Функции денежной единицы основанные на сложном проценте. Основы теории стоимости денег во времени

Сложные проценты применяют в тех случаях, когда процент по кредитам (ссудам) выплачивают не сразу, а его присоединя­ют к сумме долга с последующим определением наращенной суммы FV. Такая процедура начисления «процент на процент» называется капитализацией. Наращение идет по сложному про­центу в геометрической прогрессии, а процесс компаудинга (на­копления) описывается уравнением FV= PV(1+i) n

В свя­зи с этим для расчета процентной суммы используется следую­щая формула:

где i - годовая ставка;

n - количество периодов начисления;

m - число периодов начисления;

n*m - общее число периода начисления.

Когда интервалы между очередными платежами постоянны, то такую последовательность называют финансовой рентой или аннуитетом. Аннуитет (серия равновеликих платежей в течение n-периодов) называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого периода, и авансовым, если платежи осуществ­ляются в начале каждого периода.

Первая функция сложного процента - аккумулированная сум­ма капитала. Мы уже убедились, что в отличие от простого про­цента сложный предполагает, что доход приносит не только пер­воначальная сумма, но и полученный ранее процент на нее. Для определения стоимости, которую будет иметь капитал через не­сколько лет FV при использовании процедуры сложных процен­тов, используют формулу, отражающую процесс аккумулирования (компаундинга), наращения в соответствии с геометрической про­грессией: FV= PV(1+i) n

где FV- аккумулированная (будущая) сумма капитала;

PV - текущая стоимость (стоимость инвестиций в начальный пери­од);

i - ставка процента (например, i = 0,10, т.е. 10%);

n - количество периодов начисления.

Эта формула в финансово-экономических расчетах и опреде­ляет первую функцию сложного процента, а выражение (1+i) n называется множителем (коэффициентом) наращения или буду­щей стоимостью единицы аккумулированного капитала F 1: F 1 =(1+i) n

где F 1 рассчитывается или определяется по таблице сложных процентов.

Таким образом, процесс аккумулирования депонированно­го, или инвестированного, капитала есть процесс накопления денег по заданной ставке i в течение определенного периода времени п.

При более частом, чем один раз в год, аккумулировании фак­тически полученный доход в конце года включает начисленные в году проценты. В связи с этим различают годовую номиналь­ную и годовую фактическую (эффективную) процентные ставки.

Годовая фактическая ставка - это годовая ставка, учитыва­ющая начисленные сложные проценты. Расчет годовой факти­ческой ставки ведется как процентное отношение дохода к ка­питалу в конце года, к величине капитала в начале года; в прак­тике фактическую ставку называют эффективной.

Вторая функция сложного процента - это будущая стоимость п-периодного аннуитета. Рассмотрим серию равновеликих и рав­номерных платежей (вкладов) под процент на определенное ко­личество периодов, при том что в каждом периоде производятся вклады капиталов (РМТ) одной и той же величины (серия вкла­дов - аннуитет). Этот поток платежей и есть аннуитет.

Наращенная сумма ренты (n-периодного аннуитета) пред­ставляет собой сумму всех членов ренты с начисленными на них процентами к концу ее срока.

Аннуитет называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого периода (рента пост- нумерандо), и авансовым, если платежи осуществляются в нача­ле каждого периода (рента пренумерандо).

Наращенная сумма рен­ты n-периодного аннуитета будет равна:

где (1 + i) n – 1/f = F 2 - вторая функция сложного процента.

В финансовых расчетах последнее выражение также называ­ют фактором фонда накопления или будущей стоимостью п- периодного аннуитета с платежом в одну денежную единицу (см. таблицу сложных процентов Инвуда).

В отличие от обычного аннуитета при авансовом аннуитете (пренумерандо) первый платеж осуществляется в начале перво­го периода, т. е. он приносит доход в течение всех n-периодов. Каждый последующий платеж работает на один период меньше, чем предыдущий, наконец, последний платеж приносит доход в течение только одного периода. Как и в случае обычного анну­итета, будущие стоимости каждого платежа образуют геометри­ческую прогрессию со знаменателем (1 + i), а первый член этой прогрессии - РМT(1 + i). Используя формулу расчета суммы и членов геометрической прогрессии, получим:

В этом случае фактор фонда накопления F 2 (будущая сто­имость авансового аннуитета с платежом в одну денежную еди­ницу) будет равен:

Третья функция сложного процента(обратная второй) - фак­тор фонда возмещения капитала. Из второй функции имеем:

Где i/(1+i) n –1 = F 3 - фактор фонда возмещения, третья функция сложного

процента.

Коэффициент F 3 показывает денежную сумму, которую не­обходимо вносить в конце каждого периода для того, чтобы че­рез определенное число периодов остаток на счете составил одну денежную единицу; причем данный фактор учитывает получае­мый по взносам процент.

Можно сравнить фактор фонда накопления F 2 и фактор фонда возмещения F 3 Видно, что функция F 3 при фиксированных n и i есть величина, обратная фактору фонда накопления F 2 т.е.

Сравнивая фактор фонда накопления (будущую стоимость авансового аннуитета с платежом в одну единицу) и фактор аван­сового фонда возмещения, получим соотношение:

Четвертая функция сложного процента (обратная первой) - это текущая стоимость будущего денежного потока, т.е. текущая стоимость денег (инвестиций), PV определится из выражения:

Где 1/ (1+i) n = F 4 - четвертая функция сложного процента, текущая стоимость будущей единицы.

Сравнивая полученную формулу с фактором первой функции, видим:

Процесс пересчета будущей стоимости денежной суммы (по­тока денег); FV в настоящую называется дисконтированием, а ставка, по которой осуществляется дисконтирование, часто на­зывают ставкой дисконта.

C по­мощью функции F. можно ответить на два вопроса:

1. Сколько будет стоить сегодня сумма, которую получит ин­вестор через л-периодов?

2. За сколько нужно купить объект (сколько нужно вложить в объект), чтобы в результате будущей его продажи через n-пе­риодов обеспечить требуемую норму дохода на?

Пятая функция сложного процента - это текущая стоимость аннуитета. Как и предыдущая, данная функция связана с про­цессом дисконтирования. Пятая функция определяет текущую стоимость серии равномерных равновеликих поступлений де­нежных средств в течение n-периодов с учетом заданной суммы. Современная величина потока платежей PV - это сумма всех его членов (аннуитетов), уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на конкретный момент времени. Текущая стоимость может быть обычного аннуитета или аван­сового n-периодного аннуитета

где PV - представляет собой сумму я членов геометрической прогрессии со знаменателем 1/1+i и первым членом PMT/1+c

Отсюда, пользуясь известной формулой суммы членов гео­метрической прогрессии, получим уравнение:

Где1 – (1+i) n / i= F 5 - пятая функция сложного процента, текущая стоимость " обычного аннуитета.

Авансовый аннуитет построен таким образом, что первый пла­теж РМТ 1 в потоке доходов производится немедленно, а последу­ющие платежи - через равные промежутки времени. Так как РМТ 1 производится в начальный момент времени, дисконтировать его не нужно. Последующий же я - 1 платеж и другие дисконтируют­ся с учетом того, что k-й платеж производится через k - 1 перио­дов от начального момента.

В данном случае сумма стоимости всех n-платежей - это

геометрическая прогрессия со знаменателем 1/1+i и первым чле­ном PMT.

Тогда текущая стоимость авансового аннуитета будет равна:

Если РМТ = 1, то получим выражение для фактора текущей стоимости авансового аннуитета F " 5:

Функции F 5 и F " 5 имеют особое значение в статистических расчетах, в оценке инвестиционных проектов, имущества, при­носящего доход.

Шестая функция сложного процента (обратная к 5-й) в прак­тике экономико-финансовых вычислений имеет название ипо­течная постоянная, или размер платежей для покрытия долга. По известной текущей стоимости (размеру кредита) определя­ется размер платежей:

Для PV = 1 получим значение взноса на амортизацию де­нежной единицы - это и есть шестая функция сложного про­цента - F 6 (ипотечная постоянная).

Для обычных взносов (рента постнумерандо) шестая функ­ция имеет вид:

Для авансовых взносов (рента пренумерандо) шестая функ­ция имеет вид:

Каждый равновеликий взнос РМТ включает сумму процент­ных денег I nt и уплату первоначальной суммы PRN - суммы основного долга: РМТ=PRN +I nt

Нужно подчеркнуть, что ипотечная постоянная функция F 6 связана с функцией F 3 следующим образом: F 6 =F 3 +i т.е. ипотечная постоянная - это взнос на амортизацию капита­ла, равный сумме фактора фонда возмещения F 3 и ставки про­цента на капитал i.

Равномерно-аннуитетный метод возврата основных средств (метод Инвуда). Платежи РМТ идут в конце периода равными долями с увели­чивающимися размерами PRN возврата основной суммы долга и с уменьшающимися начислениями процентов i - доходов.

Равномерно-прямолинейный метод (метод Ринга). Чистый операционный доход равномер­но снижается при постоянной норме возврата основного долга PRN, а доход I nt равномерно уменьшается. В отличие от метода Ринга метод Инвуда основан на том, что ипотечная постоянная равна сумме фактора фонда возмещения F 3 и ставки капитализации i.

Шестая функция сложного процента широко применяется в экономическом обосновании лизинговых операций.

Основой финансовой математики являются следующие шесть функций

сложного процента (или шесть функций денег):

1. Будущая стоимость единицы (накопленная сумма единицы) – FV (Future value ).

2. Будущая стоимость аннуитета (накопление единицы за период) – FVA (Future value of an annuity ).

3. Фактор фонда возмещения (периодический взнос в фонд накопления) – SFF (Sinking fund factor ).

4.Текущая стоимость единицы (дисконтирование, реверсия) – PV (Present value ).

5.Текущая стоимость аннуитета – PVA (Present value of annuity ).

6.Взнос на амортизацию единицы – IAO (Installment of amortize one ).

Эти функции используются в различных финансовых расчетах. Рассмотрим каждую из этих функций с точки зрения ее математической формулировки и сферы применения.

Функции наращения

Будущая стоимость денежной единицы (накопленная сумма единицы)

Данная функция позволяет определить будущую стоимость инвестированной денежной единицы, исходя из предполагаемых: ставки дохода (r), срока накопления (n) и периодичности (частоты) начисления процента (m):

FV = PV * (1+ r)n = PV * FМ1(r, n),

где FV – будущая стоимость денег;

PV – текущая стоимость денег;

r – ставка дохода;

n – число периодов накопления.

FМ1(r, n) = (1+ r)n – мультиплицирующий множитель, значения которого рассчитаны для разных значений (r) и (n) и представлены в соответствующих финансовых таблицах. Иногда его обозначают как FVIF (от англ. Future Value Interest Factor – процентный множитель будущей стоимости).

Экономический смысл множителя FМ1(r, n) состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица через (n) периодов при заданной процентной ставке (r). Справедливость формулы очевидна (рисунок 6.7).

