Перейдем к вопросу о сглаживании временных рядов экономических показателей. Очень часто уровни рядов динамики колеблются, при этом тенденция развития экономического явления во времени скрыта случайными отклонениями уровней в ту или иную сторону. С целью четко выявить тенденцию развития исследуемого процесса, в том числе для дальнейшего применения методов прогнозирования на основе трендовых моделей, производят сглаживание (выравнивание) временных рядов. Таким образом, сглаживание можно рассматривать как устранение случайной составляющей  t из модели временного ряда.

Самым простым методом механического сглаживания является метод простой скользящей средней. Сначала для временного ряда y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n определяется интервал сглаживания т (т < п). Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим; интервал сглаживания уменьшают, если нужно сохранить более мелкие колебания. При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечетным. Для первых т уровней временного ряда вычисляется их средняя арифметическая; это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вычисление средней арифметической и т.д.

Для вычисления сглаженных уровней ряда применяется формула

при нечетном m ;

для четных т формула усложняется.

В результате такой процедуры получаются п - т + 1 сглаженных значений уровней ряда; при этом первые р и последние р уровней ряда теряются (не сглаживаются).

Особенность метода экспоненциального сглаживания заключается в том, что в процедуре нахождения сглаживания i -го уровня используются значения только предшествующих уровней ряда (i -1, i -2,…), взятые с определенным весом, причем вес наблюдения уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда.

Если для исходного временного ряда y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n соответствующие сглаженные значения уровней обозначить через S t , t = 1,2, …, п, то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле

здесь S 0 – величина, характеризующая начальные условия.

В практических задачах обработки экономических временных рядов рекомендуется выбирать величину параметра сглаживания в интервале от 0,1 до 0,3.

Пример 4.4. Вернемся к примеру 1, в котором рассматриваются квартальные объемы продаж компании «Lewplan». Мы уже выяснили, что этим данным отвечает аддитивная модель, т.е. фактически объемы продаж можно выразить следующим образом:

Y = U + V + E.

Для того чтобы элиминировать влияние сезонной компоненты, воспользуемся методом скользящей средней. Просуммировав первые четыре значения, получим общий объем продаж в 1998 г. Если поделить эту сумму на четыре, можно найти средний балл продаж в каждом квартале 1998 г., т.е.

(239 + 201 +182 + 297)/4 = 229,75;
(201+182+297+324)/4 и т. д.

Полученное значение уже не содержит сезонной компоненты, поскольку представляет собой среднюю величину за год. У нас появилась оценка значения тренда для середины года, т.е. для точки, лежащей в середине между кварталами II и III. Если последовательно передвигаться вперед с интервалом в три месяца, можно рассчитать средние квартальные значения на промежутке апрель – март 1998 (251), июль – июнь 1998 (270,25) и т.д. Данная процедура позволяет генерировать скользящие средние по четырем точкам для исходного множества данных. Получаемое таким образом множество скользящих средних представляет наилучшую оценку искомого тренда.

Теперь полученные значения тренда можно использовать для нахождения оценок сезонной компоненты. Мы рассчитываем:

Y – U = V + E .

К сожалению, оценки значений тренда, полученные в результате расчета средних по четырем точкам, относятся к нескольким иным моментам времени, чем фактические данные. Первая оценка, равная 229,75, представляет собой точку, совпадающую с серединой 1998 г., т.е. лежит в центре промежутка фактических значений объемов продаж во II и III кварталах. Вторая оценка, равная 251, лежит между фактическими значениями в III и IV кварталах. Нам же требуются десезонализированные средние значения, соответствующие тем же интервалам времени, что и фактические значения за квартал. Положение десезонализированных средних во времени сдвигается путем дальнейшего расчета средних для каждой пары значений. Найдем среднюю из первой оценок, центрируя их на июль – сентябрь 1998 г., т.е.

(229,75 + 251)/2 = 240,4.

