………………...7

Вычисления на счетах ……………………………………………………..9

Опрос учеников 5 классов МКОУ «Богучарская СОШ №1»………….12

Результаты опроса………………………………………………………….12

Преимущества счётов при формировании вычислительных навыков….14

Выводы……………………………………………………………………..14

Список используемой литературы……………………………………….15

Введение

Актуальность

В современном мире практически каждый день появляются новые гаджеты, приборы облегчающие жизнь и деятельность человека. Одним из таких приборов, прочно вошедших в жизнь человека ещё до нашего появления на свет, стал микрокалькулятор. О возможностях калькулятора знает каждый школьник и свободно с ним управляется. Калькулятор способен мгновенно произвести любые арифметические действия.

Возникает естественный вопрос: а какой прибор использовали до появления калькулятора? Как и когда он появился? Может ли он быть использован нами для выполнения различных вычислений? Интересно, а способствует ли он формированию навыка устных вычислений?

Ведь всем известно, что несмотря на скорость, точность и иные достоинства, калькулятор/компьютер разрушают навык устного счета.

У нас возник вопрос: действительно ли, русские счёты являются предшественниками микрокалькулятора в России и какова сфера их применения?

Гипотеза : мы думаем, что ученики 5 классов не умеют считать на русских счётах и никогда их не видели. Умение считать на счетах способствует развитию вычислительных навыков.

Цель исследования:

изучить историю появления, совершенствования русских счётов,

показать значимость их применения для упрощения вычислений,

научиться выполнять вычисления на счётах,

найти возможности для применения русских счётов в обучении математике

Задачи исследования:

собрать информацию о русских счётах;

изучить найденные материалы;

научиться выполнять вычисления на счётах;

провести необходимые эксперименты и исследования;

сделать выводы на основе полученных результатов.

ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ

Люди издавна старались облегчить себе счет с помощью различных средств и приборов. Первой, самой древней «счетной машиной» были пальцы рук и ног. На них человек научился отсчитывать довольно большие числа. Различными загибами пальцев рук изображали не только единицы и десятки, но и сотни и тысячи. Изображение чисел с помощью жестов рук продолжали до миллионов.

В древности торговцы производили расчеты при помощи зерен, камешков и раковин, зарубок на костях и палочках.

АБАК

Затем, примерно в четвёртом веке до нашей эры учёный Абакус придумал первое счётное устройство, состоящее из глиняной пластинки с желобами, в которых раскладывались камни, представляющие числа. Один желобок изображал единицы, другой – десятки. Этот прибор назвали в честь его создателя – АБАК.

Слово «абак» (счётная доска) - греческое, и филологи про­изводят его от древнееврейского слова «пыль». Абаком называется всякий прибор, на котором отмечены места для отдельных разрядов употребляе­мой системы счисления, в частности десятичной. Абаком являют­ся наши счёты, абаком будут вбитые в классную доску гвозди, на которые в начальных классах вешаются жетоны с числовыми знаками, равно как просто разграфлённые лист бумаги или Доска. Доска абака была разделена на полоски. Каждая полоска назначалась для откладывания тех или иных разрядов чисел: в первую полоску ставили столько камешков или бобов, сколько в числе единиц, во вторую полоску - сколько в нем десятков, в третью - сколько сотен, и так далее. Возможно, что первоначально абаком служил столик или дощечка, посыпанная слоем пыли, на которой острой палочкой проводились линии и какие-нибудь предметы, размещавшиеся в полученных колонках, откуда могло произойти и на­звание, соединяющее в себе названия столика и пыли.

Римляне пользовались столом или доской, разграфлёнными на колонны и с обозначением на верху колонн, идя справа нале­во, мест разрядов единиц, десятков, сотен и т. д. цифрами I, X, С, М. Число единиц любого разряда указывалось числом камеш­ков, положенных в соответствующую колонку. Латинское слово calculi - камешки - лежит в корне слова «калькуляция»; calcul во многих языках означает математический анализ и счёт вообще.

Абак известен и у греков. Историк Геродот (V в. до н. э.) пи­шет о греках, «выкладывающих на абаке камешки»; греческий же историк II в. до н. э. Полибий говорит, что «царедворцы весь­ма сходны с камешками на абаке, ибо как камешек бывает по воле играющего то халкусом (мельчайшая медная монета), то талантом (крупнейшая монетная единица), так и царедворцы по воле владыки становятся блаженными или злополучными. Философ IV в. н. э. Ямблих указывает, что Пифагор старался ввести в изучение арифметики и геометрии изложение на абаке. Камешек для греческого абака назывался псифос; от этого слова было произведено название для счёта - псифофория, «раскладывание камешков».

Абаком пользовались и народы Индии. Арабы знакомились с абаком у подчинённых ими народов. В заглавиях многих араб­ских руководств по арифметике фигурируют слова от корня «пыль». У восточных арабов, как и у индийцев, абак был скоро вытес­нен индийской нумерацией, но он крепко держался у западных арабов, захвативших в конце VIII в. и Испанию. Вместо камешков при счёте на абаке употреблялись и жетоны с начер­танными на них числовыми знаками, или римскими цифрами, или особыми числовыми знаками - апексами.

Абак также получил широкое распространение в Европе. Следы этого распространения удержались в различных языках. Английский глагол to checker означает графить - словом, от этого же корня называется клетчатая материя, the cheque, или check - банковый чек, exchequer - казначейство. Последний термин происходит от того, что в банке расчёты велись на абаке, основа которого заклю­чалась в разграфлённой доске. Английское государственное каз­начейство до последнего времени называлось Палатой шахмат­ной доски - по клетчатому сукну, которым был покрыт стол за­седаний. Клетчатая скатерть служила абаком при вычислениях. По-итальянски banca - скамья и банк, bancarotta -сломан­ная скамья; отсюда слова «банк» и «банкрот». В немецком язы­ке скамья и банк также обозначаются одним и тем же, словом Bank.

Одинаковость названий столь различных понятий объясняет­ся тем, что меняла, который был необходимой принадлежностью каждого перекрёстка улиц в те времена, когда чуть ли не каж­дый город имел свою особую денежную единицу, производил свои расчёты по обмену денег при помощи абака, награфлённого на конце скамейки, на которой он сам сидел. Когда денежные операции были перенесены в здания, то на всё новое учреждение было перенесено старое название скамейки с начерченным на ней абаком этим основным орудием менял.

Во французских деревнях до сих пор сохранились старые корчмы с настенными изображениями разграфлений, служив­ших в прежнее время абаком при расчётах.

Высказывалось мнение, что известное русское выражение «остался на бобах» сохранилось от времени широкого пользова­ния абаком. Когда человек в игре, расчёты которой велись на абаке, проигрывал все свои деньги и у него оставались только бобы, которыми он пользовался при счёте на абаке вместо ка­мешков, то он в буквальном смысле слова «оставался на бобах».

От абака некоторые исследователи ведут и происхождение знака нуль. Человек заметил, что нет надобности носить с собой разграфлённую доску для расчётов; достаточно отметить отсут­ствующий разряд числа пустой клеткой. Так, число три сотни и семь единиц можно без абака изобразить, как 3□7, Для удоб­ства письма знак □ был превращен в кружок 0. На латинском языке среди названий нуля и есть rotula - кружок»

В средние века это устройство крестоносцы привезли из Азии в Европу, и учёные стали применять его для простейших математических операций. Вскоре с появлением бухгалтерской науки стало неудобным и несолидным носить глиняные пластинки и для счёта стали использовать разлинованные таблицы.

СУАН-ПАН

Китайцы имеют счетный прибор, соответствующий нашим счетам, но он основан на другой идее. Он носит название «суан-пан» и представляет неглубокий ящик удлиненной формы, разделенный по длине на неравные части перегородкой. Поперек ящика, от одной более длинной стенки к противоположной, идут укрепленные концами в стенках прутики. На всех прутьях в более широком отделении ящика, ближе стоящем к считающему, имеется по пяти шариков; в верхнем, более узком отделении ящика, на каждом прутике по два шарика. Шарики нижней части суан-пана служат для счета до пяти, из двух шариков верхней части суан-пана каждый соответствует пятерке.

СОРОБАН

В XVI веке китайский суан-пан был усвоен японцами, лишь с тем отличием, что в верхнем отделении прибора японцы ставили на каждый прутик по одному шарику. Прибор этот в Японии называется «соробан».

Изменение, внесенное японцами в устройство прибора, правильно, так как второй шарик является излишним: каждый раз, когда в верхней части прутика надо придвинуть к перегородке второй шарик, получается десяток, и, очутившись у перегородки, два шарика нужно откинуть и заменить одним шариком в нижней части следующего слева прутика. Таким же образом следовало бы удалить с нижнего отделения суан-пана и соробана пятые шарики, а у русских счетов – с каждой проволоки десятые шарики.