Если на депозит положена сумма PV, то через один период начисления эта сумма станет равна:

FV1= PV + PV * r = PV * (1 + r),

через два периода она станет равна:

FV2= FV1+ FV1* r = FV1* (1+ r) = PV (1 + r)2,

FVn= FVn−1 + FVn−1* r = FVn−1* (1+ r) = PV (1 + r)n.

Рисунок 6.7 – Будущая стоимость денежной единицы

Пример. $1000 вложено в банк под 10 % годовых. Какая сумма накопится на счете через 5 лет? 10% переводим в относительные единицы, для этого делим их на 100% и получаем 10% / 100% =0,1.

FV5= 1000 (1+ 0,1)5= 1610,5.

Правило 72-х. Иногда при расчетах приходится сталкиваться с задачей определения количества периодов начисления, по истечении которых первоначально депонированная сумма увеличивается вдвое. Очень просто решить эту задачу позволяет известное «Правило 72-х», согласно которому – количество периодов, необходимое для удвоения первоначальной суммы вычисляется по формуле:

n = 72 / r .

Данное правило позволяет получить точные результаты при значениях r: 3% < r < 18%. Срабатывает правило и в обратном порядке для определения ставки дохода, при которой депонированная сумма удвоится.

Например, при ставке 6% годовых сумма удвоится за 72 / 6 = 12 лет.

Более частое, чем один раз в год, начисление процентов. Приведенные выше расчеты основывались на том предположении, что начисление процентов происходит один раз в год. Однако аккумулирование может происходить не только раз в год, но и чаще, например раз в квартал, раз в месяц и т. д. В этом случае необходимо ставку процента разделить на частоту накопления в течение года (m), а число лет накопления (n) умножить на частоту накопления в течение года (m). Формула расчета будет выглядеть следующим образом:

FV = PV (1 + r/m)n*m,

где m – частота начисления процентов в год;

n – число лет, в течение которых происходит накопление.

Чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма. Приведенное преобразование справедливо в отношении всех шести функций.

6.2.1.2. Будущая стоимость аннуитета (накопление единицы за период)

Данная функция показывает, какой будет стоимость серии равных

платежей величиной (А) по истечении установленного срока их наращения (n) (рисунок 6.8).

Рисунок 6.8 – Будущая стоимость аннуитета постнумерандо

Из рисунка 6.8 видно, что будущая стоимость исходного денежного потока (аннуитета) постнумерандо (FVАpst) может быть оценена как сумма наращенных поступлений.

Очевидно, что будущая стоимость последнего платежа совпадает с величиной самого платежа, т.к. отсутствует период наращения:

Будущая стоимость предпоследнего платежа будет наращена за один период и составит:

Аналогично наращиваются все платежи. Будущая стоимость первого платежа будет наращена за (n-1) периодов и составит:

FVn-1= А·(1+r) n-1.

Их общую сумму можно выразить как:

FVАpst = А·(1+r)n-1+ А·(1+r)n-2+ ...+ А·(1+r) + А

Вынесем (А) за знак скобки и обозначим (1+r) через (q). Получим выражение:

FVА = А·(qn-1+ qn-2+ ...+ q + 1).

Теперь отчетливо видно, что многочлен, содержащийся в скобках, называемый мультиплицирующий множитель и обозначаемый (FМ3(r, n)), представляет собой сумму членов геометрической прогрессии (S), но записанной в обратном порядке:

S = 1 + q + q2… + qn-2+ qn-1

Умножим обе части этого уравнения на (q) и получим:

S·q = q + q2… + qn-1+ qn

Вычтя из полученного уравнения предыдущее, получим:

S·q – S = qn–1.

S = (qn– 1) / (q – 1)

Теперь, подставив вместо (q) его значение (1+r), получаем формулу расчета мультиплицирующего множителя:

FМ3(r, n) = S = ((1+r)n– 1)/r

Следовательно, выражение для будущей стоимости обычного аннуитета величиной (А) за (n)периодов будет иметь вид:

FVАpst = А·FМ3(r, n) = А·((1+r)n– 1)/r).

Данный мультипликатор еще называют - процентный множитель будущей стоимости аннуитета FVIFA(r, n) – Future Value Interest Factor of Annuity. Экономический смысл мультиплицирующего множителя заключается в том, что он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного (на определенный срок) накопленного аннуитета величиной в одну денежную единицу к концу срока его действия.

Поскольку значения множителя (FМ3(r, n)) зависит лишь от (r) и (n), то они рассчитаны для разных значений (r) и (n) и представлены в соответствующих финансовых таблицах.

Пример. Если вкладывать ежегодно $900 на счет в банке под 10% годовых, сколько накопится на нем через 5 лет?

FVА5= 900·((1+0,1)5− 1) / 0,1) = 5494,59

Теперь рассмотрим случая авансового аннуитета (рисунок 6.9).

Как и в случае обычного, рассмотрим накопленные суммы в конце первого, второго... n -го периода:

FV1= А·(1+r) ,

FV2= А·(1+r)2,

…………………………………………….……….

FVn= А· (1+r)n

FVАpre = А·(1+r)n+А·(1+ r)n −1+...+ А·(1+r)2+ А·(1+r).

Рисунок 6.9 – Будущая стоимость авансового аннуитета (пренумерандо)

Сравнив формулы расчета FVАpst и FVАpre, легко убедиться, что

FVАpre = FVАpst (1+ r).

Произведя соответствующее умножение, получим:

FVАpre = FVАpst·(1+ r) = А· ((1+r)n– 1)/r) (1+ r) =

А· ((1+r)n+1– 1 – r)/r) = А· ((1+r)n+1– 1)/r) – 1).

Периодические депозиты могут вноситься чаще, чем один раз в год, соответственно чаще накапливается процент. При этом количество начислений увеличится в m раз и составит (n·m), а ставка уменьшится в m раз и составит (n/m). Тогда ранее полученная формула примет вид:

FVАn= А·(((1+r/m)(n+1)m– 1)/r/m) – 1).

Чем чаще делаются взносы, тем больше накопленная сумма.

Пример. Если вкладывать ежемесячно $75 на счет в банке под 10 % годовых, сколько накопится на нем через 5 лет?

FVА5= 75 (((1+0,1/12) 5·12– 1) / 0,1/12 = 5807,78.

Фактор фонда возмещения

Данная функция позволяет рассчитать величину периодического платежа (А или SFF, как его в таком случае называют), необходимого для накопления нужной суммы (FVА) по истечении (n)платежных периодов при заданной ставке процента (r) (рисунок 6.10).

Рисунок 6.10 – Периодический взнос в фонд накопления

Из формулы будущей стоимости аннуитета (FVА = А·FМ3(r, n)) следует, что величина каждого платежа (SFF или А) в случае обычного аннуитета вычисляется следующим образом:

SFFpst = Аpst = FVА / FМ3(r, n) = FVА·r/((1 + r)n− 1) = FVА·FМ5(r, n) .

где FМ5(r, n) = r/((1 + r)n− 1) – мультиплицирующий множитель, значения которого рассчитаны для разных значений (r) и (n) и представлены в соответствующих финансовых таблицах.

Экономический смысл множителя FМ5(r, n) состоит в том, что он показывает величину периодических платежей необходимых для накопления одной денежной единицы через (n) периодов.

Пример. Необходимо за 4 года скопить $1000 при ставке банка 10%. Сколько придется вкладывать каждый год?

SFF = 1000 (0,1 / ((1 + 0,1)4− 1) = 215,47.

В случае авансового фонда возмещения (соответствующего авансовому аннуитету) формула единичного платежа (SFFpre) имеет вид:

SFFpre = FVА·r/((1 + r)(n+1)− 1− r).

Функции дисконтирования

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 Шесть функций сложного процента это не так уж сложно! Вольнова Вера Александровна сертифицированный РОО оценщик недвижимости оценщик TEGoVA

2 Теория ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ PV текущая стоимость (present value) FV - будущая стоимость (future value) PMT- платёж, взнос, выплата (payment) n - число периодов (год) i - ставка процента за период (годовая) k кол. начислений за период (в год) Аннуитет - серия равномерных равновеликих платежей Самоамортизирующийся кредит погашение производится равными по сумме платежами весь срок кредитования и включает часть долга и начисленные проценты При платежах раз в период и ставке за период (i) (n) При годовых платежах и годовой ставке (k=1) (i = i) (n = n) При ежемесячных платежах и годовой ставке (k=12) (i = i/k) (n = nk) 2

3 Теория СХЕМА ШЕСТИ ФУНКЦИЙ 3

4 Теория ПОЧЕМУ ФУНКЦИЙ ШЕСТЬ? 4

5 Теория ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 1. Будущая стоимость единицы (сложный процент; сколько будет стоить то, что есть сегодня) FV = PV (1+i) n 4. Текущая стоимость единицы (дисконтирование; сколько стоит сегодня то, что получим в будущем) функция, обратная первой Годовое или ежемесячное начисление процентов 5

6 Теория ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 2. Будущая стоимость аннуитета (накопление единицы за период; накопление единицы за n периодов) (сколько получим в будущем, если вкладывать по 1 в каждый период) 2.1. (обычного) если платежи в конце каждого года (i = i) (n = n) 2.2. (авансового) если платежи в начале каждого года (i = i) (n = n+1) (-1) Годовое или ежемесячное начисление процентов 6

7 Фактор фонда возмещения (сколько платить, чтобы получить 1) Теория ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 3. Фактор фонда возмещения (периодический взнос на накопление фонда; сколько платить в каждый период, чтобы накопить известную сумму) функция, обратная второй 5. Текущая стоимость аннуитета (текущая стоимость единичного аннуитета; сколько сегодня стоит серия будущих выплат в каждый период) 5.1. (обычного) если платежи в конце каждого периода (i = i) (n = n) 5.2. (авансового) если платежи в начале каждого периода (i = i) (n = n-1) (+1) Годовое или ежемесячное начисление процентов 7

8 Теория ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 6. Взнос за амортизацию единицы (периодический взнос на погашение кредита; какова величина платежей в каждый период для погашения взятой суммы) функция, обратная пятой При годовой ставке и годовых платежах (n = n) (i = i) При годовой ставке и ежемесячных платежах (n = nk) (i = i/k) 8

9 Теория КАК ЗАПОМНИТЬ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 9

10 Теория ТЕСТОВЫЕ ВОПРОСЫ 1. Для сравнения ценности двух денежных потоков, различающихся по величине, периоду существования и процентной ставке, необходимо рассчитать: А. суммарную текущую стоимость. Б. суммарную будущую стоимость. 2. Если условия накопления заданы годовой процентной ставкой, сроком, выраженным в годах и периодичностью начисления процентов более частой, чем один раз в год, необходимо скорректировать: А. число периодов накопления. Б. ставку дохода. В. оба параметра. 3. Утверждение о том, что функция «Периодический взнос на накопление фонда» и «Периодический взнос на погашение кредита» находятся в обратной зависимости: А. верно. Б. неверно. 10