Это и есть десезонализированная средняя за июль – сентябрь 1999 г. Эту десезонализированную величину, которая называется центрированной скользящей средней , можно непосредственно сравнивать с фактическим значением за июль – сентябрь 1998 г., равным 182. Отметим, что это означает отсутствие оценок тренда за первые два или последние два квартала временного ряда. Результаты этих расчетов приведены в табл.4.5.

Для каждого квартала мы имеем оценки сезонной компоненты, которые включают в себя ошибку или остаток. Прежде чем мы сможем использовать сезонную компоненту, нужно пройти два следующих этапа. Найдем средние значения сезонных оценок для каждого сезона года. Эта процедура позволит уменьшить некоторые значения ошибок. Наконец, скорректируем средние значения, увеличивая или уменьшая их на одно и тоже число таким образом, чтобы общая их сумма была равна нулю. Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной компоненты в целом за год.

Таблица 4.5. Оценка сезонной компоненты

Таблица 4.6. Расчет средних значений сезонной компоненты

Корректирующий фактор рассчитывается следующим образом: сумма оценок сезонных компонент делится на 4. В последнем столбце табл. 4.5 эти оценки записаны под соответствующими квартальными значениями. Сама процедура приведена в табл. 4.6.

Значение сезонной компоненты еще раз подтверждает наши выводы, сделанные в примере 4.1 на основе анализа диаграммы. Объемы продаж за два зимних квартала превышают среднее трендовое значение приблизительно на 40 тыс. шт., а объемы продаж за два летних периода ниже средних на 21 и 62 тыс.шт. соответственно.

Аналогичная процедура применима при определении сезонной вариации за любой промежуток времени. Если, например, в качестве сезона выступают дни недели, для элиминирования влияния ежедневной сезонной компоненты также рассчитывают скользящую среднюю, но уже не по четырем, а по семи точкам. Эта скользящая средняя представляет собой значение тренда в середине недели, т.е. в четверг; таким образом, необходимость в процедуре центрирования отпадает.

Санкт-Петербургский юридический институт (филиал) Академии

Генеральной прокуратуры Российской Федерации

Кафедра общегосударственных и социально-экономических

дисциплин

Е.А. Разумовская

Обработка динамических рядов

Практикум по курсу

«Правовая статистика»

Часть 2

Санкт-Петербург

ОБРАБОТКА ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ

1. ОПИСАНИЕ РАБОТЫ

Цель работы

Анализ статистики преступности для выявления закономерностей, тенденций и прогнозирования развития процесса.

Метод выполнения

Обработка исходных данных методами укрупнения ,сглаживания исмыкания .

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ

Изучение статистики преступности имеет большое практическое значение. Анализ закономерностей развития этого процесса дает возможность правоохранительным органам прогнозировать будущее развитие преступности, оптимально распределять силы и средства для борьбы с ней.

Преступность – это сложный общественный процесс, его развитие определяют различные факторы, в первую очередь – экономические. Динамика (т.е. развитие во времени) преступности зависит также от политической ситуации, исторических традиций, наличия особо криминогенных зон и объектов. Деятельность правоохранительных органов тоже можно отнести к факторам, влияющим на развитие преступности.

Трудность анализа состоит в том, что на основные тенденции развития процесса накладываются случайные отклонения, колебания и выбросы. Основная задача статистической обработки состоит как раз в отсечении этой случайной компоненты и выявления основных тенденций, закономерностей развития. Именно такая обработка исходных данных должна быть проведена в данной работе.

Понятие динамического ряда

Ряд в статистике – это упорядоченная совокупность числовых данных, полученных при наблюдении изучаемого явления.

Ряды позволяют производить следующие статистические исследования:

сравнение явлений в процессе их развития во времени,

сравнение явлений по различным их формам и видам,

выявление взаимной зависимости явлений или зависимости от общей причины.

Пример явления, развивающегося во времени: число зарегистрированных преступлений данного вида на данной территории. Если регистрировать количество преступлений регулярно на протяжении достаточно длительного промежутка времени, затем правильно обработать полученный ряд данных, то можно выявить тенденции развития процесса, спрогнозировать будущие изменение ситуации и заранее подготовить адекватные меры борьбы с преступностью.

