Критерии выбора стратегии в условиях риска. Стратегия в условиях неопределенности

Для выбора некоторой стратегии ОС должна иметь возможность оценить насколько она хороша или плоха. Так как результаты операции оцениваются критерием операции, то и оценка эффективности основывается на этой функции. Оценки эффективности могут быть различными в зависимости как от информации, которой обладает ОС, так и от субъективных решений ОС.

В случае принятия решения в условиях определенности критерий операции имеет вид f: XR, т.е. зависит только от контролируемых факторов, характеризует достижение цели одним числом, и при этом наибольшему достижению цели соответствует максимальное (минимальное) значение функции f. Тогда оптимальной будет такая стратегия x * Х, которая доставляет максимум (минимум) функции f;

В случае, когда в операции присутствуют неконтролируемые факторы (Y, Z) ОС оценить свою стратегию становится значительно труднее. Существует несколько разумных способов оценки стратегий и ОС необходимо выбрать один из них, либо некоторую комбинацию критериев.

Оценка эффективности стратегий в условиях неопределенности

Рассмотрим случай, когда Z , то есть нет случайных факторов, и m= 1

Тогда наиболее распространенными являются следующие способы оценки эффективности стратегий.

Принцип наилучшего гарантированного результата (критерий Вальда). Предполагается, что для каждой стратегии хX ОС будет реализовываться наиболее плохой для ОС неопределенный фактор уY. Так, если цель ОС максимизировать «выигрыш» f(x,y), то любая стратегия хX оценивается величиной

Оценку W 1 (х) (3) называют еще оценкой крайнего пессимизма. Таким образом, в рассматриваемом случае величина W 1 (x) оценивает «выигрыш» ОС снизу, то есть, выбрав стратегию хX, ОС получит «выигрыш» f(x,y) не меньший, чем W 1 (x), какое бы уY не реализовалось. Иными словами, при применении стратегии х ОС гарантировано получит выигрыш не меньший величины W 1 (х). Оптимальной по этому критерию будет стратегия x 0 , доставляющая максимум функции W 1 (х) на множестве X.

Применение принципа наилучшего гарантированного результата обосновано, когда выбор неопределенного фактора уY осуществляет разумный противник, ставящий своей целью уменьшение «выигрыша» ОС.

В случае, когда ОС стремится минимизировать величину f(x,y), вместо оценки W 1 (x) (3) применяется аналогичная оценка

Соответственно

Если ОС не противостоит разумный противник, применение принципа наилучшего гарантированного результата может показаться сильно «пессимистичным». В этих случаях говорят об «играх с природой». Неконтролируемые факторы выбирает «природа», основываясь на своих, неизвестных ОС, целях. Однако, нет оснований предполагать, что «природа» старается навредить ОС. Наиболее известными в данной ситуации являются критерии Лапласа, Сэвиджа и Гурвица.

Критерий Лапласа. Этот критерий основывается на следующем принципе недостаточного обоснования. Поскольку распределение вероятностей на неопределенных факторах неизвестно, то принимаем, что это распределение является распределением равномерного закона.

Еще раз напомним, что в рассматриваемых случаях ОС не противостоит разумный противник, который выбирает неконтролируемый фактор с целью максимально ухудшить результат операции для ОС.

Критерий Лапласа оценивает стратегию хX величиной математического ожидания выигрыша ОС при равномерном законе распределения вероятностей неконтролируемых факторов. Оптимальной по этому критерию считается стратегия, доставляющая максимум (если нужно максимизировать целевую функцию) математическому ожиданию целевой функции

Здесь - функция плотности распределения вероятностей равномерного закона; p i - вероятность того, что неконтролируемый фактор примет значение y i . При этом

Первая формула применяется в случае непрерывной случайной величины y. Вторая формула для конечного множества Y={y 1 ,…,y m }.

Пример 3. Предприятие должно определить уровень предложения услуг так, чтобы удовлетворить потребность клиентов в течение предстоящих праздников. Точное число клиентов неизвестно, но оно может принимать одно из четырех значений: y 1 =200, y 2 =250, y 3 =300, y 4 =350. Для каждого из этих возможных значений существует наилучший уровень предложения (x 1, …,x 4) с точки зрения минимизации затрат. Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения предложения над спросом, либо из-за неполного удовлетворения спроса (дополнительные расходы из-за необходимости срочных закупок, упущенная прибыль).

