Можно ли изменить схему начисления процентов. Простые и сложные ставки ссудных процентов

Сущность процентов и процентных ставок

ТЕМА 3. ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

11.02.13

Проценты – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты, т.д.), либо от инвестиций производственного и финансового характера.

Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процентов. Она определяется как отношение дохода, выплачиваемого за использование капитала в течение определенного периода времени к величине этого капитала.

Таким образом, величина получаемого дохода, то есть процентов, зависит от величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки.

Множитель, или коэффициент наращения , - это величина, показывающая во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления – это минимальный период по прошествии которого происходит начисление процентов.

Процентные ставки могут быть либо простыми , если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления, либо сложными, если по прошествии каждого интервала начисления они применяются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов.

В большинстве коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений или выплат в течение определенного периода. Такая последовательность называется потоком платежей. Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между ними называется аннуитетом, или финансовой рентой.

Наиболее распространенные примеры аннуитета – регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам (аннуитет называется дивидендом ).

Простые проценты применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты.

Введем следующие обозначения:

· П – проценты за весь срок

· Р – первоначальная сумма

· С – сумма, образовавшаяся к концу срока, или наращенная сумма

· А – ставка процентов в идее десятичной дроби

· n – число периодов

Процесс изменения суммы долга с наращенными простыми процентами описывается арифметической прогрессией:

Р+Р*А=РР*(1+А)

Р*(1+А)+Р*А = Р*(1+2А)

С = Р*(1+n*А)

Это выражение называется формулой простых процентов, а множитель (1+n*А) – множителем наращения простых процентов.

Если срок начисления процентов меньше периода, на который установлена процентная ставка, то формула простых процентов приобретает вид:

С = Р*(1+Т/К*А ),

где Т – число дней ссуды, К – число дней в году

За базу измерения времени часто берут год условно состоящий из 360-ти дней, то есть 12 месяцев по 3- дней. В этом случае вычисляют обыкновенный или коммерческий процент. В отличие от него точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году 365 или 366. В свою очередь определения числа дней ссуды может быть точным или приближенным. В первом случае подсчитывается фактическое число дней между двумя датами, во втором продолжительность ссуды определяется количеством целых месяцев и дней ссуды, причем месяц принимается равным 30-ти дням.

В том и в другом случае дата выдачи и дата погашения считается за 1 день. В связи с этим применяется 3 варианта расчета:

· точные проценты с точным числом дней ссуды

· обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды

· обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды

Сложные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом процентных ставок, применяемых в различных финансовых операциях. Если после каждого интервала начисления доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулу сложных процентов.

Таким образом, наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления.

Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся в геометрической прогрессии:

Р+Р*А = Р*(1+А)

Р*(1+А)++Р*(1+А)*А = Р*(1+А) 2

С = Р*(1+А) n

Это выражение называется формулой сложных процентов, а (1+А) n – множителем наращения сложных процентов.

Начисление сложных процентов может осуществляться на один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов – это годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке An эта величина считается равной An/m. Тогда формула сложных процентов будет иметь вид:

n – число лет ссуды

m – количество интервалов начислений в год

Можно определить годовую ставку сложных процентов, которая дает тот же финансовый результат, что и m разовое наращение в год по стае Аn/m – эта ставка называется эффективной и определяется:

Аэ = (1+An/m) m – 1

Часто встречаются ситуации когда финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет. Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то проценты могут начисляться одним из двух методов:

· по схеме сложных процентов:

С = Р*(1+An/m) n + l

· по смешанной схеме, когда для целого числа лет используется схема сложных процентов, а для дробной части года – схема простых процентов:

C = P*(1+An/m) n*m +P(1+l*An/m)

n – целое число лет, l – дробная часть года

Все рассмотренные выше проценты называются дискретными, так как их начисление осуществляется за фиксированный промежуток времени (год, месяц, квартал, день). В РФ этот вид начисления процентов является наиболее распространенным. В мировой практике также применяется так называемое непрерывное начисление сложных процентов, то есть когда продолжительность интервала начисления стремится к 0, а их количество к бесконечности. В РФ это способ начисления процентов практически не применяется.

