Выявление структуры временного ряда. Общие составляющие уровней временного ряда
1.7 Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда
Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания.
Простейший подход- расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой, сезонной и случайной компонент. Общий вид мультипликативной модели выглядит так:
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой, сезонной и случайной компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.
Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений трендовой, циклической и случайной компонент для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.
1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты.
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной или мультипликативной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней и расчет значений тренда с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений или
6. Расчет абсолютных и относительных ошибок.
Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
После удаления тенденции (тренда) из временного ряда мы получим стационарный временной ряд. Его можно рассматривать как выборку Т последовательных наблюдений через равные промежутки времени из существенно более продолжительной (генеральной последовательности случайных величин. При этом статистические выводы делаются относительно вероятностной структуры генеральной последовательности. Такую последовательность удобно считать простирающейся неограниченно в будущее и, возможно, в прошлое. Последовательность случайных величин у 1 , у 2 , . . . или. . ., у -1 , у 0 , у 1 , . . . называется случайным процессом с дискретным параметром времени.
Несмотря на полную произвольность вероятностных моделей последовательностей случайных величин, полезно отличать случайные процессы от множества случайных величин этого процесса, учитывая понятие времени. Грубо говоря, в случайном процессе наблюдения, разделённые небольшими промежутками времени, близки по значениям в отличие от наблюдений, далеко отстоящих друг от друга во времени. Более того, модель значительно упрощается после расширения конечной последовательности наблюдений до бесконечной.
Одним из таких упрощений является свойство стационарности . Будем считать, что поведение множества случайных величин с вероятностной точки зрения не зависит от времени.
Случайный процесс y(t) с непрерывным параметром времени можно определить для 0 ≤ t < ∞ или -∞ < t < ∞ и рассматривать с привлечением вероятностной меры на пространстве функций y(t). Выборка из такого процесса состоит из наблюдений в конечном числе точек времени, или из непрерывных наблюдений в интервале времени.
Наблюдение процесса, часто называемое реализацией , есть точка в соответствующем бесконечномерном пространстве, где определена вероятностная мера. Вероятность определяется на некоторых множествах, называемых измеримыми. Этот класс множеств включает вместе с любым множеством его дополнение, а также объединение и пересечение счётного числа множеств этого класса; вероятностная мера на этом классе множеств определяется таким образом, что вероятность объединения непересекающихся множеств равна сумме вероятностей отдельных множеств.
Практически мы интересуемся вероятностями, которые связаны с конечным числом случайных величин. Эти вероятности включают в себя функцию совместного распределения.
1.9 Применение быстрого преобразования Фурье к стационарному временному ряду
Одно из назначений преобразования Фурье- выделять частоты циклических составляющих временного ряда, содержащего случайную компоненту.
Пусть число данных N представимо в виде N = N 1 N 2 . Тогда можно записать
t = t 1 + (t 2 -1)N 1 , t 1 = 1, . . ., N 1 , t 2 = 1, . . ., N 2 ;
j = j 1 + j 2 N 2 , j 1 = 0, . . ., N 2 – 1 , j 2 = 0, . . ., N 1 - 1;
Отметим, что a N – j = a j и b N – j = - b j . Искомые коэффициенты являются соответственно действительной и мнимой частями суммы:
Для их отыскания вычислим сначала величины
Для каждой пары (j 1 , t 1) , j 1 = 0, . . ., N 2 – 1 и t 1 = 0, . . ., N 1 . Поскольку
и ,то существует около N 1 N 2 /2 = N/2 таких пар. После этого находятся действительная и мнимая части суммы (1.9.1):
для j = 0,1, . . ., . Число операций умножения приближённо равно N 2 N в первых суммах и 2N 1 N во вторых суммах, так что число операций умножения в целом составляет примерно N (N 2 + 2N 1). В то же время число произведений в определении коэффициентов a j и b j , j=0,1, . . ., примерно равно N 2 . ,
Для каждого момента (периода) времени t = 1: N значение компоненты e t для аддитивной модели определяется как
, - сумма циклической и трендовой компонент, а для мультипликативной модели: - произведение циклической и трендовой компонент.Ошибки измерений нам неизвестны, а известны лишь эмпирические остатки.
Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками метода наименьших квадратов остатки e t должныбыть случайными. Однако при моделировании временных рядов часто встречаются ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.
Автокорреляция остатков может быть вызвана следующими причинами, имеющими различную природу. Во-первых , иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во-вторых , в ряде случаев причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. Модель может не включать фактор, существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включённых в модель.
Либо модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно в виду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний.
Существует два наиболее распространённых метода определения автокорреляции остатков. Первый метод – это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – использование критерия Дарбина – Уотсона.
Дж. Дарбин и Г. Уотсон построили таблицы, дающие нижние и верхние пределы порогов значимости. Эти таблицы достаточны для большинства конкретных ситуаций. Рассмотрим логические основания критерия.
