Имеются два сосуда с растворами щелочи разных. Задания ЕГЭ (текстовые задачи)

Если событие А может произойти только совместно с одним из событий ,, …,, образующих полную группу несовместных событий (эти события называют гипотезами), то вероятность появления события А вычисляют по формулеполной вероятности :

. (4.1)

Пусть в описанной выше схеме событие А произошло и требуется выяснить вероятность того, что оно произошло вместе с одной из гипотез . Такую вероятностьвычисляют поформулам Байеса :

, . (4.2)

Образцы решения задач

Пример 1 ‑ Имеется три одинаковые на вид урны; в первой 2 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 1 черный шар, в третьей – 3 белых шара. Наугад выбирается одна из урн и из нее вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение

Опыт предполагает три гипотезы:

‑выбор первой урны, ;

‑выбор второй урны, ;

‑выбор третьей урны, .

Рассмотрим интересующее событие А – вынутый шар белый. Данное событие может произойти только совместно с одной из гипотез:

По формуле полной вероятности (4.1) получаем

Ответ: .

Пример 2 ‑ Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй – 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение

Можно сделать два предположения (гипотезы): ‑ деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй);‑ деталь произведена вторым автоматом, причем .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, , если произведена вторым автоматом.

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности (4.1) равна:

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Байеса равна:

.

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

1 В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.

2 Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара, извлекается наудачу один шар и перекладывается в другую урну, которая до этого содержала 2 белых и 7 черных шаров. Цвет перекладываемого шара не фиксируется. Из второй урны наудачу извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар окажется белым?

3 В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки с обычным прицелом эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

4 В условиях предыдущей задачи стрелок попал в мишень. Определить вероятность того, что он стрелял: из винтовки с оптическим прицелом; из винтовки с обычным прицелом.

5 Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4 студента, из второй – 6, из третьей – 5. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей групп попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?

6 В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

7 В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены на отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно, 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент знает все 20 вопросов, хорошо подготовленный – 16, посредственно подготовленный – 10 и двоечник – 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: отлично; плохо.

8 В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

9 По объекту производится три одиночных независимых выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4; при втором – 0,5; при третьем – 0,7. Для вывода объекта из строя заведомо достаточно трех попаданий, при двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,6; при одном – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов объект будет выведен из строя.

10 Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6; 0,5 и 0,4.

Домашнее задание.

1 Повторение испытаний. Формулы Бернулли и Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

2 Решить задачи.

Задача 1 . Имеются две урны. В первой урне два белых и три черных шара, во второй – три белых и пять черных. Из первой и второй урн, не глядя, берут по одному шару и кладут их в третью урну. Шары в третьей урне перемешивают и берут из нее наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Задача 2 . Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго – 0,5, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что выстрел произведен вторым стрелком.

Задача 3 . С первого автомата на сборку поступает 40 %, со второго – 35 %, с третьего – 25 % деталей. Среди деталей первого автомата 0,2 % бракованных, второго – 0,3 %, третьего – 0,5 %. Найти вероятность того, что:

а) поступившая на сборку деталь бракованная;

б) деталь, оказавшаяся бракованной, изготовлена на втором автомате.

Задача 4 . В группе из 20 стрелков пять отличных, девять хороших и шесть посредственных. При одном выстреле отличный стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, хороший – с вероятностью 0,8 и посредственный – с вероятностью 0,7. Наугад выбранный стрелок выстрелил дважды; отмечено одно попадание и один промах. Каким, вероятнее всего, был этот стрелок: отличным, хорошим или посредственным?

Пример №1 . Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые комплектующие детали от трех поставщиков. Первый поставляет 50 % всех комплектующих деталей, второй - 20 %, третий - 30 % деталей.
Известно, что качество поставляемых деталей разное, и в продукции первого поставщика процент брака составляет 4 %, второго - 5 %, третьего - 2 %. Определить вероятность того, что деталь, выбранная наудачу из всех полученных, будет бракованной.

Решение . Обозначим события: A - «выбранная деталь бракована», H i - «выбранная деталь получена от i-го поставщика», i =1, 2, 3 Гипотезы H 1 , H 2 , H 3 образуют полную группу несовместных событий. По условию
P(H 1) = 0.5; P(H 2) = 0.2; P(H 3) = 0.3
P(A|H 1) = 0.04; P(A|H 2) = 0.05; P(A|H 3) = 0.02

По формуле полной вероятности (1.11) вероятность события A равна
P(A) = P(H 1) · P(A|H 1) + P(H 2) · P(A|H 2) + P(H 3) · P(A|H 3) = 0.5 · 0.04 + 0.2 · 0.05 + 0.3 · 0.02=0.036
Вероятность того, что выбранная наудачу деталь окажется бракованной, равна 0.036.