Японский соробан по сей день активно применяется, несмотря на повсеместное распространение электронных калькуляторов. В Японии использование соробана является элементом школьной программы обучения счёту в младших классах. Также в Японии и странах, имеющих значительную японскую диаспору, счёт на соробане популярен как вид развлечения или своеобразный спорт.

РУССКИЕ СЧЕТЫ

Русский народ изобрел идеальный прибор – счеты - для облегчения счисления по десятичной системе. Эти счеты по справедливости называются русскими. В книгах можно встретить указание, что счеты были изобретены китайцами, что они от китайцев перешли к сибирским народам и что известные в русской истории купцы Строгановы привезли их в Россию. Указывается и время, когда якобы появились счеты в России: по одним источникам – при Дмитрии Донском (XIV век), по другим – при Петре Первом (на рубеже XVII и XVIII веков). Эти рассказы лишены основания, к сожалению, рассказы о восточном происхождении попали в «Историю государства Российского» Н. М. Карамзина и отсюда в большинство учебников.

Надо отметить, что одно из самых ранних описаний русских счетов, сделанное датским математиком-богословом Петером Ван Хавеном в 1743 году, как и некоторые другие старые источники, совершенно отчетливо указывает на то, что у счетов на каждой проволоке имеется по девяти шариков. Таким образом, можно утверждать, что этот русский народный счетный прибор самим народом был доведен до совершенства. Лишний десятый шарик появился позднее и сохранился до сих пор, хотя авторы XIX столетия неоднократно указывали, что он является лишним и мешающим.

Из этого описания видно, что в китайских и японских «счетах» число 5 занимает особое место среди остальных чисел, чего нет в русских счетах. Русские счеты основаны в чистом виде на десятичном счислении, в то время как в китайском суан-пане сохранились пережитки пятеричного счисления, – счета при помощи пальцев одной руки. Следы пятеричного счисления сохранились и в римской нумерации, в которой имеем:

Шесть - VI - пять да один,

Семь - VII - пять да два,

Восемь - VIII - пять да три,

Четыре - IV - пять без одного.

В начале 50-х годов ленинградский ученый И.Г. Спасский убедительно показал оригинальное русское происхождение этого счетного прибора - у него, во-первых, горизонтальное расположение спиц с косточками и, во-вторых, для представления чисел использована десятичная (а не пятеричная) система счисления.

Десятичный строй счетов - довольно веское основание для того, чтобы признать временем возникновения этого прибора XVI век, когда десятичный принцип счисления был впервые применен в денежном деле России.

В 30-е годы XVI века московское правительство, возглавляемое Еленой Глинской, матерью малолетнего Ивана Грозного, провело денежную реформу, объединив московскую и новгородскую денежные системы. Московская деньга, составлявшая в то время 1/200 московского рубля, и ее половина - полушка - стали половиной и четвертью новой основной монетной единицы, которая получила название «копейки». Благодаря введению копейки рубль стал делиться на 100 основных единиц.

Счеты являются первым простейшим приспособлением для вычислений счета. Они прошли длительный путь эволюции, в котором можно выделить четыре стадии.

Русские счеты широко использовались при начальном обучении арифметике в качестве учебного пособия. Благодаря известному французскому математику Ж. Пон-селе, который познакомился со счетами, будучи военнопленным офицером наполеоновской армии в Саратове, аналогичный прибор под названием булье появился во французских школах, а затем и в некоторых других странах Европы.

Между тем Запад почти не знает счетов - вы не найдете их ни в одном магазине Европы, и только в начальных школах имеются огромные счеты - наглядное классное пособие при обучении нумерации.

Правда, на русских счетах нельзя производить всех тех действий, которые выполняются машинами. Нынешние счетные машины, конечно, оставляют далеко позади наши счеты. Но во многом - например, в сложении и вычитании - счеты могут соперничать со сложными приборами. Впрочем, в искусных руках умножение и деление также значительно ускоряются на счетах, если знать приемы выполнения этих действий.

Познакомимся с некоторыми из них.

3.Вычисления на счетах

4. Опрос учеников 5 классов МКОУ «Богучарская СОШ №1»

Видели ли Вы счёты?

• я не знаю, что это

Как Вы представляете себе счёты?

• Выберите все подходящие варианты

  когда-то знал, но забыл

Хотели бы Вы научиться пользоваться счётами?

• Выберите все подходящие варианты

  не вижу необходимости

  считаю бесполезным занятием

Каким способом Вы чаще всего считаете на уроках?

• Выберите все подходящие варианты

  на калькуляторе

  в столбик

5.Результаты опроса.

В опросе приняли участие 53 человека.

6.Преимущества счётов при формировании вычислительных навыков (против счётных палочек):

Дешевизна,

Надёжность: уронишь не сломаются,

В отличие от счётных палочек, не теряются косточки, т.к. нанизаны на спицы

Простота.

Безопасность в виде отсутствия электромагнитных излучений и поражений током.

Визуализация приёмов вычислений.

Развитие памяти

7.Выводы:

Навыки устного счета необходимы каждому человеку.

Приёмы «быстрого» устного счёта применяют 12% учащихся 5 классов нашей школы (по данным нашего опроса)

Мы овладели приёмами сложения и вычитания многозначных чисел на счётах, при этом автоматически улучшили навыки устных вычислений.

Список литературы

Абак - История вычислительной техники - http://www.sch297.ru/projects/ivt/abak.html

Абак - Википедия. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B1%D0%B0%D0%BA

Депман И.Я. История арифметики. - М.:Просвещение,1965.

Системы счисления - Абак и пальцевой счет - http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file27.htm

Счеты-http://vio.fio.ru/vio_02/resource/internet/www.stat.bashedu.ru_konkurs_tarhov/russian/abak.htm

старинные счеты

Альтернативные описания

Доска для арифметических вычислений в Древней Греции, Риме, затем в Западной Европе до XVIII в.

Архитектурная деталь: плита над колонной

Верхняя часть капители колонны

Доска, которая применялась в старину для арифметических вычислений

Компьютер древнего мира

Счетная доска у древних

Доисторический компьютер

Счеты древних бухгалтеров

Античные счеты

Калькулятор Пифагора

Греческие счеты

Древняя счетная доска

Именно этому предмету посвящена первая статья «Математического энциклопедического словаря»

Древние счеты с пятеричной системой счисления

С этого счетного устройства начинается история компьютера

Античная ЭВМ

В архитектуре - верхняя часть капители колонны

Верхняя плита пилястры

Доска для арифметических вычислений в Древней Греции

Калькулятор каменного века

Счеты эллинов

Счеты из Древней Греции

Счетная доска

Часть капители колонны

Древние счеты

Прапрадед компьютера

Счеты Архимеда

Древний «арифмометр»

Предок калькулятора

Верхняя часть капители

Допотопные счеты

Костяшки счетоводов

Доска древних математиков

Доска с камешками

Греческая «доска»

Счетная доска эллинов

Верх колонны

Плита на верху капители

Древний «калькулятор»

Плита над колонной

Самые древние счеты

Греческий предок калькулятора

Античная счетная доска

Древнегреческие камешки, любящие счет

Калькулятор времен Пифагора

Счетная доска античных времен

Предок канцелярских счетов

Верхушка капители

На Руси - счеты, а в Греции?

Допотопные счеты древних греков

Счеты для Пифагоровых расчетов

Компьютер времен Дедала и Икара

Аналог счетов у древних греков

Древнейшие счеты

Пращур компьютера

Прообраз счетов

Счеты времен Пифагора

Далекий предок калькулятора

Античный «калькулятор»

Счеты времен Дедала и Икара

Счеты античных времен

Древний счетный «прибор»

Счетная доска в древности

Архаическая счетная доска

Счеты наших пращуров

Счеты в старину

. «арифмометр» Архимеда

Древнегреческие счеты

Счетная доска у древних римлян

Древние счёты

Верхняя плита капители колонны, пилястры

Калькулятор Пифагора

В русских счётах применяется позиционная десятичная система счисления с непозиционным унарным кодированием внутри каждого разряда.

Каждый ряд костяшек представляет собой числовой разряд , который вверх от спицы с четырьмя костяшками возрастает от единиц до сотен тысяч, а вниз - уменьшается от десятых до тысячных. Максимальное значение для каждого ряда - десять, умноженное на вес разряда (для разряда единиц максимальное значение - 10, если все костяшки отложены влево, для десятков - 100 и так далее). «Набор» числа осуществляется сдвиганием костяшек из правого края прута в левый.

Прут, на котором находятся всего 4 костяшки, использовался для расчётов в полушках . Одна полушка равнялась половине одной деньги , то есть четверти копейки . Соответственно, четыре костяшки составляли одну копейку . Также этот прут использовался для перевода фунтов в пуды (1 пуд = 40 фунтов). Также этот прут может служить разделителем целой и дробной частей набранного на счётах числа и в вычислениях не использоваться.

Таким образом, максимальное число, которое можно набрать на счётах с семью рядами целых чисел, составляет $11"111"111,110$.