Стратегию x 1 , то при худшем для него варианте y=y 1 затраты возрастут по сравнению с гарантированным результатом на 1%, а при благоприятном варианте затраты составят только 0.9% от гарантированных затрат, т.е. уменьшатся на 99.1%.

Учесть подобные ситуации и реализовать выбор стратегии, дающей возможно небольшой проигрыш, но и возможно существенный выигрыш по сравнению со стратегией гарантированного результата, позволяет критерий Сэвиджа. Пусть целевая функция f(x,y) есть функция выигрыша ОС. Следовательно, ОС стремится максимизировать целевую функцию. Составим функцию сожаления:

Величина выражает «сожаление» ОС в том, что она для данного неопределенного фактора y выбрала стратегию x, а не лучшую стратегию

Функцию называют также функцией риска. Затем для функции применяется критерий наилучшего гарантированного результата, то есть оптимальное х 0 ищется следующим образом. Для каждого контролируемого фактора хX

В случае, когда в модели операции задана функция потерь (проигрыша), функция сожаления будет иметь вид

и опять выражает «сожаление» ОС о том, что она для данного неопределенного фактора yY применила стратегию x, a не лучшую стратегию:

Функция сожаления и в случае функции выигрыша f (формула (5)) и в случае функции потерь f (формула (7)) выражает величину потерь ОС от неприменения лучшей стратегии. Поэтому критерий наилучшего гарантированного результата в обоих случаях является минимаксным:

Составим матрицу сожаления для приведенного в начале пункта примера. Так как функция f(i, j) в данном примере есть функция потерь, то

Функцию 2 (i, j) запишем в виде матрицы S сожалений:

Теперь из критерия наилучшего гарантированного результата для матрицы S получаем, что оптимальной будет стратегия х 1.

Рассмотрим пример 3. Так как в этом примере задана функция потерь, то функция сожаления (i, j) вычисляется по формуле (7).

2 (1,3)=21-5=16 и т. д.

Результаты вычислений запишем в виде матрицы S:

Для нахождения оптимальной по критерию Сэвиджа стратегии ОС найдем по матрице сожалений S стратегию х 0 , удовлетворяющую принципу наилучшего гарантированного результата. Для этого в силу (8) нужно найти максимальный элемент в каждой строке матрицы S. Обозначим его b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , соответственно. Затем необходимо найти наименьшее из чисел b i . Тогда номер i * : b i*= min{b j }- определит оптимальную стратегию. В примере 3 b 1 =10, b 2 =8, b 3 =16, b 4 =25. Соответственно, i 0 =2, так как b 2 =min{b 1 ;b 2 ;b 3 ;b 4 }. Следовательно, стратегия х 2 является оптимальной по критерию Сэвиджа в данном примере. Этот ответ совпадает с ответом, полученным по критерию Лапласа.

Таким образом, для приведенной в примере 3 функции потерь оптимальной и по критерию Лапласа, и по критерию Сэвиджа является стратегия х 2 . Однако из приведенного примера не стоит делать вывод, что такое совпадение будет всегда выполняться. Можно привести пример, когда эти два критерия будут считать оптимальными различные стратегии.

Критерий Гурвица. Для определения следующего критерия нам понадобится понятие выпуклой комбинации.

Определение 13. Число с называется выпуклой комбинацией чисел a и b, если существует число [О;1] такое, что

Отметим, что множество всех таких чисел образует отрезок . Критерий Гурвица является выпуклой комбинацией критериев крайнего пессимизма W 1 (x, у) и крайнего оптимизма:

Здесь мы считаем, что задана функция выигрыша f(x, y). Критерий крайнего оптимизма предполагает, что неопределенный фактор yY - максимально содействует ОС в ее стремлении увеличить свой выигрыш. Итак, в случае, когда задана функция выигрыша f(x, y) ОС критерий Гурвица имеет вид:

Оптимальной в этом случае считается стратегия х 0 X, доставляющая максимум функции W 5 (x), т.е.

W 5 (х 0)=W 5 (x).

Для функции потерь (х, у) критерий Гурвица задается равенством:

Оптимальной при этом считается стратегия х 0 X, на которой достигается минимум функции W 6 (х), т. е.

W 6 (x 0)=W 6 (x).

Параметр называется показателем оптимизма: при =1 критерий Гурвица превращается в критерий крайнего оптимизма, при =0 - в критерий крайнего пессимизма. Выбор параметра осуществляется ОС, исходя из ее взглядов на данную операцию, то есть является субъективным.