Пусть в условиях предыдущего примера событие A уже произошло: выбранная деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была получена от первого поставщика? Ответ на этот вопрос дает формула Байеса .
Мы начинали анализ вероятностей, имея лишь предварительные, априорные значения вероятностей событий. Затем был произведен опыт (выбрана деталь), и мы получили дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей тех же событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями гипотез (рис. 1.5).

Схема переоценки гипотез
Пусть событие A может осуществиться лишь вместе с одной из гипотез H 1 , H 2 , …, H n (полная группа несовместных событий). Априорные вероятности гипотез мы обозначали P(H i) условные вероятности события A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Если опыт уже произведен и в результате него наступило событие A, то апостериорными вероятностями гипотез будут условные вероятности P(H i |A), i = 1, 2,…, n. В обозначениях предыдущего примера P(H 1 |A) - вероятность того, что выбранная деталь, оказавшаяся бракованной, была получена от первого поставщика.
Нас интересует вероятность события H k |A Рассмотрим совместное наступление событий H k и A то есть событие AH k . Его вероятность можно найти двумя способами, используя формулы умножения (1.5) и (1.6):
P(AH k) = P(H k)P(A|H k);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

Приравняем правые части этих формул
P(H k) · P(A|H k) = P(A) · P(H k |A),

отсюда апостериорная вероятность гипотезы H k равна

В знаменателе стоит полная вероятность события A. Подставив вместо P(A) ее значение по формуле полной вероятности (1.11), получим:
(1.12)
Формула (1.12) называется формулой Байеса и применяется для переоценки вероятностей гипотез.
В условиях предыдущего примера найдем вероятность того, что бракованная деталь была получена от первого поставщика. Сведем в одну таблицу известные нам по условию априорные вероятности гипотез P(H i) условные вероятности P(A|H i) рассчитанные в процессе решения совместные вероятности P(AH i) = P(H i) · P(A|H i) и рассчитанные по формуле (1.12) апостериорные вероятности P(H k |A), i,k = 1, 2,…, n (табл. 1.3).

Таблица 1.3 - Переоценка гипотез

Гипотезы H i	Вероятности
	Априорные P(H i)	Условные P(A|H i)	Совместные P(AH i)	Апостериорные P(H i |A)
1	2	3	4	5
H 1 - деталь получена от первого поставщика	0.5	0.04	0.02
H 2 - деталь получена от второго поставщика	0.2	0.05	0.01
H 3 - деталь получена от третьего поставщика	0.3	0.02	0.006
Сумма	1.0	-	0.036	1

Рассмотрим последнюю строку этой таблицы. Во второй колонке стоит сумма вероятностей несовместных событий H 1 , H 2 , H 3 , образующих полную группу:
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0.5 + 0.2 + 0.3 = 1
В четвертой колонке значение в каждой строке (совместные вероятности) получено по правилу умножения вероятностей перемножением соответствующих значений во второй и третьей колонках, а в последней строке 0.036 - есть полная вероятность события A (по формуле полной вероятности).
В колонке 5 вычислены апостериорные вероятности гипотез по формуле Байеса (1.12):

Аналогично рассчитываются апостериорные вероятности P(H 2 |A) и P(H 3 |A), причем числитель дроби - совместные вероятности, записанные в соответствующих строках колонки 4, а знаменатель - полная вероятность события A, записанная в последней строке колонки 4.
Сумма вероятностей гипотез после опыта равна 1 и записана в последней строке пятой колонки.
Итак, вероятность того, что бракованная деталь была получена от первого поставщика, равна 0.555. Послеопытная вероятность больше априорной (за счет большого объема поставки). Послеопытная вероятность того, что бракованная деталь была получена от второго поставщика, равна 0.278 и также больше доопытной (за счет большого количества брака). Послеопытная вероятность того, что бракованная деталь была получена от третьего поставщика, равна 0.167.

Пример №3 . Имеются три одинаковые урны; в первой урне два белых и один черный шар; во второй - три белых и один черный; в третьей - два белых и два черных шара. Для опыта наугад выбрана одна урна и из нее вынут шар. Найдите вероятность того, что этот шар белый.
Решение. Рассмотрим три гипотезы: H 1 - выбрана первая урна, H 2 - выбрана вторая урна, H 3 - выбрана третья урна и событие A - вынут белый шар.
Так как гипотезы по условию задачи равновозможны, то

Условные вероятности события A при этих гипотезах соответственно равны:
По формуле полной вероятности

Пример №4 . В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,81, а стреляя из винтовки без оптического прицела, - с вероятностью 0,46. Найдите вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.
Решение. Здесь первым испытанием является случайный выбор винтовки, вторым - стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события: A - стрелок поразит мишень; H 1 - стрелок возьмет винтовку с оптическим прицелом; H 2 - стрелок возьмет винтовку без оптического прицела. Используем формулу полной вероятности. Имеем