Процесс развития, изменения или движения социальных явлений во времени в статистике принято называть динамикой .

Динамический ряд - упорядоченная совокупность значений выбранного статистического показателя, изменяющихся во времени.

Величины ряда могут характеризовать явление по-разному:

Интервальный ряд отражает величину показателей, полученных за определённые периоды (интервалы) времени.

Например, ряд, содержащий количество гражданских дел, рассмотренных в суде за каждый месяц календарного года.

Моментный ряд характеризует уровни правового процесса на определенные моменты времени (даты отчета).

Например, количество заключенных на начало каждого календарного года.

Важнейшее условие построения и исследования рядов динамики – это однородность (сопоставимость) значений, относящихся к различным периодам.

Однородность во времени требует, чтобы значения ряда соответствовали показателю, характеризующему явление, за один и тот же отрезок времени, или чтобы соседние значения ряда были разнесены во времени друг от друга на равные промежутки.

Однородность в пространстве требует, чтобы территория, которую характеризует каждый показатель ряда, не изменялась на исследуемом временном отрезке.

Однородность по кругу охватываемых объектов требует, чтобы данные рядов относились к одинаковому количеству объектов (людей, административных единиц, возрастному промежутку и т.д.)

Однородность по сущности исследуемых величин требует, чтобы на рассматриваемом временном отрезке не изменялось уголовное законодательство.

Однородность по методологии требует, чтобы на рассматриваемом временном отрезке не изменялась методика получения показателя.

Методы укрупнения и сглаживания динамических рядов

Укрупнение и сглаживание – это математические операции над данными динамического ряда, которые позволяют выявлять тенденции, т.е. наиболее медленные составляющие изучаемого процесса, которые наблюдаются на фоне быстрых случайных всплесков и колебаний.

Такой подход к динамическому ряду, описывающему социальное явление, означает, что явление рассматривается как арифметическая сумма быстро и медленно меняющихся процессов.

РЯД(t ) = МЕДЛ(t ) + БЫСТР(t )

Целью обработки динамического ряда является разделение этих слагаемых. Во многих случаях такая модель социальных явлений правомерна.

Укрупнение динамического ряда - разбиение исходного ряда на неперекрывающиеся группы соседних данных (пары, тройки, и.т.д.), а затем вычисление суммы внутри каждой группы.

Получается новый ряд, число значений в котором будет меньше исходного в два, три или более раз, соответственно. Рассмотрим пример статистики женщин, совершивших преступления в период 2008 – 2010 годов по полугодиям.

Наблюдаются сезонные колебания данных, для выявления тенденции применим укрупнение: сгруппируем данные по 2 и сложим в каждой группе.

Исходный ряд :x 1 = 110 210,x 2 = 90 624,…,x 6 = 77 916.

Укрупнение по 2 :y1 = 110 210 + 90 624 = 200 834,

y2 = 105 796 + 66 406 = 194 202,

y3 = 94 459 + 77 916 = 172 375.

Получим данные по годам, а не по полугодиям: вместо 6 чисел - 3, но стала явно видна тенденция к снижению показателя. Аналогичным образом можно проводить укрупнение по 3, 4 и более периодов в одной группе.

Сглаживание динамического ряда - разбиение исходного ряда на перекрывающиеся группы данных по два, три или более смежных значений, (сдвиг по исходному ряду на одно значение), а затем вычисление среднего арифметического в каждой группе (скользящее среднее).

После обработки остается на 1, 2 и т.д. значения меньше в зависимости от величины групп (2, 3,…).

Рассмотрим метод сглаживания на том же примере статистики женщин-преступниц, применим сглаживание по 3 (среднее арифметическое первых трех элементов, затем 2, 3 и 4 и т.д. – это пересекающиеся группы данных).