После добавления к девяти костяшкам одного разряда десятой костяшки производится операция записи единицы переноса в следующий разряд, состоящая из трёх действий:

1. сдвигом влево одной костяшки к девяти костяшкам добавляется десятая костяшка;
2. сдвигом вправо всех десяти костяшек предыдущий разряд обнуляется;
3. сдвигом влево одной костяшки в следующий разряд записывается единица переноса.

Выполнением этого правила исключается любое неоднозначное представление чисел. С точки зрения теории систем счисления , для действий в показательной единично кодированной десятичной позиционной системе счисления достаточно девяти костяшек, о чём пишет и Я. И. Перельман , при этом операция записи единицы переноса производилась бы за два действия вместо трёх действий:

1. сдвигом влево одной костяшки в следующий разряд записывается единица переноса;
2. сдвигом вправо девяти костяшек предыдущий разряд обнуляется;

Правила счёта

Общие замечания

С помощью счётов, в пределах их разрядности, можно выполнять все базовые арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление . Однако на практике удобно и быстро можно только складывать и вычитать: операция умножения на произвольное число достаточно сложна, а деление в общем виде, скорее всего, займёт больше времени, чем выполнение той же операции на бумаге - с помощью «деления столбиком ». Впрочем, есть достаточно большое количество специальных случаев, когда счёты вполне применимы для умножения и деления.

Кроме того, нужно учитывать следующие моменты:

• Счёты в принципе не предназначены для манипуляций с отрицательными числами. Поэтому любые операции должны приводиться к положительным числам, а знак, если это необходимо, должен просто учитываться отдельно.
• В операциях умножения и деления достаточно неудобно учитывать положение десятичного разделителя для обоих операндов . Вследствие этого при выполнении умножения и деления десятичных дробей либо только второй, либо оба операнда приводятся к целому числу, то есть десятичный разделитель в них просто игнорируется. После выполнения операции положение десятичного разделителя восстанавливается вручную.

«Набор» числа

Представление чисел на счётах и порядок набора описан выше. Необходимо лишь отметить, что правило расположения разрядов числа на проволоках (то есть помещение единичного разряда непременно перед проволокой с четырьмя косточками) в практических расчётах часто бывает необязательно соблюдать. Более того, в процессе расчётов бывает удобно иногда вместо перенабора числа просто мысленно перенести разделитель целой и дробной части на другое место.

В некоторых руководствах по вычислениям на счётах рекомендуется следующее «усовершенствование»: просверлить в раме счётов слева ряд небольших отверстий, расположенных напротив промежутков между проволоками. При расчётах какой-либо предмет - например, гвоздь или разогнутая скрепка - помещается в отверстие, находящееся напротив промежутка, в данный момент разделяющего единицы и десятые доли. Таким образом в любой момент положение десятичного разделителя явно отмечено и может быть легко изменено.

Сложение

Согласно одному из возможных способов, сложение на счётах выполняется «снизу вверх» (от младших разрядов к старшим). На счётах «набирается» первое слагаемое, после чего поразрядно, от младшего разряда к старшему, производятся следующие действия:

1. влево столько косточек, сколько единиц в соответствующем разряде второго слагаемого.
2. Если на проволоке не хватает косточек для выполнения первого действия, то на проволоке слева оставляется столько косточек, сколько не хватило, а на следующей (находящейся выше) проволоке перебрасывается влево одна косточка.
3. Если в результате действия (как первого, так и второго, и данного) слева на проволоке оказалось 10 косточек, то все косточки на этой проволоке перебрасываются вправо, а на следующей (находящейся выше) проволоке дополнительно перебрасывается влево одна косточка.

После того, как будут выполнены действия со всеми разрядами, «набранное» на счётах число и будет результатом сложения.

Есть и другой способ: сложение от старших разрядов к младшим - см. анимацию.

Вычитание

Вычитание на счётах выполняется «сверху вниз», то есть от старших разрядов к младшим. В силу неприспособленности счётов для работы с отрицательными числами всегда нужно из большего положительного числа вычитать меньшее положительное число. Если требуется вычесть из меньшего большее, числа следует поменять местами и оставить знак «в уме».

На счётах «набирается» уменьшаемое, после чего поразрядно, от старшего разряда к младшему, производятся следующие действия:

1. На проволоке, соответствующей разряду, перебрасывается вправо столько косточек, сколько единиц в соответствующем разряде вычитаемого.
2. Если на проволоке не хватает косточек для выполнения первого действия, производится перенос разряда: слева оставляется (10 - n) косточек, где n - «недостающее» число косточек (чтобы не делать второе вычитание в уме, можно весь десяток косточек на данной проволоке перенести влево, после чего отбросить недостающее число косточек), а на находящейся выше проволоке отбрасывается вправо одна косточка
3. Если при переносе на проволоке, соответствующей старшему разряду, не хватает косточек, то выполняется перенос в следующий (ещё более старший) разряд и так до тех пор, пока на одной из проволок не окажется достаточного количества косточек. Так, например, при вычитании (1001 - 3) сначала на проволоке младшего разряда будет оставлено 8 косточек и потребуется перенос во второй разряд, затем - в третий, и только после этого на проволоке четвёртого разряда окажется достаточно косточек, чтобы завершить операцию.

Умножение

Умножение на однозначное число в общем случае может быть заменено на сложение множимого с самим собой соответствующее количество раз. Целые многозначные числа перемножаются поразрядно, аналогично «умножению в столбик»:

• В качестве множимого выбирается то из двух чисел, которое содержит больше ненулевых цифр.
• Множимое прибавляется к самому себе столько раз, сколько единиц в младшем (первом) разряде множителя.
• Для каждого следующего разряда множителя множимое прибавляется к уже имеющемуся на счётах числу соответствующее количество раз, но со сдвигом на один разряд вверх. То есть для разряда десятков сложение производится со сдвигом на один разряд, сотен - на два и так далее.
• Если в соответствующем разряде множителя стоит нуль, то, естественно, никакого сложения не производится, а просто делается сдвиг на одну проволоку вверх и переход к следующему разряду.
• Когда будут произведены прибавления для всех ненулевых разрядов множителя, на счётах будет получен результат умножения. Положение десятичного разделителя при этом нужно учитывать в той позиции, где он был при первых сложениях (то есть сдвиги десятичного разделителя учитываются только в промежуточных операциях).

Если перемножаются нецелые числа, то операция выполняется точно так же (вычисления ведутся с целыми числами, десятичные разделители просто игнорируются). Десятичный разделитель ставится в нужную позицию вручную при записи результата.

Несмотря на громоздкость алгоритма, при выработанном навыке выигрыш времени по сравнению с расчётом на бумаге может быть значительным.

Деление

Деление в общем виде заменяется вычитанием. Общий алгоритм деления целых чисел выглядит следующим образом:

• Делимое набирается на счётах в нижней их части.
• Из старших разрядов делимого выбирается группа такого размера, чтобы составленное ею число было больше делителя, но меньше делителя, умноженного на десять. Десятичный разделитель мысленно переносится за младший разряд этой группы.
• Из набранного числа (с учётом поставленного разделителя) делитель вычитается до тех пор, пока уменьшаемое не станет меньше делителя. При каждом успешном вычитании на верхней проволоке счёт переносится влево одна косточка.
• По завершении вычитания десятичный разделитель мысленно передвигается на одну проволоку вниз. Далее вычитание делителя повторяется для нового уменьшаемого, а результат заносится на следующую (вторую, далее - третью и т. д.) проволоку.
• Предыдущий пункт повторяется до тех пор, пока не закончится набранное на счётах число, либо пока не будет получено нужное число цифр результата.
• На верхних проволоках по завершении всех операций будет набран результат деления. Положение десятичного разделителя при этом - такое же, как было у делимого.

Если делимое кратно делителю, то операция завершится по достижении младшего десятичного разряда делимого и все косточки, кроме тех, на которых накоплен результат, будут справа. Если же нет, то на счётах останется число, соответствующее остатку от деления. Если необходимо, далее можно получать десятичные знаки дробного результата до тех пор, пока хватает проволок на счётах (когда сдвигать десятичный разделитель вниз станет некуда, можно искусственно перенести накопившийся остаток выше, чтобы продолжить деление; так можно получить до 7-8 цифр результата).