Учитывая, что винтовки выбираются по одной, и используя формулу классической вероятности, получаем: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
Условные вероятности заданы в условии задачи: P(A|H 1) = 0;81 и P(A|H 2) = 0;46. Следовательно,

Пример №5 . Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наудачу извлекаются два шара и добавляется в урну 1 белый шар. Найдите вероятность того, что наудачу взятый шар окажется белым.
Решение. Событие “извлечен белый шар” обозначим через A. Событие H 1 - наудачу извлекли два белых шара; H 2 - наудачу извлекли два черных шара; H 3 - извлекли один белый шар и один черный. Тогда вероятности выдвинутых гипотез

Условные вероятности при данных гипотезах соответственно равны: P(A|H 1) = 1/4 - вероятность извлечь белый шар, если в урне в данный момент один белый и три черных ша-ра, P(A|H 2) = 3/4 - вероятность извлечь белый шар, если в урне в данный момент три белых и один черный шар, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - вероятность извлечь белый шар, если в урне в данный момент два белых и два черных шара. В соответствии с формулой полной вероятности

Пример №6 . Производится два выстрела по цели. Вероятность попадания при первом выстреле 0,2, при втором - 0,6. Вероятность разрушения цели при одном попадании 0,3, при двух - 0,9. Найдите вероятность того, что цель будет разрушена.
Решение. Пусть событие A - цель разрушена. Для этого достаточно попадания с одного выстрела из двух или поражение цели подряд двумя выстрелами без промахов. Выдвинем гипотезы: H 1 - оба выстрела попали в цель. Тогда P(H 1) = 0,2 · 0,6 = 0;12. H 2 - либо первый раз, либо второй раз был совершен промах. Тогда P(H 2) = 0,2 · 0,4 + 0,8 · 0,6 = 0,56. Гипотеза H 3 - оба выстрела были промахи - не учитывается, так как вероятность разрушения цели при этом нулевая. Тогда условные вероятности соответственно равны: вероятность разрушения цели при условии обоих удачных выстрелов равна P(A|H 1) = 0,9, а вероятность разрушения цели при условии только одного удачного выстрела P(A|H 2) = 0,3. Тогда вероятность разрушения цели по формуле полной вероятности равна.

4) Имеются три одинаковые с виду урны: в первой 5 белых и 10 черных шаров; во второй 9 белых и 6 черных шаров; в третьей только черные шары. Из наугад выбранной урны достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный.

Решение

Событие A – достали черный шар. Событие A

H

H

H

Так как урны с виду одинаковы, то:

A для каждой гипотезы.

Черный шар достали из первой урны:

Аналогично:

Ответ:

5) Имеются две урны: в первой 5 белых и 10 черных шаров; во второй урне 9 белых и 6 черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны достают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет черным.

Решение

Событие A – из второй урны достали черный шар. Событие A может произойти с одним из несовместных событий (гипотез):

H 1 – из первой урны во вторую переложили белый шар;

H 2 – из первой урны во вторую переложили черный шар.

Вероятности гипотез:

Найдем условные вероятности события A . Если из первой урны во вторую переложили белый шар, то во второй урне стало 10 белых и 6 черных шаров. Значит, вероятность достать из нее черный шар равна:

Аналогично:

По формуле полной вероятности:

Ответ:

6) Имеются три урны: в первой 5 белых и 10 черных шаров; во второй 9 белых и 6 черных шаров; в третьей урне 15 черных шаров (белых шаров нет). Из наугад выбранной урны достали один шар. Этот шар оказался черным. Найти вероятность того, что шар достали из второй урны.

Решение

Событие A – из наугад выбранной урны достали один шар.

Событие A может произойти с одним из несовместных событий (гипотез):

H 1 – шар достали из первой урны;

H 2 – шар достали из второй урны;

H 3 – шар достали из третьей урны.

Априорные вероятности гипотез равны:

В задаче 4 найдены условные вероятности события A и его полная вероятность:

Найдем по формуле Байеса апостериорную вероятность гипотезы H 2 .

Черный шар достали из второй урны:

Сравним и :

Таким образом, если известно, что достали черный шар, то вероятность того, что его достали из второй урны уменьшается (это соответствует условию – во второй урне меньше всего черных шаров).

Ответ: .

Формула Бернулли

7) В семье шесть детей. Вероятность рождения девочки равна 0,49. Найти вероятность того, что среди этих детей одна девочка.

Решение

Событие A – родилась девочка.

P = P (A ) = 0,49;

q = 1 – p = 1 – 0,49 = 0,51.

Формула Бернулли:

Всего шесть детей, значит n =6.

Надо найти вероятность того, что среди них точно одна девочка, значит m = 1.