Сглаживание по 3 :y 1 = (x 1 +x 2 +x 3) / 3 = 102 210,

y 2 = (x 2 +x 3 +x 4) / 3 = 87 609,

y 3 = (x 3 +x 4 +x 5) / 3 = 88 887,

y 4 = (x 4 +x 5 +x 6) / 3 = 79 594.

После сглаживания можно отметить следующее поведение процесса: снижение, стабильность, снова снижение показателя, однако, данных явно недостаточно, чтобы отфильтровать сезонные колебания.

Укрупнение и сглаживание ведут к уменьшению случайных всплесков, особенно хорошо тенденции видны на графиках , построенных по укрупненным или сглаженным данным. Укрупнение применяют к интервальным динамическим рядам, а сглаживание - как к интервальным, так и к моментным рядам.

Метод смыкания динамических рядов

Для изучения закономерностей и тенденций правовых процессов нужны однородные совокупности данных, однако в правовой сфере происходят существенные сдвиги: изменения законодательства, форм учета, укрупнение и разукрупнение территориально-административных единиц (например, изменение перечня тяжких преступлений, объединение субъектов РФ и т.д.). Для компенсации возникшей неоднородности данных используют:

Метод смыкания динамических рядов – выбор промежутка времени, на котором известны старые и новые показатели, принятие его за базовый (100%) и пропорциональный пересчет старых показателей влево, а новых – вправо по временной оси.

Рассмотрим статистику преступности в условном городе Nза 1991 – 1996 годы, ряд не обладает свойством однородности, т.к. в 1994 году законодательно изменился перечень тяжких преступлений.

В переходный год известны показатели по старой и новой форме, примем этот год за базовый и присвоим ему значение 100% (проценты не пишем). Найдем коэффициенты пропорциональности для старых данных по 1994 году: 100 / 80 = 1,25, для новых данных: 100 / 150 = 0,67. Умножим старые данные 1991 – 1993 годов на 1,25, новые данные 1995 – 1996 годов – на 0,67 и получим сомкнутый ряд сопоставимых показателей, по которому можно изучать тенденции процесса.

Исходные данные задачи

В данной работе изучается статистика преступности (криминальная статистика) заданного вида в пределах одного населённого пункта, регистрировавшаяся помесячно на протяжении трех лет. Такой набор статистической информации является типичным примером динамического ряда интервального типа .

В приложении № 1 методического руководства дано общее описание листа Excel, на котором нужно выполнить задание. В приложении № 2 приведена статистическая таблица –сводка количества преступлений 14 видов в двух городах. Информация представлена за три года: два года до изменения территориальных границ городов, один год – после, в первый месяц третьего года (январь) приведена статистика преступлений как в старых, так и в новых границах городов.

Рассмотрим информацию за первые два года - это двадцать четыре целых числа. Обозначим их:

а 1 , а 2 , … , а 24

Как отмечалось в предыдущем пункте, динамический ряд пригоден для статистического анализа, если он соответствует условиям однородности. В нашем случае первичные статистические данные за два года удовлетворяют критерию однородности:

во времени - сведения о количестве преступлений собраны за одинаковые временные интервалы, следующие по порядку один за другим;

в пространстве - данные относятся к одному территориальному объекту в одних и тех же границах;

по сущности – данные относятся к одному классу явлений, в нашем случае, к одним видам преступлений.

Подразумеваются также выполненными следующие условия однородности: неизменность законодательства в части классификации данных преступлений, единство методики сбора и регистрации первичной информации на протяжении всего периода наблюдений.

Укрупнение ряда (кратности 2, 3, 4, 6)

Новый, укрупненный в два раза ряд формируется из исходных данных

а 1 , а 2 , … , а 24 по формуле:

b i / 2 = a i -1 + a i , i = 2, 4, 6, … , 24 (1)

Иными словами, при формировании укрупненного вдвое ряда b первое число исходного рядаa складывается со вторым, третье с четвертым и т.д.