Множественность способов начисления процентных ставок вызывает необходимость их корректного сопоставления. Для этого при расчетах, проводимых по различным финансовым операциям, определяются так называемые эквивалентные процентные ставки.

Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент дл их сравнения.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнение эквивалентности , принцип составления которых заключается в следующем: выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок. Обычно это наращенная сумма. На основе равенства двух выражений для данной величины составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.

Имеющие сбережения заинтересованы в их сохранности и получении дополнительного дохода. Поэтому, выбрав надежный банк, вкладчики изучают условия и подсчитывают возможную прибыль. В большинстве случаев на вклады банки предлагают начисление сложных процентов.

Что это такое, чем выгодна такая схема, и какова формула сложных процентов по вкладам? Об этом расскажем ниже.

Что такое сложный процент?

Этим термином называют эффект, при котором к основной сумме вклада прибавляются проценты прибыли. Например, на вклад в сумме 100 000 рублей банк ежемесячно начисляет проценты.

Допустим, что процентная ставка составляет 10% годовых, и за первый месяц начислено 833 рубля. В следующем месяце на вкладе образуется сумма в размере 10 833 рубля, и на нее банк будет начислять проценты.

Таким образом, за второй месяц вкладчик получит доход уже 840 рублей, и так далее. Поэтому, размещая в банке депозит с капитализацией, можно получить больше прибыли, чем по вкладу с возможным снятием процентов.

Несколько статей по теме:

Приведем простой пример расчета сложных процентов для вклада сроком на три месяца.

Предположим, что на счет была внесена сумма 100 000 рублей под 12% годовых. Если забыть о сложном проценте, то предполагаемая прибыль определяется в 2958 рублей.

Но мы помним о капитализации и проводим расчеты, учитывая ежемесячное начисление процентов. Для наглядности представим расчет в таблице:

Таким образом, вкладчик получит 2988 рублей. Это на 40 рублей больше, чем по схеме простого процента.

Тем, кто знаком с таблицами excel не составит труда сделать подобные расчеты для своих банковских вкладов.

Можно воспользоваться и математической формулой расчета:

S – общая сумма вклада с процентами (то, что получит вкладчик по окончании срока договора);

• Р – базовая сумма, первоначальный размер депозита;
• n –количество периодов начисления процентов (месяцев, лет, кварталов, дней);
• I – годовая процентная ставка.

Например, заключая договор с банком на 12 месяцев под ставку 12% годовых, владелец вклада с капитализацией получит:

S = 100 000 * (1+12/100/12)12 = 112829 руб.

Самые выгодные условия по вкладу

Из предыдущего раздела понятно, что схема с применением сложного процента дает больше прибыли, чем простые варианты. Но вкладчикам стоит знать о том, как банки могут манипулировать цифрами.

Самая распространенная уловка – предложение открыть вклад с начислением дохода в конце срока и увеличением ставки при пролонгации. На первый взгляд, подвоха нет: банк начислит положенный доход, увеличит тариф на следующий сезон.

Но на цифрах это выглядит менее привлекательно: расчеты производятся по формуле простого процента. На депозит в размере 100 000 рублей по ставке 12% годовых банк начислит доход 12 000 рублей. Условия договора могут содержать и «подводные камни».

Например, при продлении вклада еще на год, тариф составит 12,5%. А при расторжении договора банк оставляет за собой право начислить доход по ставке 10% годовых.

Еще один распространенный в банках вариант «экономии»– по вкладу с капитализацией начислять доход ежеквартально. Заключая подобный договор, вкладчик может не понимать, в чем его потери. А расчет банка прост: проценты по депозиту начисляются в конце каждого квартала. Соответственно, и капитализация происходит четыре раза в год, а не двенадцать, как при ежемесячном начислении.