Ответ:

8) Отрезок AB разделен точной C в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошено 6 точек. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. Найти вероятность того, что более одной точки окажется правее точки C .

Решение

Событие A – случайная точка попала на отрезок CB (правее точки C ).

Так как C делит AB в отношении 2:1, то:

2CB =AC ;

2CB +CB =AC +CB ;

3CB =AB ;

Опираясь на геометрическое определение вероятности, получаем:

Формула Бернулли.

Задания ЕГЭ (текстовые задачи)

Проценты, сплавы, смеси.

Диагностическая работа.

1. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов 10%-ного раствора было взято?

2. Два сосуда с раствором щёлочи разных концентраций (по объёму) содержат вместе 20 л раствора. Первый сосуд содержит 4 л щёлочи, а второй – 6 л. Сколько процентов щёлочи содержит первый сосуд, если второй содержит щёлочи на 40% меньше первого?

3. Сплав золота с серебром, содержащий 80г золота, сплавили со 100г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

4. Два литра 6%-ного уксуса разбавили тремя литрами 1%-ного уксуса. Каково процентное содержание уксуса в полученном растворе?

5. При распродаже летней коллекции одежды скидка составила 40%, а прибыль, получаемая магазином, снизилась до 20% от первоначальной прибыли. Сколько процентов прибыли получал магазин до распродажи?

6. Мария Павловна открыла счёт в банке на сумму 20 тыс. руб. Через год, после начисления банком процентов, она пополнила счёт на 30 тыс. руб. Ещё через год сумма на её счёте составила 60950 руб. Определите, сколько процентов годовых выплачивает банк по виду вклада, открытого Марией Павловной?

Решение заданий диагностической работы.

КОНЦЕНТРАЦИЯ раствора – это процентное отношение массы растворённого вещества к массе всего раствора.

https://pandia.ru/text/80/172/images/image002_15.png" width="79" height="113">

(600-х ) г х г 600 г

Пусть х г – 10%-ного раствора соляной кислоты, тогда 30%-ного раствора будет (600-х ) г. Т. к. масса соляной кислоты в 15%-ном растворе складывается из масс соляной кислоты 30%-ного и 10%-ного растворов, то найдём сначала эти массы.

1) 100% – 600 г

15% – ?(г) 600·0,15=90(г) – масса соляной кислоты в

15%-ном растворе;

2) 100% – х г

10% – ?(г) (0,1х ) г – масса соляной кислоты в

10%-ном растворе;

3) 100% – (600-х ) г

30% – ?(г) ((600-х )·0,3) г – масса соляной кислоты в

30%-ном растворе;

4) Составим уравнение:

0,1х + (600-х )·0,3 = 90;

0,1х + 180 – 0,3х = 90;

– 0,2х = 90 – 180;

0,2х = 90;

х = 450.

Получили: 450 г 10%-ного раствора было взято.

Ответ: 450 г.

https://pandia.ru/text/80/172/images/image004_8.png" width="79"> 4 л + 6л

щёлочи щёлочи

?% на 40% меньше

20 л раствора

Пусть х л – объём I раствора, тогда (20– х ) л – объём II раствора;

Найдём концентрацию каждого раствора:

1) 100% – х (л)

?% – 4 л ·100% – концентрация I раствора;

2) 100% – (20– х ) л

? % – 6 л ·100% – концентрация II раствора.

3) Так II раствор содержит щёлочи на 40% меньше, чем I, то составим уравнение:

; ОДЗ:

Умножим всё уравнение на х· (20– х ), получим:

400· (20– х ) – 600х = 40х· (20– х );

8000 – 400х – 600х = 800х – 40х 2;

40х 2 – 1800х + 8000 = 0;

х 2 – 45х + 200 = 0;

х 1 = 40, х 2= 5.

Получили: т. к. объём одного раствора не может быть больше общего объёма двух растворов, то объём I раствора – 5л, а объём II раствора 20 – 5= 15(л). Тогда I раствор содержит ·100% = 80% щёлочи.

Ответ: 80%.

3. I сплав II сплав

золото 100г золото

?(г) золото?(г)

cеребро cеребро

На 20% золота >

Пусть х (г) – масса серебра, тогда масса I сплава – (80+х ) г, масса II сплава – (180+х ) г. Найдём процентное содержание золота:

1) I сплав 100% – (80+х ) г

– процентное содержание золота в I сплаве;

2) II сплав 100% – (180+х ) г

– процентное содержание золота во II сплаве;

3) так как во втором сплаве процентное содержание золота на 20% больше, чем в первом, составим уравнение:

; ОДЗ:https://pandia.ru/text/80/172/images/image023_3.png" width="136 height=41" height="41">

умножим всё уравнение на (80+х )·(180+х ), получим

900·(80+х ) – 400·(180+х ) = (80+х )·(180+х );

72000+900х – 72000 – 400х = 14400 + 180х + 80х + х 2 ;

х 2 – 240х + 14400 = 0;

(х – 120)2 = 0;

х – 120 = 0;

х = 120;

получили 120 г – масса серебра в сплаве.