Выражение
(1.10.1)представляет собой «отношение фон Неймана», применённое к остаткам оценки. Этот критерий имеет эффективность аналогичную таковой для критерия r 1 , первого коэффициента автокорреляции остатков. Из предыдущей главы известно, что этот критерий будет особенно мощным, если ошибки следуют авторегрессинному процессу первого порядка. Таким образом, он, по-видимому, хорошо приспособлен для экономических моделей.
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО - ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ
ЭКОНОМЕТРИКА
Тема 2. Временные ряды.
(для студентов 2-го образования)
(Материалы к лекции)
ОРЛОВА И. В.
Материалы к лекции по теме Временные ряды содержат разделы из учебного пособия
3.4. Анализ временных рядов
3.4.1. Основные понятия и определения
Шаг наблюдений;
Интервал времени;
Методику расчета;
Элементы, относящиеся к неизменной совокупности.
Однородность данных означает отсутствие сильных изломов тенденций, а также аномальных (т. е. резко выделяющихся, нетипичных для данного ряда) наблюдений. Аномальные наблюдения проявляются в виде сильного изменения уровня – скачка или спада – с последующим приблизительным восстановлением предыдущего уровня. Наличие аномалии резко искажает результаты моделирования. Поэтому аномальные наблюдения необходимо исключить из временного ряда, заменив их расчетными значениями
Устойчивость характеризуется преобладанием закономерности над случайностью в изменении уровней ряда. На графиках устойчивых временных рядов закономерность прослеживается визуально, на графиках неустойчивых рядов изменения последовательных уровней представляются хаотичными, и поэтому поиск закономерностей в формировании значений уровней таких рядов лишен смысла.
Требование полноты данных обусловливается тем, что закономерность может обнаружиться лишь при наличии минимально допустимого объема наблюдений.
Следует иметь в виду, что при исследовании временных рядов экономических данных проверка выполнимости перечисленных требований в должной мере зачастую невозможна. Поэтому выводы, полученные на базе формально-статистического инструментария, должны восприниматься с осторожностью и дополняться содержательным анализом.
3.4.2. Этапы построения прогноза по временным рядам.
экстраполяционное прогнозирование экономических процессов, представленных одномерными временными рядами, сводится к выполнению следующих основных этапов:
1) предварительный анализ данных;
2) построение моделей: формирование набора аппроксимирующих функций (кривых роста) и численное оценивание параметров моделей;
3) проверка адекватности моделей и оценка их точности;
4) выбор лучшей модели;
5) расчет точечного и интервального прогнозов
Предварительный анализ данных.
В ходе предварительного анализа определяют соответствие имеющихся данных требованиям, предъявляемым к ним математическими методами (объективности, сопоставимости, полноты, однородности и устойчивости); строится график динамики и рассчитываются основные динамические характеристики (приросты, темпы роста, темпы прироста, коэффициенты автокорреляции).
Для получения общего представления о динамике исследуемого показателя целесообразно построить его график. При графическом отображении динамики показателя во времени по оси абсцисс откладываются значения переменной t, а по оси ординат - соответствующие значения показателя Y(t).
К процедурам предварительного анализа относятся:
· выявление аномальных наблюдений;
· проверка наличия тренда;
· сглаживание временных рядов;
· расчет показателей развития динамики экономических процессов.
Так как наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, то необходимо убедиться в отсутствии аномалий данных. Поэтому процедура выявления аномальных наблюдений является обязательной процедурой этапа предварительного анализа данных. Для диагностики аномальных наблюдений разработаны различные критерии, например, метод Ирвина }
- Граница между европой и азией Америка относится к европе
- Как экономить деньги при маленькой зарплате?
- Порядок получения жилищной субсидии для военнослужащих
- Лимит кассы: нормативная база и сроки установления лимита
- Полная система вычетов Алгебраическая форма комплексного числа
- Модель «Совокупный спрос – совокупное предложение Увеличение совокупного спроса вызывает
- Что называется периодом в физике
- Виды и типы недвижимости, их экономическая составляющая Поля инициализаторов типа
- Экономика, население и города Чеченской Республики
- Особенности проведения региональной программы материнский капитал в московской области Региональный материнский капитал программе семья
- Должностная инструкция страхового агента росгосстрах
- Учет материалов на складе и в бухгалтерии
- На вопрос «Можно ли строить дом без разрешения на строительство?
- Ип на осно какие налоги платит?
- Доходы и расходы будущих периодов Как распределить расходы, затрагивающие несколько налоговых периодов
- Экономические циклы, их особенности и виды
- Необходимо знать от чего зависят цены на жилье
- Контрольная работа: Экономическая мысль Древней Греции
- Бухгалтерские проводки по реализации товаров и услуг 1с бухгалтерия 8
- Оборотные активы организации