Вот пример такого подхода:

Таблица 1. Ежемесячное начисление

Таблица 2. Ежеквартальное начисление

Как видно, разница составляет 132 рубля в пользу банка.

Вкладчикам, которые хотят открыть короткий депозит, например, на несколько дней новогодних каникул, нужно знать о том, что день выдачи средств не считается в общем сроке их использования.

Простыми словами: открывая депозит 30 декабря и забирая деньги 12 января, клиент получит доход за 13 дней, а не за 14: банк не начислит проценты за 12 января.

Как правило, самые выгодные для клиента варианты – это депозиты с капитализацией, ежемесячным начислением и с пополнением. Но банки ставят по таким вкладам не самые высокие тарифы, манипулируя цифрами и ориентируя вкладчиков на длительное размещение средств.

Могут быть и другие нюансы, о которых стоит знать заранее. Поэтому, выбирая банк, нужно ориентироваться не только на величину процентов по вкладам, но и на способ начисления, условия выплаты и дополнительные возможности для вкладчика.

Простые и сложные проценты

Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.

Проценты различаются по базе их начисления. Применяется постоянная или последовательно изменяющаяся база для расчета. В последнем случае за базу применяется сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования, т.е. проценты начисляются на проценты. При постоянной базе используют простые , при измененной - сложные процентные ставки.

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока.

Наращение по простой процентной ставке:

где S - наращенная сумма; P - первоначальная сумма, n - срок, r - ставка наращения (десятичная дробь).

Наращение по сложной процентной ставке:

, (2)

где j - сложная процентная ставка; n - число лет наращения, m - число начислений процентов в году.

Номинальная ставка - это годовая ставка сложных процентов при одноразовом начислении процентов в году по ставке j.

Эффективная ставка - это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов в году по ставке .

Наращение по непрерывной процентной ставке:

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу роста (). Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени.

, (3)

Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам.

Термин дисконтирование употребляется как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени.

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n , необходимо определить сумму полученной ссуды P. Такая ситуация может возникнуть, например при разработке условий контракта. Расчет P по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается , сам процесс начисления процентов и их удержание называется учетом , а удержанные проценты - дисконтом.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования - математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет . В первом случае используется ставка наращения, во втором - учетная ставка.

Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды.

, (4)

Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт. При учете векселя применяется банковский или коммерческий учет, согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.

Для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной - дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная - в наращении.

Ставка Прямая задача Обратная задача

r (6)

d .

Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Например, при d = 20 % уже 5-ти летний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Определение срока ссуды и величины простой процентной ставки

Продолжительность срока ссуды в годах получим, решив уравнения (1) и (5) относительно n:

По этим же уравнениям можно определить и процентные ставки:

Определение срока платежа и сложных процентных ставок.

Продолжительность срока платежа в годах получим, решив уравнения (2) относительно n:

, (11)

Поэтому же уравнению можно определить и сложную процентную ставку:

, (12)

Продолжительность срока платежа в годах при наращении по постоянной силе роста и по изменяющейся с постоянным темпом силе роста получим, решив уравнения (3) относительно n:

, (13)

Поэтому же уравнению можно определить и силе роста :

, (14)

Потоки платежей. Постоянные финансовые ренты

Погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д. - называют потоки платежей .

Потоки платежей могут быть регулярными и нерегулярными. В нерегулярном потоке платежей членами являются как положительные (поступления), так и отрицательные величины (выплаты), а соответствующие платежи могут производиться через разные интервалы времени.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или просто рентой.

Рента характеризуется следующими параметрами: член ренты - размер отдельного платежа, период ренты - временной интервал между двумя последовательными платежами, срок ренты - время от начала первого периода ренты до конца последнего периода, процентная ставка .