Ответ: 120 г.

4. 1 раствор 2 раствор новый раствор

https://pandia.ru/text/80/172/images/image025_3.png" width="71" height="2 src="> + =

6% уксуса 1% уксуса?% уксуса

6% – ?(л) 2·0,06 = 0,12(л) – объём уксуса в 1 растворе;

1% – ?(л) 3·0,01 = 0,03(л) – объём уксуса во 2 растворе;

3) 0,12 + 0,03 = 0,15(л) – объём уксуса в новом растворе;

?% – 0,15л 0,15: 5 ·100% = 3% – процентное содержание уксуса в новом растворе.

Ответ: 3%.

5. Прибыль – это разность между ценой товара, которую назначил магазин, и закупочной ценой товара (цена товара, по которой его покупал магазин).

Пусть у – это закупочная цена товара, а х – прибыль, тогда цена товара в магазине – (у + х ).

1) Так как скидка составила 40%, то

100% – (у + х )

60% – ? 0,6·(у + х ) – новая цена товара;

2) Так как закупочная цена осталась прежней то

0,6·(у + х ) – у = 0,6у + 0,6х – у = 0,6х – 0,4у – новая прибыль;

3) Так как прибыль снизилась до 20% от первоначальной прибыли, то

100% – х

20% – (0,6х – 0,4у )

Составим уравнение: (0,6х – 0,4у ) : 0,2 = х ;

3х – 2у = х ;

2х = 2у ;

х = у ;

т. е. прибыль была равна закупочной цене, поэтому составляла 100%.

Ответ: 100%.

6. Пусть х % – это вклад + годовые банка.

100% – 20000 руб

вклад годовые

https://pandia.ru/text/80/172/images/image028_2.png" height="46">.png" width="277" height="12">х % – ?(руб)

Вклад через год 30000 руб

https://pandia.ru/text/80/172/images/image035_2.png" height="57">

х % – ?(руб)

Вклад через год

1) 100% – 20000 руб

х % – ?(руб)

(руб) после 1-ого года;

2) 100% – (30000 + 200х ) руб

х % – ?(руб)

(руб) после 2-ого года;

3) Так как это составило 60950 руб, то составим уравнение:

300х + 2х 2 = 60950;

2х 2 + 300х – 60950 = 0;

разделим всё уравнение на 2, получим

х 2 + 150х – 30475 = 0;

Д = 1502 – 4·(– 30475) = 22500 + 121900 = 144400 = 382;

Получили 115% – 100% = 15% годовых выплачивает банк по вкладу.

Ответ: 15%.

Тренировочные задания.

1. Нахождение процента от числа.

1) Банк обещает своим клиентам рост вклада на 10%. Какую сумму денег может получить через год человек, вложивший в этот банк 4500р.?

2) В референдуме приняли участие 60% всех жителей города, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие в референдуме, если в городе 150 тыс. жителей, а право голоса имеют 83%?

3) В течение января цена на яблоки выросла на 30%, а в течение февраля – на 20%. На сколько процентов поднялась цена за два месяца?

4) Скорость моторной лодки по течению равна 15,6 км/ч, а скорость против течения на 25% меньше, чем скорость по течению. Найдите скорость движения лодки по озеру.

5) Цена товара сначала уменьшилась на 20%, а затем увеличилась на 25%. Какой стала цена товара после двух изменений, если первоначальная цена составляла 200 рублей.

6) За выступление группы гимнастов 30% судей поставили по 5 баллов, 40% судей – по 4 балла, двое судей – по 3 балла, остальные – по 2 балла. Сколько было судей, если средний балл за выступление оказался равен 3,9?

7) Предприятию было выделено для сотрудников 120 садовых участков. Из них 25% участков ещё не освоено, а на освоенных участках построены деревянные и кирпичные дома (по одному на участке). Сколько построено кирпичных домов, если их число составляет 20% от числа деревянных домов ?

2. Нахождение числа по проценту.

1) Цена на фотоаппараты в течение месяца упала сначала на 18%, а затем на 20% и составила 3280р. Какой была цена на эти фотоаппараты в начале месяца?

2) Цена альбома снизилась на 15%, а затем на от новой цены. Цена альбома после двух снижений составили 30 руб. Какова была первоначальная цена альбома?

3) Токарь получил заказ обработать некоторое число деталей. В первый день он обработал половину всех деталей и ещё 2 детали. А во второй день 25% оставшихся деталей и последние 6 деталей. Какой заказ получил токарь?

4) При использовании воды в системе охлаждения автомобиля образуется накипь и расход топлива возрастает на 10%. Какой расход топлива будет после удаления накипи, если до её удаления он составляет 8,5 литра на 100 км? Ответ округли с точностью до 0,1.