11 Таблица 6 функций сложного процента ЕЖЕГОДНЫЕ НАЧИСЛЕНИЯ % 11

12 Таблица 6 функций сложного процента ЕЖЕМЕСЯЧНЫЕ НАЧИСЛЕНИЯ % 12

13 Таблица 6 функций сложного процента ЕЖЕГОДНЫЕ НАЧИСЛЕНИЯ % ЕЖЕМЕСЯЧНЫЕ НАЧИСЛЕНИЯ % Колонка 1. Будущая стоимость единицы Показывает рост 1 де., положенной на депозит, при накоплении процента. Процент начисляется на сумму первоначального депозита и ранее полученного процента. Колонка 4. Текущая стоимость единицы Показывает сегодняшнюю стоимость 1 де, которая должна быть получена единовременно в будущем. Данный фактор является обратным по отношению к величине в колонке 1. Колонка 2. Накопление единицы за период Показывает рост сберегательного счета, на который в конце каждого периода вносится 1 де. Деньги на депозите в течение периода приносят процент. 13

14 Таблица 6 функций сложного процента ЕЖЕГОДНЫЕ НАЧИСЛЕНИЯ % ЕЖЕМЕСЯЧНЫЕ НАЧИСЛЕНИЯ % Колонка 3. Фактор фонда возмещения Показывает сумму равновеликого периодического взноса, который вместе с процентом необходим для того, чтобы к концу определенного числа периодов накопить 1 де. Каждая периодическая сумма вносится в конце каждого периода. Данный фактор является обратным по отношению к величине в колонке 2. Колонка 5. Текущая стоимость единичного (обычного) аннуитета Показывает сегодняшнюю стоимость равномерного потока доходов. Первое поступление в рамках данного потока происходит в конце первого периода; последующие поступления в конце каждого последующего периода. Колонка 6. Взнос на амортизацию единицы Показывает равновеликий периодический платеж, необходимый для полной амортизации кредита, по которому выплачивается процент. Данный фактор является обратным по отношению к величине в колонке 5. Взнос на амортизацию 1 иногда называется ипотечной постоянной. 14

15 Таблица 6 функций сложного процента АЛГОРИТМ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТАБЛИЦ Выбрать таблицу ежегодного или ежемесячного накопления. 2. Найти страницу с соответствующей ставкой процента. 3. Найти колонку, соответствующую определяемому фактору. 4. Найти число лет слева или число периодов справа. 5. Пересечение колонки и ряда (периоды) дает фактор. 6. Умножить фактор на соответствующую основную сумму или депозит. При ежегодном: от 6% до 30% от 1 года до 40 лет При ежемесячном: от 8% до 15% от 1 мес. до 360 мес. (30 лет) 15

16 ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТАБЛИЦ 1. До какой суммы вырастет вклад 1 де. за 5 лет под 10% годовых, при ежегодном начислении процентов.? 2. До какой суммы вырастет вклад 1 де. за 5 лет под 10% годовых, при ежемесячном начислении процентов? Таблица 6 функций сложного процента 16

17 Таблица 6 функций сложного процента ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТАБЛИЦ (решение) 1. До какой суммы вырастет вклад 1 де. за 5 лет под 10% годовых, при ежегодном начислении процентов? FV -? PV = 1; i = 10%; n = 5лет; k =1 По таб. (колонка 1, годовое): будущая стоимость единицы под 10% -5 лет = 1,61 1*f = 1* 1,61 = 1,61 де. 2. До какой суммы вырастет вклад 1 де. за 5 лет под 10% годовых, при ежемесячном начислении процентов? FV -? PV = 1; i = 10%; n = 5лет; k =12 (n*k = 5*12 = 60) По таб. (колонка 1 ежемес.): будущая стоимость единицы под 10% -5 лет = 1,6453 1*f = 1* 1,65 = 1,65 де. 17

18 ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТАБЛИЦ 3. Какую сумму можно накопить, если откладывать в начале периода по 1 де. за 4 года под 10% годовых, при ежегодном начислении процентов? FV -? РМТ = 1; i = 10%; n = 4года; k =1 Таблица 6 функций сложного процента По таб. (колонка 2, годовое): будущая стоимость единицы под 10% -4+1лет = 6,1 1*f = 1* (6,1-1) = 5,1 де. 18

19 Теория ТЕСТОВЫЕ ВОПРОСЫ 1. Если денежный поток возникает через разные интервалы, таблицы сложного процента использовать: А. целесообразно. Б. нецелесообразно. 2. Использование таблиц сложного процента требует корректировки, если денежный поток возникает: А. в конце периода. Б. в начале периода. 3. Для определения текущей стоимости известной в будущем суммы, необходимо: А. определенный по таблице фактор «Текущая стоимость единицы» поделить на известную в будущем сумму. Б. определенный по таблице фактор «Текущая стоимость единицы» умножить на известную в будущем сумму. В. известную в будущем сумму поделить на определенный по таблице фактор «Текущая стоимость единицы». 19

20 Типовые задачи Группа Доходный подход 6 функций денежной единицы Определяемые величины 1. Первая функция Будущая стоимость единицы (накопленная сумма единицы; накопление единицы за период; будущая стоимость известной суммы) 1. накопленная за период сумма 2. до какой величины вырастет вклад 3. предельная стоимость объекта 4. какова нарощенная сумма, подлежащая возврату 4. Четвертая функция Текущая стоимость единицы (текущая стоимость будущей известной суммы) 1.стоимость объекта, покупка которого обойдется в Х 2.какую сумму положить, чтобы накопить Х 3. какая цена, оплаченная сегодня, позволит получить доход Х% 2. Вторая функция Будущая стоимость аннуитета (накопление единицы за период; накопление единицы за n периодов; будущая стоимость серии платежей) 1. сумма, накопленная путем периодических платежей (вкладов) 2. предельная стоимость объекта при депонировании в каждый период 3. сумма, накопленная собственником через n лет от аренды объекта 20

21 Типовые задачи Группа Доходный подход 6 функций денежной единицы Определяемые величины 3. Третья функция Фактор фонда возмещения (величина платежа при известной будущей стоимости) 1. сколько нужно откладывать, чтобы накопить на покупку объекта 2. сколько нужно откладывать, чтобы через n лет заменить элемент 3. какую сумму получать с арендатора, чтобы накопить на объект 5. Пятая функция Текущая стоимость единичного аннуитета (накопление суммы за n периодов; текущая стоимость известной серии платежей) 1. право получения рентного дохода с объекта 2. сколько стоил объект в рассрочку, если известен ежегодный взнос 3. какую сумму положить, чтобы получать ежегодно опр. платеж 6. Шестая функция Взнос за амортизацию единицы (величина необходимых платежей, которая оплатит возврат инвестиций и процентов; величина платежа для погашения известной текущей суммы) 1. ежегодный взнос для оплаты купленной сегодня квартиры 2. ежегодный взнос для возврата взятого кредита 3. какую сумму снимать со счета, если известно, сколько было положено 21

22 Типовые задачи Группа Доходный подход 6 функций денежной единицы Определяемые величины Задачи на две функции 1. Какую сумму ежегодно вносить, чтобы накопить средства, размер которых сегодня известен 2. Хватит ли средств на объект, цена которого известна сегодня, если вносить определенные платежи 3. Сколько стоит объект, приносящий одинаковый ежегодный доход, который затем будет продан 4. За какую сумму продать этот объект в настоящее время, если известен ежегодный доход от него 5. Какова текущая стоимость потока арендных платежей 22

23 Первая функция 1. Какая сумма будет накоплена через 4 года, если норма доходности 12% годовых, а первоначально отложено руб.? 2. Вы положили в Банк 100 денежных единиц на 5 лет при ежегодном начислении процентов по 10 % ставке. Сколько денег вы снимете со счета через 5 лет? 3. Квартира продана за 400 де, деньги приносят 15% годового дохода. Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет? 4. Получен кредит 150 млн. руб. сроком на 2 года, под 15% годовых; начисление % происходит ежеквартально. Определить наращенную сумму, подлежащую возврату. 23

24 Первая функция 1. Какая сумма будет накоплена через 4 года, если норма доходности 12% годовых, а первоначально отложено руб.? Формула расчета: FV = PV (1+i) n FV -? PV = i = 12% n = 4 k =1 FV = * (1+0,12) 4 = *1,12 4 = *1,574 = руб. По таб: будущая стоимость единицы (1кол.) под 12% - 4 года = 1, *f = * 1,574 = руб. 24

25 Первая функция 2. Вы положили в Банк 100 денежных единиц на 5 лет при ежегодном начислении процентов по 10 % ставке. Сколько денег вы снимете со счета через 5 лет? Формула расчета: FV = PV (1+i) n FV -? PV = 100 i = 10% n = 5 k =1 FV = 100*(1+0,1) 5 = 100*1,1 5 = 161 де или: По таб. (1кол.) будущая стоимость единицы под 10% -5 лет = 1, *f = 100* 1,61 = 161де 25

26 Первая функция 3. Квартира продана за 400 де, деньги приносят 15% годового дохода. Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет? Формула расчета: FV = PV (1+i) n FV -? PV = 400 i = 15% n = 10 k =1 FV = 400*(1+0,15) 10 = 400*1,15 10 = 400*4,046 = 1 618,4 де или: По таб: будущая стоимость единицы под 15% -10 лет = 4, *f = 400* 4,04556 = 1 618,22 де 26

27 Первая функция 4. Получен кредит 150 млн. руб. сроком на 2 года, под 15% годовых; начисление % происходит ежеквартально. Определить наращенную сумму, подлежащую возврату. Формула расчета: FV = PV (1+i/k) n*k FV -? PV = 150 i = 15% n = 2 k = 4 i/k = 0,15/4 = 0,0375 n*k = 2*4 = 8 FV = 150*(1+0,0375) 8 = 150*1, = 150*1,342 = 201,3 млн. руб. 27

28 Четвертая функция 1. Рассчитать стоимость квартиры, для покупки которой через 5 лет понадобится 500 де при условии, что деньги приносят доход 15% годовых. 2. Какую сумму необходимо положить на 3 года под 10% годовых, чтобы получить де? 3. Инвестор планирует, что через 4 года стоимость объекта составит 2000 де. Какую цену необходимо уплатить сегодня, если ставка дохода на данном рынке составляет 11%? 4. Какова текущая стоимость де., полученных в конце третьего года при 10% годовых при ежемесячном начислении процента? 28

29 Четвертая функция 1. Рассчитать стоимость квартиры, для покупки которой через 5 лет понадобится 500 де при условии, что деньги приносят доход 15% годовых. Формула расчета: PV -? FV = 500 i = 15% n = 5 k = 1 PV= 500 * 1/(1+0,15) 5 = 500* 1/1,15 5 = 500*1/2,011 = 500*0,497 = 248,5 де или: По таб: текущая стоимость единицы под 15% -5 лет = 4, *f = 500* 0,497 = 248,5 де 29