Например, вычисляем 715/31:

• Набираем на счётах 715 в нижней части (над проволокой с четырьмя костяшками).
• Из первых разрядов выделяем число, большее 31 и меньшее 310 - это два разряда, 71. Мысленно помещаем десятичный разделитель после единицы.
• Вычитаем 31 из 71. Это можно сделать два раза. На верхней проволоке счёт отбрасываем влево две костяшки. В остатке остаётся 9.
• Осталось 9, что меньше 31. Мысленно сдвигаем десятичный разделитель на одну проволоку вниз. Следующее уменьшаемое - 95.
• Вычитаем 31 из 95. Это можно сделать три раза. На второй проволоке сверху отбрасываем влево три костяшки. В остатке - 2.
• 2 меньше 31. Целая часть делимого использована полностью. Если достаточно получить решение с остатком, то можно зафиксировать результат: на двух верхних проволоках набрано 2 и 3, в делимом осталось 2, то есть результат равен 23 и 2 в остатке, или $\{23\}\backslash tfrac\{2\}\{31\}$.
• Если нужны следующие десятичные знаки, то продолжаем операцию дальше: сдвигаем десятичный разделитель на один разряд вниз, но в результате получаем 20, что меньше 31. Поэтому на третьей проволоке сверху оставляем нуль (все костяшки справа) и сдвигаем разделитель ещё на проволоку вниз.
• Вычитаем 31 из 200 - шесть раз. На четвёртой проволоке откладывается 6.
• Сдвигаем десятичный разделитель ещё на разряд. На счётах 140.
• Вычитаем 31 из 140. На пятой проволоке откладывается 4.
• На счётах остаётся 16. Далее сдвигать разряды некуда - закончились проволоки счёт (обычно ниже 4-косточной проволоки на счётах всего три разряда). Поскольку 16 - больше половины от 31, в следующем разряде будет 5 или больше, так что можно зафиксировать округлённый результат: 23,065. При настоятельной необходимости получить следующие цифры результата придётся перенести остаток 16 вверх и продолжить счёт оттуда.

Как и в случае с умножением, при делении десятичных дробей аргументы заменяются на целые числа и вычисления выполняются в точно таком же порядке, а десятичный разделитель в результате переносится на нужное место вручную.

Упрощённые приёмы умножения и деления

Произвольное умножение и в особенности деление на счётах не слишком удобно. Однако существует ряд частных случаев, когда эти операции выполняются намного проще:

• Умножение и деление на 10 заменяется переносом числа на разряд вверх или вниз. При этом фактически переносить запись нет никакой необходимости - достаточно мысленно переместить разделитель целой и дробной части числа на одну проволоку, соответственно, вниз или вверх. В руководствах по вычислению на счётах рекомендовалось во время ведения вычислений удерживать палец левой руки на раме счётов напротив промежутка между проволоками, соответствующими единицам и десятым, либо отмечать текущее положение десятичного разделителя каким-нибудь подручным средством (кнопка, гвоздик, вставляемый в специально проделанные в раме счётов отверстия и т. п.).
• Умножение на 2 заменяется сложением числа с самим собой: $39*2=39+39=78$.
• Умножение на 3 - сложением с самим собой два раза: $39*3=39+39+39=117$.
• Умножение на 4 - двукратным удвоением: $18*4=(18+18)\; *\; 2\; =\; 36+36\; =\; 72$.
• Умножение на 5 - умножением на 10 и делением на 2: $26*5=\backslash tfrac\{26*10\}\{2\}=260/2=130$.
• Умножение на 6 - умножением на 5 и прибавлением исходного числа: $26*6=26*5+26=\backslash tfrac\{26*10\}\{2\}+26=130+26=156$.
• Умножение на 7 - троекратным удвоением и вычитанием исходного числа: $13*7=26*2*2-13=52*2-13=104-13=91$.
• Умножение на 8 - троекратным удвоением: $13*8=13*2*2*2=26*2*2=52*2=104$
• Умножение на 9 - умножением на 10 и вычитанием исходного числа: $23*9=23*10-23=230-23=207$.
• Деление на 2 производится от младших разрядов к старшим. На каждой проволоке отбрасывается половина имеющихся косточек. Если на проволоке нечётное количество косточек, то «лишняя» косточка тоже отбрасывается, а на проволоке ниже (в младшем разряде) переносится влево ещё пять косточек. Например, при делении 57 на 2 в разряде единиц имеется нечётное число, поэтому будут отброшены 4 косточки (останется 3), а в разряде десятых долей прибавятся 5, затем в разряде десятков из пяти косточек отбросятся три - останутся две, а в единичный разряд дополнительно прибавится 5 - станет 8. Таким образом, правильный ответ: $28,5$.
• Деление на 3 заменяется умножением исходного числа на 3 и последовательным сложением результата с самим собой со сдвигом вниз столько раз, сколько нужно разрядов в результате. При сдвиге «за пределы счётов» прибавляемое число округляется. Результат сложения нужно разделить на 10. (Используется тот факт, что $x/3\; =\; \{0.3(3)\}\backslash cdot\{x\}\; =\; \backslash tfrac\{3.3(3)\backslash cdot\; x\}\{10\}$).
• Деление на 4 - двукратным делением на 2.
• Деление на 5 - делением на 10 и умножением на 2.
• Деление на 6 - последовательным делением на 2 и на 3.
• Деление на 7 выполняется по общему алгоритму (поразрядное вычитание семёрки).
• Деление на 8 заменяется трёхкратным делением на 2.
• Деление на 9 выполняется сложением числа с самим собой с последовательным поразрядным сдвигом вниз столько раз, сколько нужно разрядов в результате. Результат сложения делится на 10. (Используется соотношение $x/9\; =\; \{0,1(1)\}\backslash cdot\{x\}\; =\; \backslash tfrac\{\{1,1(1)\}\backslash cdot\{x\}\}\{10\}$).
• Умножение и деление на любую степень двойки производится, соответственно, последовательным удвоением или делением на 2.
• Умножение на двузначное число из двух одинаковых цифр «NN» (11, 22, 33, 44 и т. д.) заменяется умножением и сложением со сдвигом:

• Сначала исходное значение умножается на N любым удобным способом.
• Затем десятичный разделитель переносится на разряд вниз и результат умножения прибавляется сам к себе, но со сдвигом вниз на одну проволоку (прибавлять со сдвигом вниз удобнее, так как сложение производится снизу вверх, и добавляемое число косточек всегда видно на одну проволоку выше - нет необходимости что-то запоминать).

Часто можно с помощью несложных манипуляций привести вычисляемую операцию к комбинации частных случаев умножения и деления. Например, умножение на 25 можно заменить умножением на 100 и двукратным делением на 2. Когда один или оба операнда близки к «удобным» для расчётов числам, можно комбинировать специальные случаи умножения и деления со сложением и вычитанием. Но возможность подобных трюков сильно зависит от уровня подготовки вычислителя. Собственно, искусство вычисления на счётах и заключается в умении свести любое требуемое вычисление к комбинации легко поддающихся счёту элементов.

Пример счёта

Известный пример использования счётов для решения задач приводится в рассказе Антона Чехова «Репетитор». Гимназист-репетитор Егор Алексеич Зиберов задал малолетнему Пете Удодову задачу:

Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а чёрное - 3 рубля.

Петя не смог решить её. Впрочем, и сам репетитор не справился, хотя знал, что «задача, собственно говоря, алгебраическая » и «её с иксом и игреком решить можно». Действительно, если предположить, что $x$ - это количество синего сукна, а $y$ - чёрного, можно составить следующую систему уравнений :

$\backslash begin\{cases\}\; x\; +\; y\; =\; 138\; \backslash \backslash \; 5x\; +\; 3y\; =\; 540\backslash ,\backslash ,\; .\backslash end\{cases\}$

Решив её, получим ответ: $y=75,\; \backslash \; x=63$, то есть 75 аршин чёрного сукна и 63 аршина - синего.

Однако подобное решение этой задачи ведет к потере её внутренней логики. Отец мальчика, отставной губернский секретарь Удодов, продемонстрировал другое решение:

И без алгебры решить можно,- говорит Удодов, протягивая руку к счётам и вздыхая. - Вот, извольте видеть…
Он щёлкает на счётах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
- Вот-с… по-нашему, по-неучёному.