После укрупнения исходного динамического ряда в два раза (кратность равна двум) данных становится в два раза меньше. Таким образом, метод укрупнения позволяет взглянуть на процесс в целом, выделить главное, опустив мелкие детали.

Аналогичным образом можно укрупнить ряд в три, четыре, шесть и более раз (задать различную кратность укрупненного ряда):

c i/3 = a i-2 + a i-1 + a i , i = 3, 6, 9, …, 24 (2)

d i/4 = a i-3 + a i-2 + a i-1 + a i , i = 4, 8, 12, …, 24 (3)

e i/6 = a i-5 + a i-4 + a i-3 + a i-2 + a i-1 + a i , i = 6, 12, 18, 24 (4)

При формировании ряда с исходные данные рядаа разбиваются на группы по три штуки и складываются, для рядаd - в группы по четыре штуки, для рядаe – в группы по шесть штук. Соответственно, рядb получился короче исходного рядаа в два раза, рядс – в три раза, рядd – в четыре раза, рядe – в шесть раз.

Какая же кратность укрупнения является оптимальной? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать временные параметры изменения основной тенденции процесса: продолжительность роста или снижения, периодичность сезонных колебаний и т.д.

В реальных условиях эти параметры сами являются предметом изучения. Поэтому лишь эмпирическим путем можно определить оптимальную кратность укрупнения динамического ряда в нашей задаче. Метод эффективно работает, когда характер процесса (стабильность, рост, снижение и т.д.) проявляются достаточно долго.

Сглаживание ряда (кратности 3, 4, 5)

Сглаженный по три элемента (кратность равна 3) ряд образуется на основе первичных данных по формуле скользящего среднего:

f i = (a i + a i +1 + a i +2) / 3, i = 1, 2, …, 22 (5)

Иными словами, берут первое, второе и третье число ряда a , находят среднее арифметическое (складывают их, и сумму делят на 3), получается первое число рядаf . Затем берут второе, третье и четвертое числа рядаa (со сдвигом на один элемент ряда – поэтому и называется метод скользящего среднего) и, проделав аналогичные операции, получают второй элемент рядаf , и т.д.

Следует обратить внимание на то, что новый ряд на два элемента короче исходного. В соответствии с формулой сглаживание проводится по трем соседним элементам исходного ряда.

Аналогичным образом можно применить сглаживание по четырем, пяти и более элементам (кратность равна 4, 5 и т.д.):

g i = (a i + a i+1 + a i+2 + a i+3) / 4, i = 1, 2, …, 21 (6)

h i = (a i + a i+1 + a i+2 + a i+3 + a i+4) / 5, i = 1, 2, …, 20 (7)

При формировании ряда g исходные данные рядаа берут по четыре штуки и находят их среднее арифметическое, для рядаh - по пять штук. Соответственно, рядf получился короче исходного рядаа на два элемента, рядg – на три элемента, рядh – на четыре элемента.

Так же, как в методе укрупнения, параметр кратности (количество элементов исходного ряда, выбранное для вычисления среднего) нельзя рассчитать заранее, его следует определить эмпирически по полученным результатам.

Сглаженный ряд позволяет изучать средний уровень преступности и может служить основой для прогнозирования будущего развития процесса. Метод сглаживания особенно эффективен для выявления сезонных колебаний и поиска скачков в среднем уровне процесса.

Анализ результатов

После того, как проведена обработка первичных данных по формулам для различной кратности, построены графики укрупненных и сглаженных рядов, наступает следующий этап анализа – выявление тенденции изменения преступности.

I . ВВЕДЕНИЕ

Работа экономиста любой специальности неизбежно связана со сбором, разработкой и анализом статистических материалов. Нередко экономисту самому приходится проводить статистические разработки. Поэтому изучение науки статистики при подготовке специалистов имеет большое значение в системе высшего экономического образования.