Найдем решение задачи из примера 3 по критерию Гурвица в случае = 0.2. Имеем соответственно:

W 6 (x 2) = =19.8, W 6 (x 3) = = 19.2,

W 6 (х 4) = = 27.

Анализируя зависимость выбора оптимальной стратегии от значения, получим:

(0.5; 1] - оптимальная стратегия х 1 ;

0.5 - оптимальные стратегии х 1 и х 2 ;

(2/7; 0.5) - оптимальная стратегия x 2 ;

2/7 - оптимальные стратегии x 2 и х 3 ;

)) и выигрышем определенной стратегии поведения игрока, которая может быть реализована при этом состоянии природы называется риском стратегии А. при состоянии природы П:

ту = тахС ^) _ аг]. (11.1)

Таким образом, риск является частью крупнейшего инвестиционного дохода при данном состоянии инвестиционного рынка, инвестор не получает в случае использования несовершенной инвестиционной стратегии.

Для рисков можно построить матрицу рисков, аналогичную по форме к матрице выигрышей.

Перед инвестором стоит задача выбора среди множества возможных инвестиционных стратегий оптимальной.

Для выбора оптимальной инвестиционной стратегии в ситуации неопределенности (когда не известны вероятности) используются следующие критерии:

Критерий максимакс - критерий крайнего оптимизма, согласно которому избирается инвестиционная стратегия, обеспечивающая максимальный выигрыш (доход) среди всех максимальных выигрышей, выделенных для каждого из возможных состояний инвестиционного рынка;

Критерий Вальда - так называемый "критерий пессимиста", согласно которому предполагается, что от любого решения следует ожидать худших последствий, а, следовательно, нужно найти такой вариант, при котором худший результат будет относительно лучше другие плохие результаты. То есть находится худший результат для каждого состояния инвестиционного рынка, а затем из них избирается инвестиционная стратегия с лучшим результатом среди них;

Критерий Сэвиджа - критерий минимаксного риска, аналогично критерию Вальда, но предусматривает анализ выбор по данным матрицы рисков;

Критерий Гурвица - максиминной-максимаксний критерий, по которому при выборе инвестиционной стратегии рекомендует выбирать альтернативу с максимальным средним результатом (при этом действует негласное предположение об одинаковой вероятность возникновения для всех возможных состояний инвестиционного рынка).

Для выбора оптимальной стратегии в условиях риска используются следующие критерии:

Критерий математического ожидания - предусматривает избрание инвестиционной стратегии, для которой средний взвешенный по вероятности выигрыш (математическое ожидание выигрыша, М) является максимальным:

мг = Хa, o Pj-> max; (11.2)

Критерий Лапласа - критерий максимизации взвешенного среднего показателя оптимальности стратегии, по которому при примерно одинаковой вероятности наступления событий оптимальной является стратегия, для которой суммарный выигрыш по всем возможным состояниями инвестиционной среды является максимальным. Именно этот критерий положен в основу сравнительной оценки эффективности проектов по критерию чистой текущей стоимости.

Окончательный выбор оптимальной инвестиционной стратегии осуществляется на основе обобщения результатов оценки по указанным выше критериям. При этом целесообразно принимать к реализации стратегии, которая является оптимальной по большинству критериев.

Выбор альтернатив в условиях неопределенности

Выбор наилучшего решения в условиях неопределœенности существенно зависит от того, какова ее степень, т.е какой информацией располагает ЛПР. Выбор альтернатив в условиях неопределœенности, когда вероятности их возможных вариантов неизвестны, но существуют принципы подхода к оценке результатов действий, обеспечивает использование различных критериев.

Учитывая зависимость отэтого последствия решений можно оценить через систему критериев, предусматривающих различную степень риска.

1. Максиминный критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма) - «рассчитывай на худшее». В соответствии с ним, если требуется гарантия, чтобы выигрыш в любых условиях оказывался не меньше, чем наибольший из возможных в худших условиях, то оптимальным решением будет такое, для которого выигрыш окажется максимальным из всœех минимальных при различных вариантах условий.

Этот критерий ориентирует лицо, принимающее решение, на наихуд­шие условия и рекомендует выбрать ту стратегию, для которой выигрыш максимален. В других, более благоприятных условиях использование этого критерия приводит к потере эффективности системы или операции.