Само «неучёное» решение Чеховым в рассказе не приводится, но оно легко может быть реконструировано, поскольку задача имеет стандартное арифметическое решение, опирающееся на логику и состоящее в выполнении шести арифметических действий. Предположим, что всё купленное сукно было синее. Тогда партия в 138 аршин стоила бы 690 рублей ($5\backslash cdot138$

). Но это на 150 рублей ($690-540$

) больше того, что было заплачено в действительности. «Перерасход» в 150 рублей указывает на то, что в партии имелось более дешевое, чёрное, сукно - по 3 рубля за аршин. Этого сукна столько, что из двухрублёвой разницы ($5-3$

) получается 150 «лишних» рублей. То есть, 75 аршин ($150/2$

) чёрного сукна. Теперь можем найти количество сукна синего: 63 аршин ($138-75$

«Щёлканье на счётах», выполненное Удодовым, выглядело следующим образом:

1. На счётах «набирается» число 138: одна косточка на первой проволоке, три - на второй, восемь - на третьей.
2. Умножается 138 на 5. Для упрощения счёта вместо этого сначала умножается 138 на 10, не делая никаких манипуляций, просто мысленно перенося все косточки одним рядом выше, после чего делится на 2: на каждой проволоке, начиная снизу, откидывается половина косточек. На третьей проволоке, где отложены восемь косточек, откидываются четыре; на средней проволоке из трёх косточек откидываются две, при этом одна из них мысленно заменяется десятью нижними и делится пополам - то есть добавляется пять косточек к тем, которые находятся на следующей проволоке; на верхней проволоке убирается одна косточка, прибавляя пять к косточкам на второй проволоке. В результате на верхней проволоке косточек нет, на второй осталось шесть, на третьей - девять. $\{138*5=690\}$
3. Из 690 вычитается 540: со второй проволоки убирается пять косточек, с третьей - четыре. $690-540=150$
4. 150 делится пополам (метод - см. выше). $150/2=75$
5. Из 138 вычитается 75. Повторно «набирается» 138, на второй проволоке отбрасывается, но там только три. Не хватает четырёх, поэтому на проволоке остаются шесть косточек (если Удотову лень вычитать в уме четыре из десяти, он может перекинуть весь десяток на второй проволоке влево и отбросить от него «недовычтенные» четыре косточки), а с первой проволоки снимается одна косточка. Теперь на третьей проволоке из восьми косточек отбрасываются пять. $138-75=63$

См. также

Напишите отзыв о статье "Счёты"

Примечания

Литература

• Кирюшин Е. Д. . - 6-е изд. - М .: Центр. Т-во «Кооперативное издательство», 1925.
• Спасский И. Г. Происхождение и история русских счётов // Историко-математические исследования . - М .: ГИТТЛ, 1952. - № 5 . - С. 269-420 .

Ссылки

Отрывок, характеризующий Счёты

– Un cosaque de Platow [Платовский казак.] говорит, что корпус Платова соединяется с большой армией, что Кутузов назначен главнокомандующим. Tres intelligent et bavard! [Очень умный и болтун!]
Наполеон улыбнулся, велел дать этому казаку лошадь и привести его к себе. Он сам желал поговорить с ним. Несколько адъютантов поскакало, и через час крепостной человек Денисова, уступленный им Ростову, Лаврушка, в денщицкой куртке на французском кавалерийском седле, с плутовским и пьяным, веселым лицом подъехал к Наполеону. Наполеон велел ему ехать рядом с собой и начал спрашивать:
– Вы казак?
– Казак с, ваше благородие.
«Le cosaque ignorant la compagnie dans laquelle il se trouvait, car la simplicite de Napoleon n"avait rien qui put reveler a une imagination orientale la presence d"un souverain, s"entretint avec la plus extreme familiarite des affaires de la guerre actuelle», [Казак, не зная того общества, в котором он находился, потому что простота Наполеона не имела ничего такого, что бы могло открыть для восточного воображения присутствие государя, разговаривал с чрезвычайной фамильярностью об обстоятельствах настоящей войны.] – говорит Тьер, рассказывая этот эпизод. Действительно, Лаврушка, напившийся пьяным и оставивший барина без обеда, был высечен накануне и отправлен в деревню за курами, где он увлекся мародерством и был взят в плен французами. Лаврушка был один из тех грубых, наглых лакеев, видавших всякие виды, которые считают долгом все делать с подлостью и хитростью, которые готовы сослужить всякую службу своему барину и которые хитро угадывают барские дурные мысли, в особенности тщеславие и мелочность.
Попав в общество Наполеона, которого личность он очень хорошо и легко признал. Лаврушка нисколько не смутился и только старался от всей души заслужить новым господам.
Он очень хорошо знал, что это сам Наполеон, и присутствие Наполеона не могло смутить его больше, чем присутствие Ростова или вахмистра с розгами, потому что не было ничего у него, чего бы не мог лишить его ни вахмистр, ни Наполеон.
Он врал все, что толковалось между денщиками. Многое из этого была правда. Но когда Наполеон спросил его, как же думают русские, победят они Бонапарта или нет, Лаврушка прищурился и задумался.
Он увидал тут тонкую хитрость, как всегда во всем видят хитрость люди, подобные Лаврушке, насупился и помолчал.
– Оно значит: коли быть сраженью, – сказал он задумчиво, – и в скорости, так это так точно. Ну, а коли пройдет три дня апосля того самого числа, тогда, значит, это самое сражение в оттяжку пойдет.
Наполеону перевели это так: «Si la bataille est donnee avant trois jours, les Francais la gagneraient, mais que si elle serait donnee plus tard, Dieu seul sait ce qui en arrivrait», [«Ежели сражение произойдет прежде трех дней, то французы выиграют его, но ежели после трех дней, то бог знает что случится».] – улыбаясь передал Lelorgne d"Ideville. Наполеон не улыбнулся, хотя он, видимо, был в самом веселом расположении духа, и велел повторить себе эти слова.
Лаврушка заметил это и, чтобы развеселить его, сказал, притворяясь, что не знает, кто он.
– Знаем, у вас есть Бонапарт, он всех в мире побил, ну да об нас другая статья… – сказал он, сам не зная, как и отчего под конец проскочил в его словах хвастливый патриотизм. Переводчик передал эти слова Наполеону без окончания, и Бонапарт улыбнулся. «Le jeune Cosaque fit sourire son puissant interlocuteur», [Молодой казак заставил улыбнуться своего могущественного собеседника.] – говорит Тьер. Проехав несколько шагов молча, Наполеон обратился к Бертье и сказал, что он хочет испытать действие, которое произведет sur cet enfant du Don [на это дитя Дона] известие о том, что тот человек, с которым говорит этот enfant du Don, есть сам император, тот самый император, который написал на пирамидах бессмертно победоносное имя.
Известие было передано.
Лаврушка (поняв, что это делалось, чтобы озадачить его, и что Наполеон думает, что он испугается), чтобы угодить новым господам, тотчас же притворился изумленным, ошеломленным, выпучил глаза и сделал такое же лицо, которое ему привычно было, когда его водили сечь. «A peine l"interprete de Napoleon, – говорит Тьер, – avait il parle, que le Cosaque, saisi d"une sorte d"ebahissement, no profera plus une parole et marcha les yeux constamment attaches sur ce conquerant, dont le nom avait penetre jusqu"a lui, a travers les steppes de l"Orient. Toute sa loquacite s"etait subitement arretee, pour faire place a un sentiment d"admiration naive et silencieuse. Napoleon, apres l"avoir recompense, lui fit donner la liberte, comme a un oiseau qu"on rend aux champs qui l"ont vu naitre». [Едва переводчик Наполеона сказал это казаку, как казак, охваченный каким то остолбенением, не произнес более ни одного слова и продолжал ехать, не спуская глаз с завоевателя, имя которого достигло до него через восточные степи. Вся его разговорчивость вдруг прекратилась и заменилась наивным и молчаливым чувством восторга. Наполеон, наградив казака, приказал дать ему свободу, как птице, которую возвращают ее родным полям.]
Наполеон поехал дальше, мечтая о той Moscou, которая так занимала его воображение, a l"oiseau qu"on rendit aux champs qui l"on vu naitre [птица, возвращенная родным полям] поскакал на аванпосты, придумывая вперед все то, чего не было и что он будет рассказывать у своих. Того же, что действительно с ним было, он не хотел рассказывать именно потому, что это казалось ему недостойным рассказа. Он выехал к казакам, расспросил, где был полк, состоявший в отряде Платова, и к вечеру же нашел своего барина Николая Ростова, стоявшего в Янкове и только что севшего верхом, чтобы с Ильиным сделать прогулку по окрестным деревням. Он дал другую лошадь Лаврушке и взял его с собой.