По количеству выплат членов ренты на протяжении года, ренты делятся на годовые, P - срочные (P - количество выплат в году), непрерывные (много раз в году).

Обобщенные параметры потоков платежей

Анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной суммы или современной стоимости.

Наращенная сумма -сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость потока платежей - сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.

Допустим, имеется ряд платежей , выплачиваемых спустя время после некоторого начального момента времени, общий срок выплат n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока сумму потока платежей, если проценты начисляются раз в году по сложной ставке j, то:

, (15)

Как видим, наращенную сумму в заданных условиях получают методом прямого счета. Современную стоимость такого потока найдем прямым счетом - как сумму дисконтированных платежей. Обозначив эту величину, как A, получим:

, (16)

где - дисконтный множитель по ставке j.

Между величинами A и S существует функциональная зависимость:

(17)

Очень важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце периодов, то такие ренты называют обыкновенными или постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо.

Годовая рента

В течении n лет в банк в конце каждого года вносится по R руб. На взносы начисляются сложные проценты по ставке % годовых. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты - на первый член ренты начисляются (n-1) раз, на второй (n-2) и т.д.

Несомненно, выгодность банковского вклада, в первую очередь, определяет процентная ставка. Ведь именно на нее ориентируется каждый потенциальный клиент. Но, на самом деле, вкладчику нужно, в частности, обратить внимание не на годовую процентную ставку, а на метод начисления прибыли. Ведь в финансовой системе банка существуют два понятия: простой и сложный процент. А для каждого вкладчика нужно точно знать, что такое простые и сложные проценты понятие и формулы, чтобы определить, какой вклад будет наиболее выгодный для него.

Что такое простой процент

В первую очередь, простой процент – это начисление вознаграждения за размещение вклада на банковском счете за весь период хранения средств. Если говорить простыми словами, то простой процент начисляется лишь по окончании срока действия депозитного договора, он определяется в годовой процентной ставке. Причем, если договор автоматически продлевается на следующий срок, то вознаграждение за предыдущий период не причисляется к телу депозита.

Чтобы максимально точно понять, что такое простая система начисления прибыли рассмотрим пример. Вы разместили в банке 50000 рублей под 7% годовых на один год. По окончании срока действия договора ваша прибыль составит 50000×0,07=3500 рублей. При автоматической пролонгации договора на следующий срок ваша прибыль составит снова 3500 рублей. То есть спустя 2 года вы сможете в банке получить 50000+3500+3500=57000 рублей.

Важно! Формула расчета простых процентов выглядит следующим образом: K=D×p. Где K – сумма прибыли, D – тело депозита, p – годовая процентная ставка (в формуле нужно указывать не годовую ставку, а ставку, деленную на 100).

Если вы размещаете средства на срок меньше чем на один год, то соответственно процентная ставка годовая делится на 12 и умножается на количество месяцев, в течение которых средства были на банковском счете. Например, если срок депозита 3 месяца, а процентная ставка 10% в год, то общая прибыль рассчитывается следующим образом.0,1/12×3=0,025. Например, если вы разместили 50000 рублей сроком на 3 месяца, то прибыль по окончании срока действия договора будет следующий: 50000×0,025=1250 рублей.

Формулы простых и сложных процентов

Сложные проценты по вкладу

Отличие простых процентов от сложных на самом деле довольно большое. При выборе депозитного продукта наверняка каждому приходилось слышать о таком понятии, как капитализация. То есть это та схема начисления прибыли, при которой начисленная прибыль причисляется к телу депозита, а на него в будущем снова начисляется доход.

Обратите внимание, что капитализация осуществляется с определенной периодичностью, например, один раз в неделю, в месяц в квартал или год.

Отсюда можно сделать вывод, что капитализация позволяет получить большую прибыль по сравнению с простым процентом. Чтобы наглядно в этом убедиться рассмотрим формулу расчета сложных процентов, а выглядеть она будет следующим образом: B=(K×H×P/N)/100 , где:

• B – размер начисленной прибыли;
• K – тело депозита;
• H – годовая ставка;
• P – количество дней, в течение которых происходит капитализация;
• N – число дней в году.