30 Четвертая функция 2. Какую сумму необходимо положить на 3 года под 10% годовых, чтобы получить де? Формула расчета: PV -? FV = 1000 i = 10% n = 3 k = 1 PV= * 1/(1+0,1) 3 = 1 000* 1/1,1 3 = 1 000* 1/1,331 = 1000 *0,751 = 751де или: По таб: текущая стоимость единицы под 10% -3 года = 0, *f = 1000* 0,751 = 751 де 30

31 Четвертая функция 3. Инвестор планирует, что через 4 года стоимость объекта составит 2000 де. Какую цену за объект необходимо уплатить сегодня, если ставка дохода на данном рынке составляет 11%? Формула расчета: PV -? FV = 2000 i = 11% n = 4 k = 1 PV = * 1/(1+0,11) 4 = 2 000* 1/1,11 4 = 2 000* 1/1,518 = *0,659 = 1 318де или: По таб: текущая стоимость единицы под 11% -4 года = 0, *f = 2 000* 0,659 = де 31

32 Четвертая функция 4. Какова текущая стоимость де., полученных в конце третьего года при 10% годовых при ежемесячном начислении процента? Формула расчета: PV = FV PV -? FV = 1000 i = 10% n = 3 k = 12 i/k = 0,10/12 = 0,00834 n*k = 3*12 = 36 PV = * 1/(1+0,00834) 36 = 1 000* 1/1, = 1 000* 1/1,349 = *0,742 = 742де или: По таб: текущая стоимость единицы под 10% -3 года (ежемесячно) = 0, *f = 1 000* 0,741 = 742 де 32

33 Вторая функция 1. Чтобы заработать себе на пенсию Вы решили откладывать в банк в конце года по 100 уе. Сколько денег Вы снимете со счета через 5 лет, если банк начисляет 10 % ежегодно? 2. Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет, если ежегодно откладывать по 400 де. под 15% годовых? 3. Собственник сдает в аренду недвижимость, получая в конце каждого года 1000 уе. Доходность аналогичных объектов составляет 12%. Какую сумму накопит собственник через 4 года? 4. Определить будущую стоимость регулярных ежемесячных платежей величиной по 10 тыс.де. в течение 4 лет при ставке 12% и ежемесячном накоплении. 33

34 Вторая функция 1. Чтобы заработать себе на пенсию Вы решили откладывать в банк в конце года по 100 уе. Сколько денег Вы снимете со счета через 5 лет, если банк начисляет 10 % ежегодно? Формула расчета: FV -? РМТ = 100 i = 10% n = 5 k = 1 FV = 100* (1,1 5-1)/0,10 = 100*(1,61-1)/0,10 = 100*6,1 = 610 уе. или: По таб: будущая стоимость аннуитета под 10% -5 лет = 6, *f = 100* 6,10 = 610 уе. 34

35 Вторая функция 2. Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет, если ежегодно откладывать по 400 де. под 15% годовых? Формула расчета: FV -? РМТ = 400 i = 15% n = 10 k = 1 FV = 400*(1,)/0,15 = 400*(4,046-1)/0,15 = 400*20,307 = 8 122,8 де. или: По таб: будущая стоимость аннуитета под 15% -10 лет = 20, *f = 400* 20,304 = 8 122,2 де. 35

36 Вторая функция 3. Собственник сдает в аренду недвижимость, получая в конце каждого года 1000 уе. Доходность аналогичных объектов составляет 12%. Какую сумму накопит собственник через 4 года? Формула расчета: FV -? РМТ 1000 i = 12% n = 4 k = 1 FV = 1000*(1,12 4-1)/0,12 = 1000*(1,574-1)/0,12 = 1000*4,78 = 4 780уе. или: По таб: будущая стоимость аннуитета под 12% - 4 года = 4, *f = 1000* 4,779 = 4779 уе 36

37 Вторая функция 4. Определить будущую стоимость регулярных ежемесячных платежей величиной по 10 тыс.де. в течение 4 лет при ставке 12% и ежемесячном накоплении. Формула расчета: FV -? РМТ = 10 i = 12% n = 4 k = 12 i/k = 0,12/12 = 0,01 n*k = 4*12 = 48 FV = 10*(1,)/0,01 = 10*(1,612-1)/0,01 = 10*0,612/0,01 = 10*61,2 = 612 тыс.де. или: По таб: будущая стоимость аннуитета под 12% - 4 года = 61,222 10*f = 10* 61,222 = 612,2 тыс.де 37

38 Третья функция 1. Рассчитать ежегодный взнос под 15% годовых для покупки через 10 лет квартиры за 500 де. 2. Какую одинаковую сумму необходимо ежегодно откладывать в фонд, приносящий 10% годового дохода, чтобы через 10 лет осуществить замену кровли на сумму 150 тыс. руб.? 3. Вы взяли в долг 1 млн. уе. на 5 лет под 10% годовых, каждый год Вы платите только %. Какую сумму вы должны депонировать в конце каждого года, чтобы накопить миллион? 4. Вы хотите купить загородный дом. Ориентировочная стоимость будущей покупки- 70 тыс. уе. Сколько необходимо ежемесячно депонировать в банк под 10% годовых из заработной платы (в конце месяца), чтобы через 3 года эта мечта осуществилась? 38

39 Третья функция 1. Рассчитать ежегодный взнос под 15% годовых для покупки через 10 лет квартиры за 500 де. Формула расчета: РМТ -? FV = 500 i = 15% n = 10 k = 1 РМТ = 500 * (0,15/1,) = 500*(0,15/3,045)=500*0,049 = 24,5 де. или: По таб: фактор фонда возмещения под 15% - 10 лет = 0, *f = 500* 0,049 = 24,5 де. 39

40 Третья функция 2. Какую одинаковую сумму необходимо ежегодно откладывать в фонд, приносящий 10% годового дохода, чтобы через 10 лет осуществить замену кровли на сумму 150 тыс. руб.? Формула расчета: РМТ -? FV = 150 i = 10% n = 10 k = 1 РМТ = 150 * (0,10/1,1 10-1) = 150 *(0,10/1,593) = 150 *0,0628 = руб. или: По таб: фактор фонда возмещения под 10% - 10 лет = 0, *f = 150 * 0,0628 = руб. 40

41 Третья функция 3. Какую сумму желательно получать с арендатора, чтобы накопить на объект, который через 5 лет будет стоить 1 млн. уе., при ставке депозита 10% годовых? Формула расчета: РМТ -? FV = 1 i = 10% n = 5 k = 1 РМТ = 1 * (0,10/1,10 5-1) = 1*(0,10/0,610) = 1*0,164 = уе. или: По таб: фактор фонда возмещения под 10% - 5 лет = 0,164 1 *f = * 0,164 = уе. 41

42 Третья функция 4. Вы хотите купить загородный дом. Ориентировочная стоимость будущей покупки - 70 тыс. де. Сколько необходимо ежемесячно депонировать в банк под 10% годовых из заработной платы (в конце месяца), чтобы через 3 года эта мечта осуществилась? Формула расчета: РМТ -? FV = 70 i = 10% n = 3 k = 12 i/k = 0,10/12 = 0,0083 n*k =3*12 = 36 РМТ = 70 * 0,0083/(1+0,0083) 36-1 = 70*0,0083/1, = = 70 * 0,0083/0,347 = 70*0,0239 = 1,673 тыс.де. или: По таб: фактор фонда возмещения под 10% - 3 года (ежемесчно) = 0, *f = 70* 0,0239 = 1,673тыс.де. 42

43 Пятая функция 1. У Вас есть право получать с недвижимости в течении 5 лет каждый год в конце года 1 млн. руб. чистой прибыли в виде рентного дохода. Сколько стоит это право сегодня, при условии что норма прибыли (ставка дисконтирования) 10%? 2. Сколько стоила квартира, купленная в рассрочку на 10 лет под 13% годовых, если ежегодный взнос составляет 1000 де.? 3. Какую сумму следует положить в настоящее время в банк, начисляющий 8% годовых, чтобы затем, в течение 5 лет в конце года снимать по 25 тыс. руб.? 4. Определить величину кредита, если известно что в его погашение ежемесячно выплачивается по 3 тыс.де в течение 4 лет при ставке 10% годовых. 43

44 Пятая функция 1. У Вас есть право получать с недвижимости в течении 5 лет каждый год в конце года 1 млн. руб. чистой прибыли в виде рентного дохода. Сколько стоит это право сегодня, при условии что норма прибыли (ставка дисконтирования) 10%? Формула расчета: РV -? РМТ = 1 i = 10% n = 5 k = 1 PV = 1 * (1-1/1,10 5)/0,10 = 1* (1-1/1,61)/0,10 = 1*(1-0,62)/0,10 = 1*(0,38/0,10) = 1*3,8 = 3,8 млн. руб. или: По таб: текущая стоимость единичного аннуитета под 10% - 5 лет = 3,79 1 *f = 1 * 3,79 = 3,79 млн. руб. 44

45 Пятая функция 2. Сколько стоила квартира, купленная в рассрочку на 10 лет под 13% годовых, если ежегодный взнос составляет 1000 де.? Формула расчета: РV -? РМТ = 1000 i = 13% n = 10 k = 1 PV = 1000 * (1-1/1,13 10) / 0,13 = 1000 * (1-0,294)/0,13 = 1000*(0,706/0,13) = 1000*5,43 = де. или: По таб: текущая стоимость единичного аннуитета под 13% - 10 лет = 5, *f = 1000 * 5,426 = де. 45

46 Пятая функция 3. Какую сумму следует положить в настоящее время в банк, начисляющий 8% годовых, чтобы затем, в течение 5 лет в конце года снимать по 25 тыс. руб.? Формула расчета: РV -? РМТ = 25 i = 8% n = 5 k = 1 PV = 25 * (1-1/1,08 5)/0,08 = 25*(1-0,681)/0,08 = 25* (0,319/0,08) = 25*3,988 = 99,7 тыс. руб. или: По таб: текущая стоимость единичного аннуитета под 8% - 5 лет = 3,99 25 *f = 25* 3,99 = 99,75 тыс.руб. 46

47 Пятая функция 4. Определить величину кредита, если известно что в его погашение ежемесячно выплачивается по 3 тыс.де в течение 4 лет при ставке 10% годовых. Формула расчета: РV -? РМТ = 3 i = 10% n = 4 k = 12 i/k = 0,10/12 = 0,0083 n*k =4*12 = 48 PV = 3 * 1-(1/1,)/0,0083 = 3*1-(1/1,48)/0,08 = 3* (1-0,672/0,0083) = 3* 0,328/0,0083 = 3* 39,518 = 118,554 тыс. де. или: По таб (5 столбец) : текущая стоимость единичного аннуитета под 10% - 4 года (ежемесячно) = 39,428 3 *f = 3* 39,428 = 118,284 тыс.де. 47

48 Шестая функция 1. Рассчитать ежегодный взнос для оплаты квартиры, купленной в рассрочку за 500 де на 10 лет под 15% годовых 2. Какую сумму необходимо ежегодно выплачивать для погашения кредита, взятого для покупки квартиры стоимостью 30 тыс. уе под 10% годовых, взятого на 20 лет? 3. Какую сумму можно ежегодно в течение 5 лет снимать со счета, на который начисляется 7% годовых, если первоначальный вклад равен 850 тыс. руб., при условии, что снимаемые суммы равны? 4. Какими должны быть ежемесячные выплаты по самоамортизирующемуся кредиту в 20 тыс.де, предоставленному на 5 лет при номинальной годовой ставке 10%? выплачивается по 3 тыс.де в течение 4 лет при ставке 10% годовых. 48