Княжна Марья не была в Москве и вне опасности, как думал князь Андрей.
После возвращения Алпатыча из Смоленска старый князь как бы вдруг опомнился от сна. Он велел собрать из деревень ополченцев, вооружить их и написал главнокомандующему письмо, в котором извещал его о принятом им намерении оставаться в Лысых Горах до последней крайности, защищаться, предоставляя на его усмотрение принять или не принять меры для защиты Лысых Гор, в которых будет взят в плен или убит один из старейших русских генералов, и объявил домашним, что он остается в Лысых Горах.
Но, оставаясь сам в Лысых Горах, князь распорядился об отправке княжны и Десаля с маленьким князем в Богучарово и оттуда в Москву. Княжна Марья, испуганная лихорадочной, бессонной деятельностью отца, заменившей его прежнюю опущенность, не могла решиться оставить его одного и в первый раз в жизни позволила себе не повиноваться ему. Она отказалась ехать, и на нее обрушилась страшная гроза гнева князя. Он напомнил ей все, в чем он был несправедлив против нее. Стараясь обвинить ее, он сказал ей, что она измучила его, что она поссорила его с сыном, имела против него гадкие подозрения, что она задачей своей жизни поставила отравлять его жизнь, и выгнал ее из своего кабинета, сказав ей, что, ежели она не уедет, ему все равно. Он сказал, что знать не хочет о ее существовании, но вперед предупреждает ее, чтобы она не смела попадаться ему на глаза. То, что он, вопреки опасений княжны Марьи, не велел насильно увезти ее, а только не приказал ей показываться на глаза, обрадовало княжну Марью. Она знала, что это доказывало то, что в самой тайне души своей он был рад, что она оставалась дома и не уехала.
На другой день после отъезда Николушки старый князь утром оделся в полный мундир и собрался ехать главнокомандующему. Коляска уже была подана. Княжна Марья видела, как он, в мундире и всех орденах, вышел из дома и пошел в сад сделать смотр вооруженным мужикам и дворовым. Княжна Марья свдела у окна, прислушивалась к его голосу, раздававшемуся из сада. Вдруг из аллеи выбежало несколько людей с испуганными лицами.
Княжна Марья выбежала на крыльцо, на цветочную дорожку и в аллею. Навстречу ей подвигалась большая толпа ополченцев и дворовых, и в середине этой толпы несколько людей под руки волокли маленького старичка в мундире и орденах. Княжна Марья подбежала к нему и, в игре мелкими кругами падавшего света, сквозь тень липовой аллеи, не могла дать себе отчета в том, какая перемена произошла в его лице. Одно, что она увидала, было то, что прежнее строгое и решительное выражение его лица заменилось выражением робости и покорности. Увидав дочь, он зашевелил бессильными губами и захрипел. Нельзя было понять, чего он хотел. Его подняли на руки, отнесли в кабинет и положили на тот диван, которого он так боялся последнее время.
Привезенный доктор в ту же ночь пустил кровь и объявил, что у князя удар правой стороны.
В Лысых Горах оставаться становилось более и более опасным, и на другой день после удара князя, повезли в Богучарово. Доктор поехал с ними.
Когда они приехали в Богучарово, Десаль с маленьким князем уже уехали в Москву.
Все в том же положении, не хуже и не лучше, разбитый параличом, старый князь три недели лежал в Богучарове в новом, построенном князем Андреем, доме. Старый князь был в беспамятстве; он лежал, как изуродованный труп. Он не переставая бормотал что то, дергаясь бровями и губами, и нельзя было знать, понимал он или нет то, что его окружало. Одно можно было знать наверное – это то, что он страдал и, чувствовал потребность еще выразить что то. Но что это было, никто не мог понять; был ли это какой нибудь каприз больного и полусумасшедшего, относилось ли это до общего хода дел, или относилось это до семейных обстоятельств?
Доктор говорил, что выражаемое им беспокойство ничего не значило, что оно имело физические причины; но княжна Марья думала (и то, что ее присутствие всегда усиливало его беспокойство, подтверждало ее предположение), думала, что он что то хотел сказать ей. Он, очевидно, страдал и физически и нравственно.
Надежды на исцеление не было. Везти его было нельзя. И что бы было, ежели бы он умер дорогой? «Не лучше ли бы было конец, совсем конец! – иногда думала княжна Марья. Она день и ночь, почти без сна, следила за ним, и, страшно сказать, она часто следила за ним не с надеждой найти призкаки облегчения, но следила, часто желая найти признаки приближения к концу.
Как ни странно было княжне сознавать в себе это чувство, но оно было в ней. И что было еще ужаснее для княжны Марьи, это было то, что со времени болезни ее отца (даже едва ли не раньше, не тогда ли уж, когда она, ожидая чего то, осталась с ним) в ней проснулись все заснувшие в ней, забытые личные желания и надежды. То, что годами не приходило ей в голову – мысли о свободной жизни без вечного страха отца, даже мысли о возможности любви и семейного счастия, как искушения дьявола, беспрестанно носились в ее воображении. Как ни отстраняла она от себя, беспрестанно ей приходили в голову вопросы о том, как она теперь, после того, устроит свою жизнь. Это были искушения дьявола, и княжна Марья знала это. Она знала, что единственное орудие против него была молитва, и она пыталась молиться. Она становилась в положение молитвы, смотрела на образа, читала слова молитвы, но не могла молиться. Она чувствовала, что теперь ее охватил другой мир – житейской, трудной и свободной деятельности, совершенно противоположный тому нравственному миру, в который она была заключена прежде и в котором лучшее утешение была молитва. Она не могла молиться и не могла плакать, и житейская забота охватила ее.
Оставаться в Вогучарове становилось опасным. Со всех сторон слышно было о приближающихся французах, и в одной деревне, в пятнадцати верстах от Богучарова, была разграблена усадьба французскими мародерами.
Доктор настаивал на том, что надо везти князя дальше; предводитель прислал чиновника к княжне Марье, уговаривая ее уезжать как можно скорее. Исправник, приехав в Богучарово, настаивал на том же, говоря, что в сорока верстах французы, что по деревням ходят французские прокламации и что ежели княжна не уедет с отцом до пятнадцатого, то он ни за что не отвечает.
Княжна пятнадцатого решилась ехать. Заботы приготовлений, отдача приказаний, за которыми все обращались к ней, целый день занимали ее. Ночь с четырнадцатого на пятнадцатое она провела, как обыкновенно, не раздеваясь, в соседней от той комнаты, в которой лежал князь. Несколько раз, просыпаясь, она слышала его кряхтенье, бормотанье, скрип кровати и шаги Тихона и доктора, ворочавших его. Несколько раз она прислушивалась у двери, и ей казалось, что он нынче бормотал громче обыкновенного и чаще ворочался. Она не могла спать и несколько раз подходила к двери, прислушиваясь, желая войти и не решаясь этого сделать. Хотя он и не говорил, но княжна Марья видела, знала, как неприятно было ему всякое выражение страха за него. Она замечала, как недовольно он отвертывался от ее взгляда, иногда невольно и упорно на него устремленного. Она знала, что ее приход ночью, в необычное время, раздражит его.
Но никогда ей так жалко не было, так страшно не было потерять его. Она вспоминала всю свою жизнь с ним, и в каждом слове, поступке его она находила выражение его любви к ней. Изредка между этими воспоминаниями врывались в ее воображение искушения дьявола, мысли о том, что будет после его смерти и как устроится ее новая, свободная жизнь. Но с отвращением отгоняла она эти мысли. К утру он затих, и она заснула.
Она проснулась поздно. Та искренность, которая бывает при пробуждении, показала ей ясно то, что более всего в болезни отца занимало ее. Она проснулась, прислушалась к тому, что было за дверью, и, услыхав его кряхтенье, со вздохом сказала себе, что было все то же.
– Да чему же быть? Чего же я хотела? Я хочу его смерти! – вскрикнула она с отвращением к себе самой.
Она оделась, умылась, прочла молитвы и вышла на крыльцо. К крыльцу поданы были без лошадей экипажи, в которые укладывали вещи.
Утро было теплое и серое. Княжна Марья остановилась на крыльце, не переставая ужасаться перед своей душевной мерзостью и стараясь привести в порядок свои мысли, прежде чем войти к нему.
Доктор сошел с лестницы и подошел к ней.
– Ему получше нынче, – сказал доктор. – Я вас искал. Можно кое что понять из того, что он говорит, голова посвежее. Пойдемте. Он зовет вас…
Сердце княжны Марьи так сильно забилось при этом известии, что она, побледнев, прислонилась к двери, чтобы не упасть. Увидать его, говорить с ним, подпасть под его взгляд теперь, когда вся душа княжны Марьи была переполнена этих страшных преступных искушений, – было мучительно радостно и ужасно.
– Пойдемте, – сказал доктор.
Княжна Марья вошла к отцу и подошла к кровати. Он лежал высоко на спине, с своими маленькими, костлявыми, покрытыми лиловыми узловатыми жилками ручками на одеяле, с уставленным прямо левым глазом и с скосившимся правым глазом, с неподвижными бровями и губами. Он весь был такой худенький, маленький и жалкий. Лицо его, казалось, ссохлось или растаяло, измельчало чертами. Княжна Марья подошла и поцеловала его руку. Левая рука сжала ее руку так, что видно было, что он уже давно ждал ее. Он задергал ее руку, и брови и губы его сердито зашевелились.
Она испуганно глядела на него, стараясь угадать, чего он хотел от нее. Когда она, переменя положение, подвинулась, так что левый глаз видел ее лицо, он успокоился, на несколько секунд не спуская с нее глаза. Потом губы и язык его зашевелились, послышались звуки, и он стал говорить, робко и умоляюще глядя на нее, видимо, боясь, что она не поймет его.
Княжна Марья, напрягая все силы внимания, смотрела на него. Комический труд, с которым он ворочал языком, заставлял княжну Марью опускать глаза и с трудом подавлять поднимавшиеся в ее горле рыдания. Он сказал что то, по нескольку раз повторяя свои слова. Княжна Марья не могла понять их; но она старалась угадать то, что он говорил, и повторяла вопросительно сказанные им слона.
– Гага – бои… бои… – повторил он несколько раз. Никак нельзя было понять этих слов. Доктор думал, что он угадал, и, повторяя его слова, спросил: княжна боится? Он отрицательно покачал головой и опять повторил то же…
– Душа, душа болит, – разгадала и сказала княжна Марья. Он утвердительно замычал, взял ее руку и стал прижимать ее к различным местам своей груди, как будто отыскивая настоящее для нее место.
– Все мысли! об тебе… мысли, – потом выговорил он гораздо лучше и понятнее, чем прежде, теперь, когда он был уверен, что его понимают. Княжна Марья прижалась головой к его руке, стараясь скрыть свои рыдания и слезы.
Он рукой двигал по ее волосам.
– Я тебя звал всю ночь… – выговорил он.
– Ежели бы я знала… – сквозь слезы сказала она. – Я боялась войти.
Он пожал ее руку.
– Не спала ты?
– Нет, я не спала, – сказала княжна Марья, отрицательно покачав головой. Невольно подчиняясь отцу, она теперь так же, как он говорил, старалась говорить больше знаками и как будто тоже с трудом ворочая язык.
– Душенька… – или – дружок… – Княжна Марья не могла разобрать; но, наверное, по выражению его взгляда, сказано было нежное, ласкающее слово, которого он никогда не говорил. – Зачем не пришла?
«А я желала, желала его смерти! – думала княжна Марья. Он помолчал.
– Спасибо тебе… дочь, дружок… за все, за все… прости… спасибо… прости… спасибо!.. – И слезы текли из его глаз. – Позовите Андрюшу, – вдруг сказал он, и что то детски робкое и недоверчивое выразилось в его лице при этом спросе. Он как будто сам знал, что спрос его не имеет смысла. Так, по крайней мере, показалось княжне Марье.
– Я от него получила письмо, – отвечала княжна Марья.
Он с удивлением и робостью смотрел на нее.
– Где же он?
– Он в армии, mon pere, в Смоленске.
Он долго молчал, закрыв глаза; потом утвердительно, как бы в ответ на свои сомнения и в подтверждение того, что он теперь все понял и вспомнил, кивнул головой и открыл глаза.
– Да, – сказал он явственно и тихо. – Погибла Россия! Погубили! – И он опять зарыдал, и слезы потекли у него из глаз. Княжна Марья не могла более удерживаться и плакала тоже, глядя на его лицо.
Он опять закрыл глаза. Рыдания его прекратились. Он сделал знак рукой к глазам; и Тихон, поняв его, отер ему слезы.
Потом он открыл глаза и сказал что то, чего долго никто не мог понять и, наконец, понял и передал один Тихон. Княжна Марья отыскивала смысл его слов в том настроении, в котором он говорил за минуту перед этим. То она думала, что он говорит о России, то о князе Андрее, то о ней, о внуке, то о своей смерти. И от этого она не могла угадать его слов.
– Надень твое белое платье, я люблю его, – говорил он.
Поняв эти слова, княжна Марья зарыдала еще громче, и доктор, взяв ее под руку, вывел ее из комнаты на террасу, уговаривая ее успокоиться и заняться приготовлениями к отъезду. После того как княжна Марья вышла от князя, он опять заговорил о сыне, о войне, о государе, задергал сердито бровями, стал возвышать хриплый голос, и с ним сделался второй и последний удар.
Княжна Марья остановилась на террасе. День разгулялся, было солнечно и жарко. Она не могла ничего понимать, ни о чем думать и ничего чувствовать, кроме своей страстной любви к отцу, любви, которой, ей казалось, она не знала до этой минуты. Она выбежала в сад и, рыдая, побежала вниз к пруду по молодым, засаженным князем Андреем, липовым дорожкам.
– Да… я… я… я. Я желала его смерти. Да, я желала, чтобы скорее кончилось… Я хотела успокоиться… А что ж будет со мной? На что мне спокойствие, когда его не будет, – бормотала вслух княжна Марья, быстрыми шагами ходя по саду и руками давя грудь, из которой судорожно вырывались рыдания. Обойдя по саду круг, который привел ее опять к дому, она увидала идущих к ней навстречу m lle Bourienne (которая оставалась в Богучарове и не хотела оттуда уехать) и незнакомого мужчину. Это был предводитель уезда, сам приехавший к княжне с тем, чтобы представить ей всю необходимость скорого отъезда. Княжна Марья слушала и не понимала его; она ввела его в дом, предложила ему завтракать и села с ним. Потом, извинившись перед предводителем, она подошла к двери старого князя. Доктор с встревоженным лицом вышел к ней и сказал, что нельзя.
– Идите, княжна, идите, идите!
Княжна Марья пошла опять в сад и под горой у пруда, в том месте, где никто не мог видеть, села на траву. Она не знала, как долго она пробыла там. Чьи то бегущие женские шаги по дорожке заставили ее очнуться. Она поднялась и увидала, что Дуняша, ее горничная, очевидно, бежавшая за нею, вдруг, как бы испугавшись вида своей барышни, остановилась.
– Пожалуйте, княжна… князь… – сказала Дуняша сорвавшимся голосом.
– Сейчас, иду, иду, – поспешно заговорила княжна, не давая времени Дуняше договорить ей то, что она имела сказать, и, стараясь не видеть Дуняши, побежала к дому.
– Княжна, воля божья совершается, вы должны быть на все готовы, – сказал предводитель, встречая ее у входной двери.
– Оставьте меня. Это неправда! – злобно крикнула она на него. Доктор хотел остановить ее. Она оттолкнула его и подбежала к двери. «И к чему эти люди с испуганными лицами останавливают меня? Мне никого не нужно! И что они тут делают? – Она отворила дверь, и яркий дневной свет в этой прежде полутемной комнате ужаснул ее. В комнате были женщины и няня. Они все отстранились от кровати, давая ей дорогу. Он лежал все так же на кровати; но строгий вид его спокойного лица остановил княжну Марью на пороге комнаты.
«Нет, он не умер, это не может быть! – сказала себе княжна Марья, подошла к нему и, преодолевая ужас, охвативший ее, прижала к щеке его свои губы. Но она тотчас же отстранилась от него. Мгновенно вся сила нежности к нему, которую она чувствовала в себе, исчезла и заменилась чувством ужаса к тому, что было перед нею. «Нет, нет его больше! Его нет, а есть тут же, на том же месте, где был он, что то чуждое и враждебное, какая то страшная, ужасающая и отталкивающая тайна… – И, закрыв лицо руками, княжна Марья упала на руки доктора, поддержавшего ее.