Чтобы наглядно понять, как именно будет рассчитываться сложный процент. Рассмотрим простой пример. Сумма депозита 50000 рублей процентная ставка в год 7%, капитализация осуществляется ежемесячно, срок действия договора один год. Произведем расчет прибыли за первый месяц пользования депозитом: B=(50000×7×30/365)/100=287,6 рублей – это прибыль за первый месяц. В следующем периоде расчет будет выглядеть следующим образом: B=(50287,6×7×31/365)/100=298,9 рублей.

Из вышеприведенного примера можно сделать вывод, что капитализация позволяет получать с каждым месяцем большую прибыль по сравнению с предыдущим. Вот только при выборе депозитного предложения обязательно обратить внимание, с какой периодичностью осуществляется капитализация процентов, чем чаще, тем больше выгоды получает клиент.

В чем отличие

На самом деле система начисления процентов по вкладам сильно различается в первую очередь по той причине, что с капитализацией процентов выгода депозита может быть значительно выше, нежели при простой системе. Потому что при простой системе прибыль растет в арифметической прогрессии, а при сложной в геометрической. Чтобы наглядно в этом убедиться, ниже приведена схема сложных процентов в сравнении со схемой простых процентов.

Схема сложных процентов в сравнении со схемой простых процентов

Но, в этом вопросе также есть подводные камни. Условия банковских вкладов строго индивидуальны, поэтому при выборе депозитного продукта в первую очередь обратите внимание на количество периодов капитализации за весь срок действия договора. Например, банк указывает, что по вашему депозитному договору предусмотрена капитализация процентов, но она осуществляется 1 раз в 6 месяцев, то есть первый доход, вы получите спустя полгода после заключения соглашения с банком. При этом вы решили разместить средства лишь на 3 месяца, соответственно, вы получите свои средства раньше, чем банк проведет капитализацию процентов и в данном случае целесообразней выбрать простой расчет процент по вкладу.

Важно! Большинство банков предлагают по одному и тому же депозитному предложению своим клиентам сделать выбор получать прибыль с определенной периодичностью или причислять себя к телу депозита, соответственно, у клиента есть возможность выбрать по какой системе простой или сложной, он хотел бы получать свой доход.

На самом деле понять, в чем состоит принципиальная разница между простыми и сложными процентами достаточно просто, но все же нюанс заключается в том, что банки в договоре не указывают такие понятия, как простые и сложные проценты каждый потенциальный вкладчик должен обращать внимание на все условия договора. Если в договоре указано, что проценты выплачиваются по окончании срока действия договора, соответственно, капитализация по такому договору не предусмотрена.

В большинстве финансовых расчетов менеджерам приходится сталкиваться со сложным, а не с простым процентом. Если сумму, начисляемую по процентам, каждый раз инвестировать (капитализировать), иначе говоря, присоединять к основной сумме, т.е. в качестве приращения использовать не постоянную величину, как в случае простого процента, а процентную ставку от всей накопленной предыдущей суммы, то в данном случае речь будет идти о сложной процентной ставке.

Сложная процентная ставка – такая ставка, при которой процент начисляется на постоянно нарастающую базу с учетом процентов, начисленных в предыдущие периоды ("проценты на проценты").

Последовательность расчетов по сложной ставке процента в общем виде такова:

сумма, начисленная за первый год: ;

сумма, начисленная за второй год: .

В общем случае

Заметим, что при фиксированной процентной ставке инвестирование на один период, соответствующий процентной ставке по сложным и простым процентам, приводит к одному и тому же наращенному значению. Поэтому начисление сложных процентов эквивалентно начислению простых при реинвестировании средств в конце каждого периода.