49 Шестая функция 1. Рассчитать ежегодный взнос для оплаты квартиры, купленной в рассрочку за 500 де на 10 лет под 15% годовых Формула расчета: РМТ -? РV = 500 i = 15% n = 10 k = 1 РМТ = 500 * 0,15/1-(1/1,15 10) = 500 * 0,15/1-0,247 = 500*0,15/0,753 = 500*0,199 = 99,5 де. или: По таб: взнос за амортизацию единицы под 15% - 10 лет = 0, *f = 500* 0,199 = 99,5 де. 49

50 Шестая функция 2. Какую сумму необходимо ежегодно выплачивать для погашения кредита, взятого для покупки квартиры стоимостью 30 тыс. уе. под 10% годовых, взятого на 20 лет? Формула расчета: РМТ -? РV = 30 i = 10% n = 20 k = 1 РМТ = 30 * 0,10/1- (1/1,1 20) = 30*0,10/(1-0,148) = 30*0,10/0,852 = 30*0,117 = 3,51 тыс. уе. или: По таб: взнос за амортизацию единицы под 10% - 20 лет = 0,0, *f = 30* 0,117 = 3,51 тыс. уе. 50

51 Шестая функция 3. Какую сумму можно ежегодно в течение 5 лет снимать со счета, на который начисляется 7% годовых, если первоначальный вклад равен 850 тыс. руб., при условии, что снимаемые суммы равны? Формула расчета: РМТ -? РV = 850 i = 7% n = 5 k = 1 РМТ = 850* 0,07/ 1-(1/1,07 5) = 850*0,07/ 1-0,713 = 850*0,07/0,287 = 850*0,243 = 206,55 тыс. руб. или: По таб: взнос за амортизацию единицы под 7% - 5 лет = 0,0, *f = 850* 0,243 = 206,55 тыс. руб. 51

52 Шестая функция 4. Какими должны быть ежемесячные выплаты по самоамортизирующемуся кредиту в 20 тыс.де, предоставленному на 5 лет при номинальной годовой ставке 10%? Формула расчета: РМТ -? РV = 20 i = 10% n = 5 k = 12 i/k = 0,10/12 = 0,0083 n*k =5*12 = 60 РМТ = 20* 0,0083/ 1-(1/1,)= 20*0,0083/ 1-1/1,642 = 20*0,0083/1-0,609 = 20*0,0083/0,391 = 20* 0,021 = 0,42 тыс. де. или: По таб (столб. 6): взнос за амортизацию единицы под 10% - 5 лет (ежемесячно)= 0, *f = 20* 0,021 = 0,42 тыс. де. 52

53 Две функции 1. Владельцы кондоминиума планируют сменить покрытие крыши через 10 лет. Сегодня это обходиться в руб. Ожидается, что данная операция будет дорожать на 12 % в год (по сложному проценту). Какую сумму им следует вносить в конце каждого года на счет, приносящий 10 %, чтобы к указанному времени иметь достаточно средств на замену крыши? 2. Супруги планируют совершить длительное турне через 5 лет. В настоящий момент такое турне обошлось бы в де. Стоимость путешествия ежегодно дорожает на 10 %(по сложному проценту). Хватит ли средств супругам на запланированное турне, если они будут в конце каждого года вносить 1 920де на счет, приносящий 12 % годовых? 3. Владелец автостоянки предполагает в течение 6 лет получать ежегодный доход от аренды по 60 тыс. де. В конце 6 года автостоянка будет перепродана за тыс. де. Ставка дисконта от дохода 15%, от перепродажи 12%. Рассчитать текущую стоимость объекта. 4. Сданная в аренду недвижимость в течение 3 лет приносит в конце каждого года по 10 тыс. де. В течение следующих 2 лет ежегодный доход составит 12 тыс. де. Ожидаемая годовая доходность 15%. Через 5 лет предполагается, что недвижимость будет продана за 200 тыс. де. За какую сумму целесообразно продать этот объект в настоящее время? 53

54 Две функции 1. Владельцы кондоминиума планируют сменить покрытие крыши через 10 лет. Сегодня это обходиться в руб. Ожидается, что данная операция будет дорожать на 12 % в год (по сложному проценту). Какую сумму им следует вносить в конце каждого года на счет, приносящий 10 %, чтобы к указанному времени иметь достаточно средств на замену крыши? Алгоритм расчета 1. Определить будущую стоимость покрытия (известна текущая) 2. Определить платеж (известна будущая стоимость) 54

55 Две функции 1. Задача 1 действие: Будущая стоимость единицы (1ф) FV = * (1+0,12) 10 = *1,12 10 = * 3,106 = руб. 2 действие: Фактор фонда возмещения (3ф) РМТ = *(0,10/(1,1 10-1) = * 0,10/(2,59-1) = *0,10/1,59 = *0,063 = руб. Или: По таб. 1 ст: будущая ст.единицы под 12% на 10 лет = 3,106 По таб. 3 ст.: фактор фонда возм. под 10% на 10 лет = 0,063 55

56 Две функции 2. Супруги планируют совершить длительное турне через 5 лет. В настоящий момент такое турне обошлось бы в де. Стоимость путешествия ежегодно дорожает на 10 %(по сложному проценту). Хватит ли средств супругам на запланированное турне, если они будут в конце каждого года вносить 1 920де на счет, приносящий 12 % годовых? Алгоритм расчета 1. Определить будущую стоимость круиза (известна текущая) Будущая стоимость единицы 2. Определить будущую стоимость платежей (известен платеж) Будущая стоимость аннуитета 3. Сравнить будущую и накопленную суммы 56

57 Две функции 2. Задача 1 действие Будущая стоимость единицы (1ф) FV = * (1+0,10) 5 = *1,1 5 = * 1,61 = де 2 действие Будущая стоимость платежей (2ф) FV = 1 920* (1,12 5-1)/0,12 = 1 920*(1,762-1)/0,12 = 1 920*0,762/0,12 = 1 920*6,35 = де. 3 действие Треб де. Накоплено де средств не хватит 57

58 Две функции 3. Владелец автостоянки предполагает в течение 6 лет получать ежегодный доход от аренды по 60 тыс. де. В конце 6 года автостоянка будет перепродана за тыс. де. Ставка дисконта от дохода 15%, от перепродажи 12%. Рассчитать текущую стоимость объекта. Алгоритм расчета 1. Определить текущую стоимость платежей (платеж известен) Текущая стоимость платежей 2. Определить текущую стоимость продажи (будущая известна) Текущая стоимость будущей единицы 3. Суммировать текущие стоимости 58

59 Две функции 3. Задача 1 действие Текущая стоимость платежей (5ф) PV = 60* (1-1/1,15 6)/0,15 = 60*(1-1/2,313)/0,15 = 60*(1-0,432)/0,15 = 60*0,568/0,1 = 60*3,786 = 227,16 тыс. де. 2 действие Текущая стоимость будущей единицы (4ф) PV = 1350*(1/1,12 6) = 1350*1/1,97 = 1350*0,507 = 685,8 тыс.де. 3 действие Сумма текущих стоимостей 227,8 = 912,96 тыс.де 59

60 Две функции 4. Сданная в аренду недвижимость в течение 3 лет приносит в конце каждого года по 10 тыс. де. В течение следующих 2 лет ежегодный доход составит 12 тыс. де. Ожидаемая годовая доходность 15%. Через 5 лет предполагается, что недвижимость будет продана за 200 тыс. де. За какую сумму целесообразно продать этот объект в настоящее время? Алгоритм расчета 1. Сформировать потоки дохода по периодам РМТn 2. Определить номер периода n 3. Определить ставку дисконта (общая норма доходности) i 4. Рассчитать дисконтный множитель Kd 5. Рассчитать текущую стоимость по каждому периоду PVn и суммировать 6. Рассчитать текущую стоимость продажи объекта (реверсия) PV P 7. Рассчитать рыночную стоимость объекта в настоящее время путем суммирования потока доходов и стоимости реверсии. 60

61 Две функции 4. Задача Рыночная стоимость объекта составляет 135,050 тыс. де. 61

62 Две функции 5. Годовой арендный платеж первые 2 года составляет 100 тыс. руб., затем он уменьшается на 30 тыс. руб. и сохраняется в течение 2 лет, после чего возрастает на 50 тыс. руб. и будет поступать еще 2 года. Ставка дисконтирования i = 15%, платежи поступают в конце каждого года. Какова текущая стоимость потока арендных платежей? Алгоритм расчета 1. Сформировать потоки дохода по периодам (РМТ) 2. Определить номер периода (n) 3. Определить коэффициент дисконтирования (дисконтный множитель) (Kdn) 4. Рассчитать текущую стоимость дохода каждого периода (PVn) как произведение: PVn * Kdn 5. Рассчитать текущую стоимость арендных платежей путем суммирования результата по периодам (PVn * Kdn) 62

63 УСПЕХОВ ПРИ СДАЧЕ КВАЛИФИКАЦИОННОГО ЭКЗАМЕНА ПО НАПРАВЛЕНИЮ ОЦЕНКА НЕДВИЖИМОГО ИМУЩЕСТВА! +7 (383)

Приложение 2. Таблицы шести функций сложного процента. Таблицы шести функций, предложенные в данном разделе, могут быть использованы для решения широкого круга задач, предполагающих проведение расчетов

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Финансовая математика Прибыль и рентабельность (доходность) В результате инвестиций происходит наращение вложенной суммы и образуется доход который удобно измерять в %... Задача. Фирма приобрела вексель

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Министерство образования и науки Краснодарского края Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края «Краснодарский информационно-технологический техникум» Методические

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Практикум по теме 2 Оценка инвестиционных проектов Методические указания по выполнению практикума Цель практикума развитие следующих навыков: Расчет и оценки наращенного и дисконтированного денежного потока;

Кекух Л.В. ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА ТЕСТОВЫЕ ЗАДАЧИ В-1 1. Наращенная сумма по простым процентам вычисляется по формуле: а) S P ; б) 1 i S) P(1 i ; в) P (1 S j) г) S P(1 i). 2. 5% от числа 90 равно: а)

Тема 2.Финансовые основы экономики недвижимости Основы финансовой математики. Временная стоимость денег. Понятие текущей и будущей стоимости, понятие наращения и дисконтирования. Простые и сложные проценты.