На вопрос Кто придумал СЧЁТЫ? Когда появились первые? заданный автором Ирина лучший ответ это Греки и римляне производили вычисления с помощью специальной счетной доски - абака. Доска абака была разделена на полоски. Каждая полоска назначалась для откладывания тех или иных разрядов чисел: в первую полоску ставили столько камешков или бобов, сколько в числе единиц, во вторую полоску - сколько в нем десятков, в третью - сколько сотен, и так далее. На рисунке показано число 510 742. Так как у римлян камешек называли калькулюс (сравните с русским словом "галька"), то счет на абаке получил название калькуляция. И сейчас подсчет расходов называют калькуляцией, а человека, выполняющего этот подсчет - калькулятором. Но после того как два десятка лет тому назад были сделаны маленькие приборы, выполняющие за считанные секунды сложные расчеты, название "калькулятор" перешло к ним.
Один и тот же камешек на абаке мог означать и единицы, и десятки, и сотни, и тысячи - все дело лишь в том, на какой полоске он лежал. Чаще всего абаком пользовались для денежных расчетов. В Древней Греции бытовала шутка: "Придворный похож на камешек для абака: захочет счетчик, цена ему будет целый талант, а захочет - только хальк".
Наши счеты представляют собой также абак, в котором место полосок занимают проволоки для единиц, десятков и т. д. А у китайцев на каждой проволоке не по десять шариков, как в наших счетах, а по семь. Последние два шарика отделены от первых, и каждый из них обозначает пять. Когда при расчетах набирается пять шариков, вместо них откладывают один шарик второго отделения счетов. Такое устройство китайских счетов уменьшает необходимое число шариков.
Абак (от греч. abax - доска) , доска, разделенная на полосы, где передвигались камешки, кости (как в русских счетах) , служившая для арифметических вычислений с древнейших времен до 18 века. Абак служил не столько для облегчения собственно вычислений, сколько для запоминания промежуточных результатов. Известны разновидности абака: собственно абак (греческий или египетский) в виде дощечки, на которой проводили линии или выдалбливали желобки, в которые колонки клали камешки; китайский суан-пан и японский соробан с шариками, нанизанными на прутики. Русский абак - счеты - появились приблизительно в 16 или 17 веке. Они использовали десятичную, а не пятеричную систему счисления, как остальные абаки. Основная заслуга изобретателей абака - создание позиционной системы представления чисел. История развития науки и техники
Счет на абаке сменил более древний счет на пальцах. Древние египтяне полагали, что в загробном миру душу умершего подвергают экзамену по счету на пальцах. А в одной из древнегреческих комедий герой говорит, что предпочитает вычислять причитающиеся с него налоги по-старинному, на пальцах. Вероятно, счет на абаке казался ему слишком трудным.
Приверженцы старого метода стали его совершенствовать. Они научились даже умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках. К числу вытянутых пальцев, умноженному на 10, добавлялось полученное произведение.
В дальнейшем пальцевой счет был усовершенствован, и с помощью пальцев научились показывать числа до 10 000. А китайские купцы торговались, взяв друг друга за руки и указывая цену нажатием на определенные суставы пальцев.