5) Оля решила купить две книги: первая стоит 56% всех её денег, а вторая – 64%, и поэтому у неё не хватило на покупку этих книг 15 р. Сколько стоят обе книги вместе?

6) Свежие грибы содержат 90% воды, а сушёные – 12%. Сколько сушёных грибов получится из 22 кг свежих?

3. Нахождение процентного отношения чисел.

1) В некотором городе единый проездной билет стоит 600 р. Сколько процентов от начисленной зарплаты составляет цена проездного билета, если после вычета 13%-го налога работником получено 10440 р.?

2) Цена одной пластинки жевательной резинки составляет 4,5 р. Цена упаковки (10 пластинок) 36 р. Насколько процентов цена пластинки в упаковке меньше, чем цена отдельной пластинки?

3) Длину прямоугольника увеличили на 20%, а ширину – на 25%. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

4) Число мальчиков в спортивной секции составляет 80% от числа девочек. Какой процент составляет число девочек от числа мальчиков?

5) Цена товара возросла на 25%. На сколько процентов надо её снизить, чтобы получить первоначальную цену?

4. Задачи на все действия с процентами.

1) В магазине в феврале цена на товар увеличились 50%, в марте – уменьшились на 10%, в апреле – увеличились в 2 раза, в мае – уменьшились в 3 раза. Как изменились цена в мае по сравнению с январём?

2) Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 20 кг морской, чтобы концентрация соли в ней уменьшилась с 3% до 2%?

3) В общественном транспорте города N 14% пассажиров читают фантастику. Из них 73% – мужчины, из которых 70% в возрасте до 35 лет. Сколько процентов всех пассажиров составляют мужчины в возрасте до 35 лет, читающие фантастику? Ответ округлите до десятых.

4) Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 24 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал 40% меди?

5) В сосуде находится 10% раствор спирта..png" width="16" height="41"> первоначальной массы. Какое процентное содержание спирта оказалось окончательно в сосуде?

6) Имеются два раствора цемента, состоящие из воды, песка и цемента. Известно, что первый раствор содержит 10% воды, а второй – 40% цемента. Процентное содержание песка в первом растворе в два раза больше, чем во втором. Смешав 300 кг первого раствора и 400 кг второго раствора, получили новый раствор, в котором оказалось 30% песка. Сколько килограммов цемента содержится в получившемся растворе?

Самостоятельная работа.

1. Мальчик в первый день прочитал треть книги и ещё 12 страниц, а во второй день 25% оставшегося числа страниц и последние 9 страниц. Сколько страниц в книге?

2. Все 16 тысяч жителей на острове положительно относятся к спорту. 75% из них занимаются спортом активно. Из пассивных любителей спорта 20% от их числа являются заядлыми болельщиками , но только 10% этих болельщиков не пропускают ни одного выступления любимого спортсмена или команды. Сколько жителей на острове являются пассивными любителями спорта, притом заядлыми болельщиками, но считающими возможным пропустить некоторые из любимых соревнований?

3. Число женщин, работающих в цехе завода, составляет 25% числа мужчин, работающих в этом цехе. Сколько процентов составляет число мужчин цеха от числа женщин, работающих в этом цехе?

4. Цена товара снизилась на 20%. На сколько процентов надо её повысить, чтобы получить первоначальную?

5. За контрольную работу 25% учащихся получили «5», 40% – «4», 8 человек – «3», остальные – «2». Средний балл оказался равным 3,75. Сколько учеников в классе?

6. Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг цинка, сплавили с 15 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось по сравнению с первоначальным на 30%. Какова была первоначальная масса сплава, если известно, что она была меньше 20 кг?

7. Молокозавод планирует увеличить выпуск продукции на 10%. На сколько процентов увеличится чистая прибыль завода, если отпускная цена его продукции возросла на 15%, а её себестоимость для завода, которая до этого составляла отпускной цены, увеличилась на 20%?

8. Бетономешалка содержит раствор цемента, состоящий из цемента, песка и воды. Из бетономешалки вылили https://pandia.ru/text/80/172/images/image046_1.png" width="16" height="41 src="> первоначального объёма раствора. При этом раствор цемента стал содержать 27% цемента. Сколько процентов цемента изначально было в растворе?

9. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Соединив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Сколько килограммов олова содержится в получившимся сплаве?