Итак, справедлива следующая формула, называемая формулой сложных процентов:

где – наращенная по сложным процентам сумма; – основной капитал; r – процентная ставка за период; t – срок (в периодах, соответствующих процентной ставке); – множитель наращения .

Примечание. Нестабильность экономической ситуации вынуждает использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов.

В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле

где – последовательные значения ставок процентов; – периоды, в течение которых используются соответствующие ставки.

Формула дисконтирования по сложным процентным ставкам имеет следующий вид:

Пример. 250 тыс. долл. США инвестированы на четыре года под 6% годовых. Вычислите сложные проценты, начисленные к концу срока.

Решение.

Использование в финансовых вычислениях простых и сложных процентов дает неодинаковые результаты; различия между ними обусловлены сроками сделок. Так, при равной величине простых и сложных процентных ставок (), при сроке ссуды менее одного года () наращенная сумма, вычисленная по простым процентам, будет больше наращенной суммы, вычисленной по сложным процентам. При сроке сделки больше года () наращение по сложным процентам опережает наращение по простым процентам, ибо в этом случае

где в фигурных скобках раскрыто по формуле бинома Ньютона.

Будущая стоимость и частота капитализации

Как правило, в финансовых контрактах фиксируется годовая процентная ставка, хотя проценты при этом могут начисляться по полугодиям, кварталам, месяцам и т.д. Очевидно, что чем чаще проценты капитализируются, тем быстрее растет стоимость соответствующего актива. Годовая ставка в этом случае должна быть соответствующим образом преобразована. Так, если годовая ставка процента 12%, то при полугодовом варианте капитализации она составит 6 при квартальном – 3% и т.д.

Для расчета будущей стоимости, например, при полугодовой капитализации можно представить, что сумма РV инвестируется на два периода с процентной ставкой r/2 за каждое полугодие. Таким образом, следует рассчитать будущую стоимость FV через два периода (полугодия). Обобщив, можно сказать, что если т – число периодов капитализации в году, то будущая стоимость FV через t лет при ставке г процентов в год, выражается формулой

Пример. Вкладчик размещает в банке 1000 долл. США под 20% годовых. Какую сумму денежных средств он будет иметь на своем счете через пять лет, если сложный процент начисляется: а) ежеквартально; б) ежемесячно?

Решение.

Как следует из приведенного примера, чем чаще периодичность начисления сложного процента, тем бо́льшую сумму получит инвестор за тот же период времени при одинаковой годовой процентной ставке.

Непрерывное начисление процентов

Сложный процент может начисляться достаточно часто. Если периодичность начисления процента будет стремиться к бесконечности (т → ∞), получим случай непрерывного начисления процента. Несмотря на то, что логически непросто представить себе частоту начисления процента, равную бесконечности, математически возможно определить ту сумму средств, которую получит инвестор, если разместит денежные средства на условиях непрерывно начисляемого процента. В частности:

При непрерывном начислении процентов , следовательно, . В этом случае Нетрудно убедиться в том, что множитель наращения действительно ограничен в росте по мере увеличения параметра т. Читатель сможет это сделать самостоятельно, например, для частного случая, когда и . Уже при множитель наращения будет равен 2,717, а при примет значение 2,718 .

Непрерывное наращение – допущение, существующее только в теории и применяющееся в финансовых моделях, таких, как, например модель определения стоимости опционов (см. гл. 4).

Эффективная (фактическая) процентная ставка

Итак, мы выяснили, что чем чаще происходит капитализация, тем быстрее растет будущая стоимость. Эффективная процентная ставка позволяет сравнивать финансовые операции с различной частотой начисления и неодинаковыми процентными ставками.

Эффективная ставка процента () – совокупно начисленная за год процентная ставка, которая эквивалентна годовой процентной ставке при капитализации чаще, чем один раз в год.