Министерство образования Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А.В.Григорьев ЗАДАЧИ ПО ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ ОГЛАВЛЕНИЕ 1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ 1.1. Начисление

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Е.Н. Иванова ОЦЕНКА СТОИМОСТИ НЕДВИЖИМОСТИ Сборник задач Под редакцией доктора экономических наук, профессора М.А. Федотовой Рекомендовано

ВАРИАНТ 1 1. Депозит в 40 тыс. руб. положен в банк на 5 лет под процентную ставку 28% годовых. Найдите наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты. Составьте схему возрастания капитала

Расчётные задания и практические ситуации, выносимые на итоговый междисциплинарный экзамен по направлению 38.03.01 «Экономика» профиль «Финансы и кредит» (уровень бакалавриата) Задача 1 Фирма продает 100

Белорусский государственный университет Экономический факультет Кафедра финансовой и банковской экономики Методические указания по выполнению контрольной работы по дисциплине «Финансовый менеджмент» 2012

Лабораторная работа 1. Финансовые расчеты в MS Excel. Подбор параметра в Microsoft Excel Целью данной лабораторной работы является изучение возможностей табличного процессора MS Excel при выполнении финансовых

Контрольная работа по дисциплине «Основы финансовых вычислений» Номер варианта контрольной работы последняя цифра зачётной книжки Таблица соответствия номеров задач и тем дисциплины номер тема задачи 1.

Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине «Основы банковского дела» 1 Задача 1 На начало операционного дня остаток наличных денег в кассе банка 32 млн. руб. От предприятий и предпринимателей,

Вариант 1 Вклад размером 3 000 $ положен с 02.06 по 20.09 не високосного года под 11% годовых. Найти величину капитала на 20.09 по различной практике начисления процентов. Рассчитать, через сколько лет

Контрольная работа состоит из решения 5-ти задач. Выбор варианта (билета) производится по последней цифре зачетки. Билет 1. 1. Предоставлена ссуда в размере 7 тыс. руб. 10 февраля с погашением 10 июня

Общая методология расчетов в оценочной деятельности Косорукова Ирина Вячеславовна Заведующий кафедрой Оценочной деятельности и корпоративных финансов Университета «Синергия», д.э.н., профессор Телефон

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» (ГОУ ВПО «СГГА») ПРАКТИКУМ

2.5. Потоки платежей Очень часто в контрактах финансового характера предусматриваются не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КЕМЕРОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ Кафедра «Управление и экономика» Выполнение контрольной работы по дисциплине «Экономика недвижимости» Методические

Министерство образования и науки Российской Федерации Вологодский государственный университет Кафедра финансов и кредита МЕТОДЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ (Основы финансовых вычислений) Задания для практических

ЛИЧНОЕ ФИНАНСОВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ПРЕЗЕНТАЦИЯ К ЛЕКЦИИ 2 ПЛАН ЛЕКЦИИ Раздел I Составляем личный финансовый план Что такое финансовый план и для чего он нужен? Финансовые ресурсы домохозяйств: доходы, расходы,

ГЛАВА 3. АРИФМЕТИКА ФИНАНСОВОГО РЫНКА В настоящей главе рассматривается содержание и техника осуществления финансовых расчетов. Вначале мы остановимся на определении простого и сложного процентов, эффективного

ЭКОНОМИКА ИННОВАЦИЙ Хабаровск 2007 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ИПОТЕЧНО-ИНВЕСТИЦИОННЫЙ

Практическое занятие 5 Облигации Текущая доходность Инвестор, вкладывающий деньги в облигации, должен определить текущую доходность, которую ему приносит купон в денежном выражении. Это можно определить,

Формулы для наращенной суммы и современной величины постоянной ренты в общем случае l l В частном случае) () (Замечание. В последних двух формулах - это сумма выплат за год, а - номинальная годовая

РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» (ФГБОУ ВО РГУПС) И.Р. Кирищиева ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ

ВВЕДЕНИЕ В современных условиях оценка рыночной стоимости объектов недвижимости приобретает особую важность. В методических указаниях представлен доходный подход к определению рыночной стоимости объектов

Автономная некоммерческая организация высшего профессионального образования Центросоюза Российской Федерации «Российский университет кооперации» Сыктывкарский филиал КАФЕДРА УЧЕТНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН

Типовые экзаменационные задачи Задача 1 Четырехзвездочная гостиница в центральной части города приносит годовой чистый операционный доход 1 300 000 руб. Известно, что гостиница 1 (4*) была продана за 8

ПРАКТИКУМ Модуль 1. Деньги и денежные отношения Задание. Наличные металлические и бумажные деньги составляют - 200 ед. Вклады на счетах сберегательных касс 900 ед. Чековые вклады 1500 ед. Мелкие срочные

Практикум по теме Элементы теории процентных ставок Методические указания по выполнению практикума Цель практикума развитие следующих навыков: учет фактора времени в финансовых операциях; использование

Контрольные задачи Финансовая рента 1. Фирма создает резервный фонд. Для этого в конце каждого года на протяжении 4 лет в банк вносится по 20 млн.. Процентная ставка банка - 60%. Определите наращенную

Министерство образования Рязанской области ОГБПОУ «Сасовский индустриальный колледж» БИЗНЕС ПЛАНИРОВАНИЕ Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников по специальности 38.02.01 «Экономика

2 Анализ денежных потоков Важнейшим фактором финансовой операции является неравноценность денег во времени рубль, полученный сейчас, стоит больше рубля, который будет получен в будущем, и наоборот. Данный

ЧАСТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «АКАДЕМИЯ СОЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ» Фонд оценочных средств дисциплины ЕН.02 Финансовая математика Специальность 38.02.07 Банковское дело (базовая подготовка)

Л.А. Лейфер, Приволжский центр финансового консалтинга и оценки, действительный член РОО, г. Нижний Новгород МЕТОД ПРЯМОЙ КАПИТАЛИЗАЦИИ. ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ИНВУДА В соответствии с методом прямой капитализации

Тема 4. Определение стоимости денег во времени и их использование в финансовых расчетах 1. Методический инструментарий оценки стоимости денег во времени и его применение в финансовых расчетах 2. Определение

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермская государственная сельскохозяйственная

ВОЛГО-ВЯТСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ В.П.Болдин, Н.В. Глебова, С.А. Сьянов ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА Практикум часть 1 Рекомендовано в качестве учебного пособия редакционно-издательским советом академии

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ Методические рекомендации по выполнению контрольной работы. Вариант выбирается по номеру задачи в соответствии с последней цифрой зачетной книжки в соответствии с таблицей.

Лабораторная работа 2. Расчет параметров одноразовых инвестиций Цель работы: Научиться выполнять инвестиционные расчеты с использованием финансовых функций Microsoft Excel. Постановка задачи. Выполнить

Задача 1. Решение задач по инвестициям Готовая контрольная работа Имеются исходные данные для оценки эффективности долгосрочной инвестиции: объем продаж за год 4000 шт., цена единицы продукции 0,55 тыс.

Наращение и дисконтирование денежных сумм 1. Основные определения Финансовые сделки обычно связаны с предоставлением денег в долг. Как правило, заемщик платит кредитору проценты за пользование ссудой.

Задание 17 Практические задачи 1. Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов

БАНКОВСКИЕ ЗАДАЧИ (ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ) 1.1 1.2 В банк внесен вклад 64000 рублей на три года. Определите ставку процента, если через три года на счете вкладчика оказалось 216000 рублей. (Ответ:

Облигации относятся к ценным бумагам с фиксированным доходом. Они могут выпускаться государством, региональными властями, финансовыми институтами, а также различными корпорациями. Облигация ценная бумага,

Вопросы на экзамен по дисциплине «Финансы и Кредит» часть: Финансы в рыночной экономике. Сущность и функции финансов. 2. Уровни финансовой системы РФ и субъекты. 3. Бюджет: определение, структура бюджетной

Экономическая эффективность проекта. Методы оценки эффективности проекта Усманова Т.Х. Москва 2014 Типы решений относительно экономического анализа эффективности намечаемых капиталовложений Расширение

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра менеджмента и внешнеэкономической деятельности предприятия И.В. Щепеткина ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания

ТРАДИЦИОННЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ ИПОТЕЧНОГО КРЕДИТОВАНИЯ Содержание лекции Определение инструментов ипотечного кредитования Рассмотрение типологизации и видов инструментов ипотечного кредитования Особенности основных

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра менеджмента и внешнеэкономической

Финансовая цель Покупка квартиры Как правильно купить квартиру? Проект «Содействие повышению уровня финансовой грамотности населения и развитию финансового образования в Российской Федерации», подпроект

1 Министерство образования Российской Федерации Воронежский Государственный Архитектурно-Строительный Университет Кафедра организации строительства, экспертизы и управления недвижимостью Задания для лабораторных

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФИЛИАЛ ФБГОУ ВПО «ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА» В Г. НАХОДКЕ Р А Б О Ч А Я П Р О Г Р А М М А По учебной дисциплине Оценка недвижимости Специальность/направление

Практическое занятие 1 Основы финансовых вычислений на РЦБ Задача-образец Вкладчик положил в банк 20 000 руб. Банк выплачивает 9% годовых. Проценты сложные. Какая сумма будет на счете у вкладчика через

Л.О. Григорьева

Управление инвестициями

Учебный модуль

Улан-Удэ

Издательство ВСГТУ

введение………………………………………………………………….…………………………………
Тема 1. Понятие и классификация инвестиций………………………………………..…….
1.1.	Понятие инвестиций и их классификация……………………………………...…………………….
1.2.	Инвестиционный процесс и механизм инвестиционного рынка……………………….………….
1.3.	Шесть функций сложного процента………………………………………………………………....
Тема 2. Экономические, правовые и организационные основы инвестиционной деятельности в РФ……………………..………………………....................
2.1	Нормативная база инвестиционной деятельности в РФ……………………………………………
2.2	Методы государственного регулирования инвестиционной деятельности……………………….
Контрольные вопросы……………………………………………………………………………………….
Тесты………………………………………………………………………………………………………….
Тема 3. Источники финансирования инвестиционной деятельности………….
3.1	Классификация источников финансирования инвестиционной деятельности предприятия……
3.2	Основные методы финансирования инвестиционной деятельности………………………………
3.3	Анализ цены и структуры капитала………………………………………………………………….
3.4	Методы расчета потребности в инвестициях……………………………………………………….
Контрольные вопросы……………………………………………………………………………………….
Тесты………………………………………………………………………………………………………….
Тема 4. Планирование инвестиций. Этапы составления бизнес-плана………..
4.1	Сущность и классификация инвестиционных проектов……………………………………………
4.2	Жизненный цикл инвестиционного проекта………………………………………………………..
4.3	Методика составления и структура бизнес-плана инвестиционного проекта…………………….
Контрольные вопросы……………………………………………………………………………………….
Тесты………………………………………………………………………………………………………….
Тема 5. Оценка эффективности инвестиционного проекта…….…………………..
5.1	Основные аспекты оценки эффективности инвестиционных проектов………………………….
5.2	Оценка финансовой состоятельности инвестиционного проекта…………………………………
5.3	Оценка экономической эффективности инвестиционных проектов………………………………
Контрольные вопросы……………………………………………………………………………………….
Тесты………………………………………………………………………………………………………….
Задачи для практических занятий………………………………………………………………………….
Тема 6. Риск- менеджмент инвестиционного проекта ……………………………….
6.1	Сущность и классификация рисков инвестиционного проекта…………………………………..
6.2	Риск- менеджмент инвестиционного проекта……………………………………………………….
6.3	Методы оценки проектного риска…………………………………………………………................
6.4	Приемы по управлению рисками проекта……………………………………………………………
Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………..
Тесты…………………………………………………………………………………………………………..
Тема 7. Оценка инвестиционных качеств и эффективности финансовых инвестиций ………………………………………………………………………………………………
7.1.	Расчет доходности по операциям с ценными бумагами…………………………………………….
7.2	Расчет будущего капитала в финансовых инвестициях…………………………………………….
7.3	Расчет курсовой стоимости ценных бумаг…………………………………………………………...
7.4	Особенности оценки инвестиций в вексельном обращении……………………………………….
Контрольные вопросы……………………………………………………………………………………….
Тесты………………………………………………………………………………………………………….
Задачи для практических занятий…………………………………………………………………………..
Тема 8. Формирование инвестиционного портфеля……………………………………
8.1	Понятие и виды инвестиционных портфелей………………………………………………………
8.2	Доходность портфеля…………………………………………………………………………………
8.3	Риск портфеля…………………………………………………………………………………………
Контрольные вопросы……………………………………………………………………………………….
Тесты………………………………………………………………………………………………………….
Задачи для практических занятий……………………………………………………………………………
ПриложениЕ1……………………………………………………………………………………………….
ПриложениЕ2……………………………………………………………………………………………….
Приложение 3………………………………………………………………………………………………