ОТВЕТЫ

	Тренировочные задания	Самостоятельная работа

Разработка содержит тренировочные задания для отработки навыков решения заданий в формате ЕГЭ - текстовых задач части В на проценты, части, сплавы. Из опыта работы я знаю, что именно эти задачи очень часто вызывают убольшинства выпускников затруднения. В разработке присутствует диагностическая работа с решениями для определения уровня знаний и умений учащегося в данной области. Затем идёт набор тренировочных заданий по теме от простых к более сложным, т.е. можно в зависимости от результатов, полученных при решении диагностической работы, варировать работу с тренировочными заданиями. Заканчивается разработка самостоятельной работой с ответами для проверки усвоения пройденного и определения необходимости в дальнейшем повторении этих тем.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Задания ЕГЭ (текстовые задачи)

Проценты, сплавы, смеси.

Диагностическая работа.

1. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов 10%-ного раствора было взято?
2. Два сосуда с раствором щёлочи разных концентраций (по объёму) содержат вместе 20 л раствора. Первый сосуд содержит 4 л щёлочи, а второй – 6 л. Сколько процентов щёлочи содержит первый сосуд, если второй содержит щёлочи на 40% меньше первого?
3. Сплав золота с серебром, содержащий 80г золота, сплавили со 100г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?
4. Два литра 6%-ного уксуса разбавили тремя литрами 1%-ного уксуса. Каково процентное содержание уксуса в полученном растворе?
5. При распродаже летней коллекции одежды скидка составила 40%, а прибыль, получаемая магазином, снизилась до 20% от первоначальной прибыли. Сколько процентов прибыли получал магазин до распродажи?
6. Мария Павловна открыла счёт в банке на сумму 20 тыс. руб. Через год, после начисления банком процентов, она пополнила счёт на 30 тыс. руб. Ещё через год сумма на её счёте составила 60950 руб. Определите, сколько процентов годовых выплачивает банк по виду вклада, открытого Марией Павловной?

Решение заданий диагностической работы.

КОНЦЕНТРАЦИЯ раствора – это процентное отношение массы растворённого вещества к массе всего раствора.

+ =

30% 10% 15%

(600- х ) г х г 600 г

Пусть х г – 10%-ного раствора соляной кислоты, тогда 30%-ного раствора будет (600- х ) г. Т.к. масса соляной кислоты в 15%-ном растворе складывается из масс соляной кислоты 30%-ного и 10%-ного растворов, то найдём сначала эти массы.

1. 100% – 600 г

15% – ?(г) 600·0,15=90(г) – масса соляной кислоты в

15%-ном растворе;

1. 100% – х г

10% – ?(г) (0,1 х ) г – масса соляной кислоты в

10%-ном растворе;

1. 100% – (600- х ) г

30% – ?(г) ((600- х )·0,3) г – масса соляной кислоты в

30%-ном растворе;

1. Составим уравнение:

0,1 х + (600- х )·0,3 = 90;

0,1 х + 180 – 0,3 х = 90;

– 0,2 х = 90 – 180;

0,2 х = 90;

х = 450.

Получили: 450 г 10%-ного раствора было взято.

Ответ: 450 г.

I II

4 л + 6л

Щёлочи щёлочи

?% на 40% меньше

20 л раствора

Пусть х л – объём I раствора, тогда (20– х ) л – объём II раствора;

Найдём концентрацию каждого раствора:

1. 100% – х (л)

?% – 4 л ·100% – концентрация I раствора;

1. 100% – (20– х ) л

? % – 6 л ·100% – концентрация II раствора.

1. Так II раствор содержит щёлочи на 40% меньше, чем I, то составим уравнение:

; ОДЗ:

Умножим всё уравнение на х· (20– х ), получим:

400 · (20– х ) – 600 х = 40 х· (20– х );

8000 – 400 х – 600 х = 800 х – 40 х 2 ;

40 х 2 – 1800 х + 8000 = 0;

х 2 – 45 х + 200 = 0;

х 1 = 40, х 2 = 5.

Получили: т.к. объём одного раствора не может быть больше общего объёма двух растворов, то объём I раствора – 5л, а объём II раствора 20 – 5= 15(л). Тогда I раствор содержит ·100% = 80% щёлочи.

Ответ: 80%.

1. I сплав II сплав

80г 180г

Золото 100г золото

+ =

?(г) золото?(г)

Cеребро cеребро

На 20% золота >

Пусть х (г) – масса серебра, тогда масса I сплава – (80+ х ) г, масса II сплава – (180+ х ) г. Найдём процентное содержание золота:

1. I сплав 100% – (80+ х ) г

?% – 80 г

– процентное содержание золота в I сплаве;

1. II сплав 100% – (180+ х ) г

?% – 180 г

– процентное содержание золота во II сплаве;

1. так как во втором сплаве процентное содержание золота на 20% больше, чем в первом, составим уравнение:

; ОДЗ:

разделим всё уравнение на 20, получим

умножим всё уравнение на (80+ х )·(180+ х ), получим

900·(80+ х ) – 400·(180+ х ) = (80+ х )·(180+ х );

72000+900 х – 72000 – 400 х = 14400 + 180 х + 80 х + х 2 ;

х 2 – 240 х + 14400 = 0;

(х – 120) 2 = 0;

х – 120 = 0;

х = 120;

получили 120 г – масса серебра в сплаве.