Ответ от Наталья Корф [гуру]
Счеты являются первым простейшим приспособлением для вычислений счета. Они прошли длительный путь эволюции, в котором можно выделить четыре стадии. Первая предваряет их возникновение-это счет с помощью косточек, очень близкий к западноевропейскому счету на линиях. Вторая - “дощаной счет”. Она начинается в конце 16 века и завершается в начале 18 века. На этой стадии изобретаются русские счеты, по форме сильно отличающиеся от современных.
Счеты с четырьмя полями (середина 17 века)
Они имели сначала четыре, а затем два счетных поля и были универсальным счетным прибором. Десятичная позиционная система счисления еще только начинала распространяться в России, и практически все вычисления производились на счетах.
Следующая, третья стадия охватывает 18-ый и начало 19-го века. В начале этой стадии счеты приобретают свою классическую форму и в дальнейшем совершенствуются только внешне, с точки зрения удобства пользования. Однако на этой стадии счеты уже не являются универсальным счетным прибором, они превращаются во вспомогательный прибор, а ведущее место занимают вычисления на бумаге.
Четвертая стадия развития русских счетов охватывает начало 19 – начало 20 века. Растущая потребность в механизации вычислений породила многочисленные попытки модернизировать счеты и снова придать им характер универсального счетного прибора. Однако эта идея была в принципе несостоятельной: счеты как сугубо ручной прибор не могли конкурировать при выполнении умножения и деления с развитыми конструкциями механических арифмометров. Русские счеты, приобретя свою классическую форму, вплоть до 70-х годов 20 века оставались наиболее массовым вспомогательным вычислительным прибором. Начиная с 70-х годов с ними успешно конкурируют карманные электронные калькуляторы, хотя счеты распространены и в наше время.

Люди издавна старались обеспечить себе счет с помощью средств и приборов. Самой древней "счетной машиной" были пальцы рук и ног. Изображение чисел с помощью жестов рук могло продолжаться до миллионов. С помощью пальцев мы можем выполнять все действия (складывать, вычитать, умножать)

В древности торговцы производили расчеты при помощи Абак у греков и римлян.

Счёты.

Замечательным союзником десятичного счета в России оказались счёты. Этот старинный русский счетный инструмент, которым пользовались все - и неграмотные и грамотеи, был десятичным и тогда

, когда считали на денгу и алтын. В XVI–XVIIвв. он сосуществовал со «счетом костьми», представлявшим ближайшую аналогию западноевропейской системе инструментального счисления посредством счетных жетонов («рехенпфениги»). Счетные фишки, которыми на Руси служили зачастую плодовые косточки, раскладывались на расчерченной линиями таблице или прямо на столе. Но к середине XVIIв. «досчаный счет» (счёты) взял верх.

Распространенное в западной историко-математической литературе мнение о заимствовании Россией во времена татарского владычества китайских счётов (суан-пана) не основательно: русским счётам совершенно чужд пятиричный принцип последних. Они появились на Руси, самое раннее, в XVIв.; предание связывает их изобретение со строгановскими факториями, и нельзя полностью отбросить возможность влияния суан-пана на создание счётов - но только конструктивного, а не арифметического. Сохраненные чертежами в рукописных «Арифметиках» XVIIв. наиболее древние образцы «досчаного счета» имели даже не два, а четыре счетных поля; последующая рационализация прибора позволила ограничиться в XVII в. двумя полями («досками») для общего и специально для алтыно-денежного счета, а после петровской денежной реформы начала XVIIIв.- одним. Только в то время счёты и приобрели некоторое сходство с суан-паном.

Чертёж счетов в рукописной Арифметике середины XVII в. До начала XVIII в. ввиду особенностей денежного счета прибор состоял из двух складных ящиков - для общего и для денежного счета (правый, где имеется ряд для алтынов)

Наиболее характерным в «досчаном счете» был специальный «аппарат» для счисления дробей (к слову сказать, совершенно не выраженный в суан-пане). Согласно положениям древней русской сошной (налоговой) арифметики дроби конструировались по принципу последовательного деления пополам двух исходных дробных величин: четверти и трети; первая в свою очередь, конструировалась через деление пополам основной единицы. Таким образом, дробный счет велся как бы в двух «регистрах»: целое, половина, четверть, полчетверти, полполчетверти и т. д.; целое, треть, полтрети, полполтрети и т. д. В распоряжении древнерусской «бухгалтерии» были специальные переводные таблицы, позволявшие приводить дроби обоего рода к «общему знаменателю».

Именно наличие отмеченных двух «регистров» и объясняет то, что в древнейших приборах каждая «доска» делилась сверху донизу пополам на четвертной и третной ряды; но в XVIIв. догадались, что, имея на «доске» один комплект для счисления целых, можно ограничиться делением пополам только нижней части «доски», где нанизаны кости для дробей. Именно такой прибор и изображен на прилагаемом чертеже. Наличие второго счетного поля давало запас косточек, полезный при действиях умножения и деления. Следует еще отметить, что, как показывают сохранившиеся чертежи, на протяжении всего существования прибора имелись две тенденции в выражении десятков: многие вполне резонно считали, что последняя - десятая (или шестая в «алтынном» ряду) косточка ни к чему и служит только помехой при счете. Даже еще в XIX в. опытные счетчики выбрасывали десятые косточки на своих счётах. Таков и прибор, изображенный на прилагаемом чертеже середины XVII в.

Уже Хавен подметил тесное родство русской монетной системы и счётов. Их прутья с косточками представляли как бы готовую схему, в которую оставалось вложить давно знакомые народу понятия. Русская торговая практика уже в XVIв. осознала десятичную структуру нового рубля и сформулировала ее в конце века в «Торговой книге» - московском руководстве для торговых людей. Нет ничего удивительного в том, что все попытки изменений в русской монетной системе в той или иной мере исходили из мысли о необходимости воплотить в новых монетах десятичный строй рубля.

Арифмо́метр (от греч. "ариомо" - «число», «счёт» и греч. "метров"- «мера», «измеритель») - настольная или портативная механическая вычислительная машина, предназначенная для точного умножения и деления, а также для сложения и вычитания. Механическая вычислительная машина, ведущая автоматическую запись обрабатываемых чисел и результатов на особой ленте -арифмограф .

Настольная или портативная: Чаще всего арифмометры были настольные или «наколенные» (как современные ноутбуки), изредка встречались карманные модели (Curta ). Этим они отличались от больших напольных вычислительных машин, таких как табуляторы(Т-5М) или механические компьютеры(Z-1, Разностная машина Чарльза Бэббиджа).

Механическая: Числа вводятся в арифмометр, преобразуются и передаются пользователю (выводятся в окнах счётчиков или печатаются на ленте) с использованием только механических устройств. При этом арифмометр может использовать исключительно механический привод (то есть для работы на них надо постоянно крутить ручку.Этот примитивный вариант используется, например, в «Феликсе») или производить часть операций с использованием электромотора (Наиболее совершенные арифмометры - вычислительные автоматы, например «Facit CA1-13», почти при любой операции используют электромотор).

Арифмометр Однера.

Точное вычисление: А рифмометры являются цифровыми (а не аналоговыми, как например логарифмическая линейка) устройствами. Поэтому результат вычисления не зависит от погрешности считывания и является абсолютно точным.

Умножение и деление: Арифмометры предназначались в первую очередь для умножения и деления. Поэтому почти у всех арифмометров есть устройство, отображающее количество сложений и вычитаний - счётчик оборотов (так как умножение и деление чаще всего реализовано как последовательное сложение и вычитание; подробнее - см. ниже).

Сложение и вычитание: Арифмометры могут выполнять сложение и вычитание. Но на примитивных рычажных моделях (например, на арифмометре «Феликс») эти операции выполнялись очень медленно - быстрее, чем умножение и деление, но заметно медленнее, чем на простейших суммирующих машинах или даже вручную.

Не программируемый: При работе на арифмометре порядок действий всегда задаётся вручную - непосредственно перед каждой операцией следует нажать соответствующую клавишу или повернуть соответствующий рычаг. Это особенность арифмометра не включается в определение, так как программируемых аналогов арифмометров практически не существовало.

Некоторые данные были взяты с сайтов

• http://www.yroki.com/ob-ustnom-schete
• http://e-libra.ru/read/351524-russkaya-monetnaya-sistema.html
• https://ru.wikipedia.org/wiki/