Тема 1. Инвестиции. Сущность инвестиционного процесса

Шесть функций сложного процента

Первая функция сложного процента – это фактор будущей стоимости текущего (сегодняшнего) капитала.

FV = PV*(1+i) n

(1.4)

FV – это будущая стоимость текущего капитала (future value);

PV – текущая стоимость капитала (present value);

i – ставка процента;

n – количество периодов.

В каких случаях используется формула сложного процента:

Мы имеем какую-то сумму денег. Мы хотим положить ее в банк под определенный процент, на определенный срок (год, месяц, квартал). При этом мы хотим знать: сколько будут стоить наши деньги в конце срока вклада.

Пример. Допустим у нас есть 1 руб. и мы кладем его в начале года в банк, под 10% годовых на 5 лет. Сколько будет стоить этот руб. через 5 лет?

FV = 1 руб.*(1+10%) 5 = 1,61 руб.

Пример . Вы положили деньги в банк 1000 руб. под 24% годовых на 1 год. Аккумулирование (т.е. начисление %) происходит два раза в год по фиксированной годовой ставке. Надо определить периодическую ставку (i p), будущую стоимость текущего капитала (FV), величину дохода на капитал (Д) и фактическую годовую ставку (i ф).

Определим периодическую ставку, в данном случае – полугодовую: i p = i г /2 = 24% /2 =12%

Определим будущую стоимость текущего капитала: FV =1000(1+0,12) 2 = 1254,4 руб.

Определим величину дохода на капитал: Д = FV – PV = 1254,4 – 1000 = 254,4 руб.

Определим фактическую годовую ставку: i ф = (FV–PV)/PV=(1254,4–1000)/1000=0,2544=25%

Фактическая ставка включает начисленные сложные проценты, поэтому она всегда больше, чем номинальная ставка. Кроме того, чем больше периодов начисления процентов в году, тем эта разница будет существеннее.

Пример . Через сколько лет произойдет удвоение капитала, если известно, что годовая номинальная ставка, под которую положили деньги в банк равна 12%?

Решение этой задачки основано на использовании так называемого «правила 72-х». Согласно этому правилу, количество лет, через которое произойдет удвоение вложенной суммы, определяется по формуле: 72 / номинальная годовая ставка %

72 / 12% = 6 лет.

Правило дает удовлетворительный ответ при ставке, находящейся в диапазоне от 3 до 18%.

Вторая функция сложного процента – фактор будущей стоимости аннуитета.

Она предназначена для определения будущей стоимости равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же суму денег (РМТ) в течение какого-то времени(1,2,3 года и т.п.).

РМТ (payment ) – единовременный платеж в периоде k. (периоды одинаковые).

Серия таких платежей называется аннуитетом .

Различают обычный и авансовый аннуитет .

Будущая стоимость обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода). Его будущая стоимость выражается в формуле:

Пример . Чтобы накопить себе на автомобиль, вы решили откладывать в банк по 1000 $ каждый год при 12% годовых в течение 5 лет. Как лучше откладывать деньги (в конце или в начале года), чтобы получить через 5 лет большую сумму и сколько денег окажется на вашем счете через 5 лет?

Определим, сначала, сколько денег мы получим через 5 лет, если будем откладывать в конце каждого года:

Таким образом, получается, что вкладывать в начале каждого года гораздо выгоднее, чем в конце.

Третья функция сложного процента – фактор фонда возмещения.

Фактор фонда возмещения – это величина платежа, который необходимо депонировать (вкладывать) в каждом периоде при заданной ставке годового процента, чтобы в последнем периоде получить на счете определенную (желаемую) сумму. Т.е. допустим, мы хотим получить 1 миллион рублей через пять лет. Для этого можно положить деньги в банк. Нам известна величина банковского процента. Фактор фонда возмещения (ФФВ) определяет величину периодических равновеликих платежей, которые нам придется платить эти 5 лет. То есть ФФВ - это то же РМТ.

Различают Фактор Фонда Обычного Возмещения и Фактор Фонда Авансового Возмещения, в зависимости от того, когда (в конце или начале периода) производятся платежи.

Фактор Фонда Обычного Возмещения (платежи в конце каждого периода):

2-я и 3-я функции сложного процента взаимосвязаны между собой через формулы. 2-я функция – это определение FV, а 3-я – это определение PV.

Пример . Вы взяли у своего знакомого в долг и через 5 лет должны вернуть 1000$. Чтобы проще было расплатиться с долгами, вы решили откладывать деньги в банк каждый год. Банковская ставка также равна 15% годовых. Как выгоднее депонировать деньги – в начале года или в конце года? Какую сумму вы должны депонировать в банке, чтобы в конце 5-го года выплатить эту 1000$?

1. Фактор Фонда Обычного Возмещения:

ФФОВ =	_____15%___	*1000$	= 148 $
(1+15%) 5 - 1

1. Фактор Фонда Авансового Возмещения:

2. Фактор Фонда Авансового Возмещения:

ФФАВ =	________1,25%__________	*10000$	= 111,5 $
(1+1,25%) 5*12+1 – (1+1,25%)

Каждый месяц вам выгоднее откладывать по 111,5 $.

Четвертая функция сложного процента – фактор текущей стоимости будущего капитала.

Текущая стоимость будущего капитала – это сегодняшняя стоимость капитала, который должен быть получен в будущем. Математически выразить текущую стоимость будущего капитала можно следующим образом:

PV = FV /(1+i) n (1.9)

Как вы заметили 4-я и 1-я функция сложного процента взаимосвязаны между собой одной формулой. 1-я функция определяет будущую стоимость текущего капитала.

Пример. Вы решили накопить 12000$. Эта сумма понадобится вам через 4 года. Сколько денег сегодня вы должны положить в банк под 10% годовых, чтобы через 4 года получить 12000$.

PV = 12000$ /(1+10%) 4 = 8196 $

Пятая функция сложного процента – фактор текущей стоимости аннуитета.

5-я функция предназначена для определения текущей стоимости (PV) равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же сумму денег (РМТ) в течение какого-то времени (1,2,3 года и т.д.) при известной норме прибыли (i ).

В этом смысле, 5-я функция несколько похожа на 2-ю функцию сложного процента, с той лишь разницей, что 2-я определяет FV.

Различают фактор текущей стоимости Обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода) и Авансового Аннуитета (платежи в начале каждого периода).

Текущая стоимость обычного аннуитета:

2. Если платежи будут производится в начале каждого года:

Авансовый взнос на амортизацию (платежи в начале периода):

2. Если платежи в начале года:

РМТн =	15000$*12%_____	= 3715$
(1+12%) – (1+12%) – (5 – 1)

Контрольные вопросы

1. Охарактеризуйте понятие инвестиций, приведите варианты их классификации.

2. В чем заключаются основные отличия между инвестициями и капитальными вложениями?

3. Что представляет собой инвестиционная деятельность, и из каких этапов она состоит?

4. Какие субъекты инвестиционной деятельности можно выделить? Их отличия и основные характеристики?

5. Объекты инвестиционной деятельности, их отличия и основные характеристики.

6. Реципиент, как субъект инвестиционной деятельности?

7. Какова структура инвестиционного рынка?

8. Какова структура инвестиционного рынка в России? Перечислить и охарактеризовать его составляющие.

1.1. Какие из приведенных ниже вложений в большинстве случаев не относятся к инвестициям?

а) приобретение иностранной валюты;

б) вложения в облигации на вторичном рынке;

в) вложения в депозитные сертификаты;

г) лизинговое финансирование;

д) вложения в акции на первичном рынке.

1.2. Основными целями инвестирования являются:

а) получение прибыли;

б) достижение социального эффекта;

в) накопление капитала

1.1. Прямые инвестиции предполагают:

а) привлечение финансовых посредников к реализации инвестиционных проектов;

б) использование внутренних источников финансирования инвестиций;

в) непосредственное участие инвестора в выборе объектов инвестирования и вложения капитала.

1.2. Какой из перечисленных ниже субъектов экономики не является участником (исполнителем) инвестиционной деятельности?

а) инвестор;

б) исполнитель;

в) проектировщик;

г) подрядчик;

д) страховое общество.

1.3. В какой сфере протекает инвестиционная деятельность?

б) обращения;

в) материального производства;

г) нематериального производства.

1.4. Инвестиционная деятельность коммерческих банков в сфере реального инвестирования имеет следующие формы:

а) инвестиционное кредитование;

б) инвестирование в ценные бумаги;

в) проектное финансирование;

г) долевое участие.

1.7. Какие из приведенных ниже элементов относятся к материальным элементам инвестиций?

а) коммуникации;

б) природные ресурсы;

в) вложения в человеческий капитал;

г) ценные бумаги;

д) патенты, лицензии.

1.8. Что лежит в основе деления инвестиций на реальные, финансовые и инвестиции в нематериальные активы?

а) объекты вложения инвестиций;

б) воспроизводственные формы;

в) стадии инвестиционного процесса;

г)субъекты инвестиционной деятельности.

1.9. Концепцию инвестиционного мультипликатора разработал:

а) Р.Ф. Кан;

б) Самуэльсон;

в) Дж. М. Кейнс.

1.10. Инвестиции в нематериальные активы - это:

а) вложения в торговые марки, товарные знаки, авторские права и т.д.;

б) затраты на приобретение объектов природопользования;

в) вложения в оборотные средства предприятия.

Задачи для практических занятий

Задача 1.1.

Рассчитайте ежегодный взнос для оплаты квартиры стоимостью 800 тыс. руб., купленной в рассрочку на 10 лет под 12%.