Ответ: 120 г.

1. 1 раствор 2 раствор новый раствор

+ =

2 л 3 л 5 л

6% уксуса 1% уксуса?% уксуса

1. 100% – 2л

6% – ?(л) 2·0,06 = 0,12(л) – объём уксуса в 1 растворе;

1. 100% – 3л

1% – ?(л) 3·0,01 = 0,03(л) – объём уксуса во 2 растворе;

1. 0,12 + 0,03 = 0,15(л) – объём уксуса в новом растворе;

1. 100% – 5л

?% – 0,15л 0,15: 5 ·100% = 3% – процентное содержание уксуса в новом растворе.

Ответ: 3%.

1. Прибыль – это разность между ценой товара, которую назначил магазин, и закупочной ценой товара (цена товара, по которой его покупал магазин).

Пусть у – это закупочная цена товара, а х – прибыль, тогда цена товара в магазине – (у + х ).

1. Так как скидка составила 40%, то

100% – (у + х )

60% – ? 0,6·(у + х ) – новая цена товара;

1. Так как закупочная цена осталась прежней то

0,6·(у + х ) – у = 0,6 у + 0,6 х – у = 0,6 х – 0,4 у – новая прибыль;

1. Так как прибыль снизилась до 20% от первоначальной прибыли, то

100% – х

20% – (0,6 х – 0,4 у )

Составим уравнение: (0,6 х – 0,4 у ) : 0,2 = х ;

3 х – 2 у = х ;

2 х = 2 у ;

х = у ;

т.е. прибыль была равна закупочной цене, поэтому составляла 100%.

Ответ: 100%.

6. Пусть х % – это вклад + годовые банка.

100% – 20000 руб

Вклад годовые

х % – ?(руб)

Вклад через год 30000 руб

х % – ?(руб)

Вклад через год

60950руб

1. 100% – 20000 руб

Х % – ?(руб)

(руб) после 1-ого года;

1. 100% – (30000 + 200 х ) руб

Х % – ?(руб)

(руб) после 2-ого года;

1. Так как это составило 60950 руб, то составим уравнение:

300 х + 2 х 2 = 60950;

2 х 2 + 300 х – 60950 = 0;

разделим всё уравнение на 2, получим

х 2 + 150 х – 30475 = 0;

Д = 150 2 – 4·(– 30475) = 22500 + 121900 = 144400 = 38 2 ;

Получили 115% – 100% = 15% годовых выплачивает банк по вкладу.

Ответ: 15%.

Тренировочные задания.

1. Нахождение процента от числа.

1. Банк обещает своим клиентам рост вклада на 10%. Какую сумму денег может получить через год человек, вложивший в этот банк 4500р.?
2. В референдуме приняли участие 60% всех жителей города, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие в референдуме, если в городе 150 тыс. жителей, а право голоса имеют 83%?
3. В течение января цена на яблоки выросла на 30%, а в течение февраля – на 20%. На сколько процентов поднялась цена за два месяца?
4. Скорость моторной лодки по течению равна 15,6 км/ч, а скорость против течения на 25% меньше, чем скорость по течению. Найдите скорость движения лодки по озеру.
5. Цена товара сначала уменьшилась на 20%, а затем увеличилась на 25%. Какой стала цена товара после двух изменений, если первоначальная цена составляла 200 рублей.
6. За выступление группы гимнастов 30% судей поставили по 5 баллов, 40% судей – по 4 балла, двое судей – по 3 балла, остальные – по 2 балла. Сколько было судей, если средний балл за выступление оказался равен 3,9?
7. Предприятию было выделено для сотрудников 120 садовых участков. Из них 25% участков ещё не освоено, а на освоенных участках построены деревянные и кирпичные дома (по одному на участке). Сколько построено кирпичных домов, если их число составляет 20% от числа деревянных домов?

1. Нахождение числа по проценту.

1. Нахождение процентного отношения чисел.

1. В некотором городе единый проездной билет стоит 600 р. Сколько процентов от начисленной зарплаты составляет цена проездного билета, если после вычета 13%-го налога работником получено 10440 р.?
2. Цена одной пластинки жевательной резинки составляет 4,5 р. Цена упаковки (10 пластинок) 36 р. Насколько процентов цена пластинки в упаковке меньше, чем цена отдельной пластинки?
3. Длину прямоугольника увеличили на 20%, а ширину – на 25%. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?
4. Число мальчиков в спортивной секции составляет 80% от числа девочек. Какой процент составляет число девочек от числа мальчиков?
5. Цена товара возросла на 25%. На сколько процентов надо её снизить, чтобы получить первоначальную цену?

4950