Эта последняя известна так же как номинальная, или заявленная, ставка процента. Эффективная и номинальные ставки эквивалентны, когда обеспечивают одинаковую будущую стоимость. Таким образом, для того, чтобы найти эффективную ставку процента, необходимо, очевидно, решить следующее уравнение:

В левой части данного уравнения показана будущая стоимость (через один год) 1 ден. ед., на которую начисляется эффективная процентная ставка, а в правой части – будущая стоимость 1 ден. ед., на которую начисляется сложный процент в течение т периодов при ставке за период. Так как т периодов в совокупности составляют год, то рассматриваемое уравнение отражает совершенно естественное требование того, чтобы оба эти значения будущей стоимости были равны.

Для произвольного количества лег () имеем

Эффективная процентная ставка часто используется для сравнения инвестиционных альтернатив при разных процентных ставках и периодах капитализации. Рассчитав в этом случае эффективные ставки процента, предпочтение должно быть отдано (при прочих равных условиях) варианту с бо́льшим значением эффективной (фактической) ставки процента.

Пример. Предположим, что вы планируете инвестировать 100 000 долл. США, и имеете возможность вложить их под 12% годовых с ежемесячной капитализацией. Есть и другой вариант: можете вложить свои средства под 12,4% годовых с полугодовой капитализацией. Какой вариант предпочесть?

Для ответа вычислим эффективные ставки процента по обоим вариантам:

Сравнительный анализ результатов расчетов свидетельствует о более высокой эффективности второго инвестиционного варианта вложения средств.

Определение неизвестной процентной ставки

В некоторых финансовых расчетах инвесторы для обоснования своих решений сталкиваются с необходимостью определения неизвестной процентной ставки, связывающей конкретные значения настоящей (приведенной) и будущей стоимости при известном сроке их разделяющем. Например, некоторые виды облигаций требуют платежа сегодня и предполагают будущий платеж на заданную сумму, но подразумеваемая при этом процентная ставка не указывается, и поэтому ее приходится рассчитывать.

Это можно сделать после соответствующего преобразования формулы, связывающей настоящую (приведенную) и будущую стоимости. В результате получим

Пример. Вам предлагают инвестировать денежные средства, гарантируя удвоить их объем через пять лет. Целесообразно ли последовать данному предложению, если у вас имеется альтернативная возможность размещения денег под 14% годовых?

Решение.

Следовательно, сделанное предложение экономически выгодно.

Определение неизвестного числа периодов

Иногда финансовым менеджерам требуется вычислить, какое время понадобится для того, чтобы инвестированная в конкретный проект сумма достигла, при известной процентной ставке, определенного (заданного) размера. Например, менеджера пенсионного фонда, располагающего конкретным объемом денежных средств сегодня для обеспечения будущих пенсионных платежей, может интересовать, за какой период эти средства вырастут до некоторой величины, позволяющей обеспечить выполнение обязательств фонда. Здесь, как и в предыдущем случае, решение может быть найдено из уравнения, связывающего настоящую (сегодняшнюю) и будущую стоимости:

Перепишем ее следующим образом:

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей равенства:

Согласно свойству логарифма запишем

Решение этого уравнения для t дает

Пример. В начале года инвестор открывает в банке депозит на сумму 10000 долл. США с целью получения по счету 11881 долл. Банк начисляет 9% годовых, капитализация процентов осуществляется в конце каждого года. На какой период времени следует открыть депозит?

Решение.

Для приблизительного расчета количества дискретов (периодов) времени, требуемых для удвоения инвестиций, можно воспользоваться известным "правилом 72", дающим очень хорошее приближение. Искомая величина здесь может быть рассчитана делением числа "72" на ставку процента, задаваемую в процентах.

• Значение множителя наращения (1 + г)", а также обратного ему коэффициента дисконтирования 1/(1 + г)" табулированы и приводятся практически в любом учебном пособии по финансовым вычислениям (приложение 1).
• Экспонента е имеет бесконечное число знаков после запятой: 2,71828182845904523536287...