Задача 1.2.

Рассчитайте ежегодный взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.

Задача 1.3.

Рассчитайте взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.

Задача 1.4.

Квартира продана за 800 тыс. руб., деньги приносят 12% годового дохода. Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет?

Задача 1.5.

Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет, если ежегодно откладывать по 80 тыс. руб. под 12%?

Задача 1.6.

Сколько стоила квартира, купленная в рассрочку на 10 лет под 12% годовых, если ежегодный взнос составляет 80 тыс. руб.?

В) Особенности основных психологических функций в интровертной установке.

В) Особенности основных психологических функций в экстравертной установке.

В процессе проведения оценки любого объекта недвижимости оценщику приходится постоянно учитывать денежные потоки, относимые к разным промежуткам времени. Это может быть поток, генерируемый год от года оцениваемым объектом при использовании метода дисконтированных денежных потоков, или стоимость объекта-аналога, проданного некоторое время назад, или затраты на строительство, данные в ценах предыдущих лет.
Сравнивать эти потоки, а также производить с ними арифметические действия без предварительной подготовки некорректно, так как покупательная способность одной и той же денежной суммы в различные временные периоды разная.
Различная стоимость денежной единицы обусловливается следующими причинами: влиянием инфляции, снижающей покупательную способность денежных средств; колебаниями на рынках товаров и услуг (на различных сегментах рынка недвижимости); потерей части дохода из-за получения денежных средств не сейчас, а через определенный промежуток времени, которая могла быть получена за этот промежуток при инвестировании этой суммы.
Таким образом, для сравнения или произведения арифметических действий все разновременные денежные потоки необхо

димо приводить к одному и тому же моменту времени. К какому именно моменту времени, теоретически совершенно неважно, но так как все расчеты и отчет об оценке недвижимости составляются на определенную дату, то, как правило, все потоки приводятся именно к дате оценки.
Для данного приведения используется алгоритм, в финансовой математике носящий название шесть функций сложного процента или функций денежной единицы.
Как известно, проценты бывают простые и сложные. При простом исчислении по окончании каждого соответствующего периода процент начисляется исключительно на изначальную сумму. При сложном исчислении процент за каждый последующий период начисляется на основную сумму и на процентные выплаты за предыдущие периоды.
Функции сложного процента подразделяются на: будущую стоимость денежной единицы; будущую стоимость аннуитета; фактор фонда возмещения; текущую стоимость денежной единицы; взнос на амортизацию денежной единицы; текущую стоимость аннуитета.
Три первые функции применяются для пересчета текущих денежных сумм в будущие, а три последние - для пересчета будущих денежных единиц в текущие. Первый процесс называется компаундированием, а второй дисконтированием. Но на практике термин «компаундирование» не прижился и не используется, термин же «дисконтирование» применяется достаточно широко.
Рассмотрим случай, когда некоторая денежная сумма (обозначим ее PV) помещается на депозитный банковский счет под ежегодный процент / на п лет. Через год на счете окажется следующая сумма:

На второй год банковский процент будет начисляться уже не только на сумму PV, но и на проценты за первый год, что можно записать следующим образом:

На третий год ситуация будет аналогичной с той лишь разницей, что процентная составляющая увеличится:

Таким образом, в общем виде на какой угодно период накопленную сумму можно рассчитать по формуле
(1)
где PV - текущая стоимость денежной единицы;
FV - будущая стоимость денежной единицы;
/ - процентная ставка;
п - количество временных периодов.
Необходимо обратить внимание, что показатели количества периодов и процентная ставка должны быть сопоставимыми. Так, если проценты начисляются ежегодно, то п должно обозначать число лет, а / - годовую ставку, если же известно, что проценты начисляются ежемесячно, тогда формула (1) примет вид:
(2)
Приведенная формула называется функцией будущая стоимость денежной единицы и используется для пересчета денежных потоков, отнесенных к настоящему, в их будущую стоимость.
Пример 1. В настоящий момент Андрей Иванов имеет 50 000 руб. свободных средств для осуществления личных инвестиций на срок 5 лет. В процессе анализа возможных объектов вложений он обратил внимание на инвестиционный фонд А, обещающий своим вкладчикам 15 % годовых с ежеквартальным начислением дохода на счета клиентов.
В процессе расчета возможной итоговой выгоды от сотрудничества с фондом Андрей применил функцию «будущая стоимость единицы»:

Следовательно, если фонд А выполнит все свои обязательства, то через пять лет сбережения Иванова увеличатся более чем в 2 раза и составят 104 тыс. руб.

Из приведенной формулы (1) не составляет труда вывести выражение, позволяющее найти текущую стоимость денежных потоков, отнесенных к будущим временным периодам:
(3)
Эта функция носит название текущей стоимости денежной единицы.
Пример 2. Молодая семья хочет скопить за десять лет 500 тыс. руб. на образование своего ребенка. Одним из вариантов является помещение имеющихся 80 тыс. руб. на банковский депозит под 11 % годовых с ежеквартальным начислением процентов.

Для оценки своих возможностей супруги применили текущую стоимость денежной единицы:

Остальные четыре функции связаны с понятием аннуитетного платежа или аннуитета. Аннуитетом принято называть равные денежные выплаты через равные промежутки времени. Самым простым и наиболее распространенным примером аннуитетных выплат является арендная плата, поступающая на счет владельца недвижимости каждый месяц (квартал, год) от арендатора.

Если владелец недвижимого имущества захочет узнать, какая сумма накопится у него на счете за срок арендного договора, то для расчетов ему будет необходимо воспользоваться функцией будущая стоимость аннуитета или накопление единицы за период:

где РМТ - величина единичного аннуитетного платежа.

сможет скопить, Петр решил посчитать будущую стоимость трехлетнего аннуитета:

По окончании требуемого срока он будет иметь в своем распоряжении 243 тыс. 750 руб. для ремонта.
Обратная к будущей стоимости аннуитета функция носит название фактор фонда возмещения. Она применяется в случаях, если необходимо вычислить величину аннуитетного платежа, необходимого для накопления заранее известной суммы через определенный временной промежуток:

Пример 4. Убедившись в невозможности скопить средства на образование, семейная пара из примера 2 решила получить требуемую сумму на банковском счете, внося на него раз в квартал некоторую сумму.
Для этого необходимо рассчитать минимальную величину ежеквартального платежа:

Следовательно, для того чтобы за 10 лет скопить требуемую сумму, супруги должны ежеквартально вносить на счет чуть более 7 тыс. руб.
В области оценки недвижимости часто приходится иметь дело с заемными средствами, кредитами на покупку или строительство объектов. Погашение полученного кредита в финансовой математике принято называть его амортизацией, именно поэтому функцию, применяемую для расчетов аннуитетных погашающих выплат при кредитовании, называют взнос на амортизацию единицы:

где PV - сумма кредита.

Пример 5. Владелец небольшого бизнеса Иван Конев с ежемесячным доходом 40 тыс. руб. планирует взять кредит на покупку квартиры стоимостью 1,5 млн руб. Средние банковские условия состоят в сумме, не превышающей 70 % от стоимости объекта на 15 лет под 15 % годовых с ежемесячными равными выплатами в течение всего срока.


Иван решил рассчитать, какую же сумму ему придется платить каждый месяц. Для начала он нашел максимально возможную сумму кредита:

1 050 000-0,014 = 14 700 руб.
Следовательно, Коневу для погашения кредита необходимо выплачивать 14 700 руб. в месяц.

Функция текущая стоимость аннуитета применяется при известных аннуитетных платежах, если необходимо определить, сколько сумма всех этих выплат представляет в текущем выражении. Данная функция является обратной к взносу на амортизацию единицы, поэтому принимает следующий вид:

Пример 6. Иван Конев из предыдущего примера недоволен проведенными расчетами, он хочет тратить на погашение кредита не более четверти своего ежемесячного дохода, правда, возникает вопрос, какова же тогда окажется сумма кредита?
Для начала рассчитаем желаемые аннуитетные платежи:

РМТ = 40 000 25 % = 10 000 руб.

Таким образом, при желаемом уровне выплат Иван может рассчитывать лишь на кредит, составляющий 47 % от стоимости квартиры:
(714 490: 1 500 000 = 0,47).
Все представленные функции сложного процента в совокупности представляют собой формализованное представление теории стоимости денег во времени. В теории и практике оценки недвижимости часты случаи применения данных функций. Практически ни один из методов оценки не обходится без применения указанных функций.
В практической деятельности, кроме проведения расчетов, аналогичных приведенным выше примерам, широко используют готовые таблицы функций сложного процента (приложение В).
Например, если Петр Сидоров (пример 3) мог рассчитать сумму, которая он сумеет скопить за искомый период следующим образом: определить сумму ежегодного аннуитета (75 000 руб.); найти фактор будущей стоимости аннуитета. Для этого открыть в приложении В таблицу шести функций сложного процента для ставки, равной 8 %, и на пересечении строки с номером года, равном 3, и столбца с названием «Будущая стоимость аннуитета» найти нужную величину. В приводимом примере она будет равна 3,2464; перемножить величины аннуитетной выплаты и фактора будущей стоимости аннуитета.
Проделав описанные операции, получим тот же результат, что и в примере 3. Аналогичным образом можно применять таблицы шести функций сложного процента для расчетов с применением данных функций.
Вопросы и задания для самоконтроля Опишите основные положения теории стоимости денег во времени. В чем причина частого использования функций сложного процента в процессе оценки недвижимости? Владелец гостиницы планирует сделать ремонт через 5 лет. В настоящее время стоимость ремонта составляет 100 тыс. и дорожает на 4 % в год. Какую сумму ежемесячно должен класть владелец в банк под 10 % годовых, чтобы в итоге скопить требуемую сумму? За какой срок денежная сумма, положенная в банк под 8 % годовых, удвоится? Семья планирует взять кредит и выплачивать за него не более 3500 руб. ежемесячно. Средние банковские условия таковы: срок кредита 8 лет под 12 % годовых. Сумеет ли семья с помощью кредита профинансировать на 70 % покупку квартиры стоимостью 1 млн руб.? Господин Петров за 50 млн руб. приобрел склад, сданный в аренду на 10 ближайших лет с ежеквартальной выплатой арендной платы. Среднерыночное изменение цен на рынке складской недвижимости составляет 10 %. Хватит ли Петрову получаемого дохода для выплаты ипотечного кредита, выданного на 8 лет под 12 % годовых? Выплаты по кредиту осуществляются ежемесячно. Какую сумму нужно вложить в банк сейчас под 8 % годовых, чтобы получить через 10 лет 21 млн руб.? Семья планирует за 7 лет скопить на обучение ребенка, которое сейчас стоит 450 000 руб. и дорожает на 8 % в год. При этом за оставшийся срок семья планирует 35 % от требуемой суммы скопить, ежеквартально кладя деньги в банк под 11 % годовых, а на оставшуюся часть взять кредит на следующие 5 лет под 14 % годовых. Сколько семья должна класть на счет в первые годы и ежемесячно выплачивать банку в последующие?