2. Минимаксный критерий Сэвиджа (минимизация большого риска) - «рассчи­тывай на лучшее». При его использовании обеспечивается наименьшее значение макси­мальной величины риска. Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда,- это критерий крайнего пессимизма, но пессимизм проявляется в том, что минимизируется максимальная потеря в выигрыше по сравнению с тем, чего можно было бы достичь в данных условиях.

3. Критерий Лапласа или Байеса - «ориентируйся на среднее».

Согласно этому критерию, если вероятность состояния среды неизвестна, варианты условий должны приниматься как равные. В этом случае выбирается альтернатива, характеризующаяся самой предполагаемой стоимостью при условии равных вероятностей. Критерий Лапласа позволяет условие неопределœенности сводить к условиям риска. Его называют критерием рациональности, он подходит для стратегических долгосрочных решений, как и описанные выше критерии.

4. Критерий крайнего оптимизма - «верь в удачу».

Максимаксный критерий предполагает, что состояние среды будет наиболее благо­получным, в связи с этим крайне важно выбрать решение, обеспечивающее мак­симальный выигрыш среди максимально возможных.

5 . Критерий пессимизма - оптимизма Гурвица - «компромисс».

Согласно этому критерию при выборе решения в условиях неопреде­ленности не руководствоваться ни крайним пессимизмом (всœегда рассчи­тывай на худшее), ни оптимизмом (всœе будет наилучшим образом). Реко­мендуется некое среднее решение. То есть крайне важно выбирать между двумя линиями поведения. Оптимальным решением будет такое, для которого окажется максимальным показатель G. Этот критерий имеет вид:

G = max [h min а0 + (1 - h )max aij ], (6)

где h - коэффициент, выбираемый экспертно из интервала между 0 и 1. Использование этого коэффициента вносит дополнительный субъ­ективизм в принятие решений.

6. Критерий математического ожидания предназначен для выбо­ра оптимальной стратегии поведения, ᴛ.ᴇ. для принятия серии решений:

7. Обобщенный критерий Гурвица.

Рассмотрим подробнее способы выбора решений в финансово-эконо­мической области в условиях риска, ᴛ.ᴇ. в условиях состояния окружающей среды. Математическая модель ситуаций такого типа принято называть игрой с внешней средой (природой). В игре принимают участие два игрока - лицо, принимающее решение и природа. При этом игрок действует осоз­нанно, стремясь выбрать наиболее удовлетворительное для себя решение, в то время как природа случайным образом проявляет свои состояния объективно, не противодействуя сознательно игроку, без учета возмож­ного выбора игроком своих стратегий и абсолютно безразлично к резуль­тату игры. Далее составляется матрица рисков.

Под ситуацией риска принято понимать, когда можно указать не только возможные последствия (выигрыш) каждой альтернативы, но и вероятности их появления. Основным критерием здесь является математическое ожидание. Остальные имеют подчинœенное значение.

В случае если ни одно из состояний «среды» нельзя назвать более вероятным, чем другие, ᴛ.ᴇ. если всœе они являются приблизительно равновероятными, то решение можно принимать с помощью критерия Лапласа. В этом случае оптимальным нужно считать то решение, которому соответствует наиболь­шая сумма выплат.

Когда два разных критерия предписывают принять одно и то же реше­ние, это считается дополнительным подтверждением его оптимальности. В случае если же они указывают на разные решения, то предпочтение в ситуации риска нужно отдать тому из них, на ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ указывает критерий математи­ческого ожидания. Именно он является основным для данной ситуации.

Дополнительная информация может помочь сделать более удачный вы­бор. Возникает вопрос, какую предельно высокую цену за нее можно запла­тить, чтобы от этого была выгода. Теория решений для ответа на данный вопрос предлагает найти математическое ожидание выплаты, соответству­ющее идеальной информации, а затем сравнить его с математическим ожи­данием, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ можно получить при обычной информации. Разницу между ними и предлагается считать верхним пределом цены любой информации.

В проектах должны предусматриваться специфические механизмы

стабилизации, обеспечивающие защиту интересов участников при неблагоприятном изменении условий реализации проекта (даже если цели проекта достигнуты не полностью или вообще не достигнуты) и предотвращающие возможные действия участников, ставящие под угрозу его успешную реализацию. Возможно снижение степени риска или его перераспределœение между участниками.