Статистика – это сложная и многогранная наука. С точки зрения преподавания ее в высшей школе она включает в себя целый ряд учебных дисциплин. Это – общая теория статистики, экономическая статистика и целая серия отраслевых статистик: промышленная, сельскохозяйственная, торговая, транспортная и т.д. Каждый экономист должен уметь читать статистические цифры и пользоваться ими в своей работе, обосновывать цифрами свои предложения, уметь статистические цифры анализировать. Экономист-аналитик должен в совершенстве владеть методами экономико-математического анализа.

Итак, статистика – это цифры живые, красноречивые. Однако это определение исходит из итогов статистической работы, результатом которой являются статистические цифры.

Статистикой часто называют сам процесс статистической работы – сбор массовых первичных данных, их обработку и анализ, а людей, которые этим занимаются, называют статистиками. В настоящее время статистика является важной отраслью практической деятельности, в которой участвуют много специалистов. Чтобы охарактеризовать, например, как растет продукция промышленности, необходимо каждой фабрике повседневно учитывать произведенные изделия. Данные учета нужно сводить в итоги по группам предприятий, отраслям производства, всей промышленности в целом. Эта работа проводится систематически, с подведением месячных, квартальных, годовых итогов.

В данной курсовой работе мной рассматриваются основные методы сглаживания и выравнивания динамических рядов.

На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Поэтому при анализе динамики речь идет не просто о тенденции развития, а об основной тенденции, достаточно стабильной (устойчивой) на протяжении изученного этапа развития.

Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

В процессе выполнения практической и аналитической частей курсовой работы я использовала для удобства, быстроты и проверки ручных вычислений табличный редакторе Excel.

Microsoft Excel является прикладной программой, предназначенной для работы с таблицами данных, преимущественно числовых.

Табличный процессор позволяет обрабатывать входящие в таблицы данные, а не только представлять их в электронной форме. Вычисления в таблицах Excel осуществляются при помощи формул. Формула может содержать числовые константы, ссылки на ячейки и функции Excel, соединённые знаками математических операций. Формулы применяются для описания связи между значениями, хранящимися в различных ячейках. Расчет по заданным формулам выполняется автоматически. Изменение содержимого какой – либо одной ячейки приводит к пересчету значений всех ячеек, которые с ней связаны формульными отношениями, а при обновлении каких-либо частных данных обновление всей таблицы происходит автоматически. Формула гарантирует, что при последующем редактировании таблицы не нарушит её целостность и правильность производимых в ней вычислений.

II . ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

изучение изменений анализируемых показателей во времени, т.е. их динамика . Эта задача решается при помощи анализа рядов динамики (или временных рядов).

Ряд динамики (или динамический ряд) представляет собой ряд расположенных в хронологической последовательности числовых значений статистического показателя, характеризующих изменение общественных явлений во времени.

В каждом ряду динамики имеются два основных элемента: время t и конкретное значение показателя (уровень ряда) y .

Уровни ряда – это показатели, числовые значения которых составляют динамический ряд. Время – это моменты или периоды, к которым относятся уровни.

Построение и анализ рядов динамики позволяют выявить и измерить закономерности развития общественных явлений во времени. Эти закономерности не проявляются четко на каждом конкретном уровне, а лишь в тенденции, в достаточно длительной динамике. На основную закономерность динамики накладываются другие, прежде всего случайные, иногда сезонные влияния. Выявление основной тенденции в изменении уровней, именуемой трендом, является одной из главных задач анализа рядов динамики.

По времени, отраженному в динамических рядах, они разделяются на моментные и интервальные.

Моментным называется ряд динамики, уровни которого характеризуют состояние явления на определенные даты (моменты времени).

Примером моментного ряда могут служить следующие данные о численности населения.

Численность постоянного населения (на конец года), млн.чел.

Таблица 1

Этот ряд характеризует динамику численности населения России в 1970-1995 гг.

Поскольку в каждом последующем уровне содержится полностью или частично значение предыдущего уровня, суммировать уровни моментного ряда не следует, так как это приводит к повторному счету.

Интервальным (периодическим) рядом динамики называется такой ряд, уровни которого характеризуют размер явления за конкретный период времени (год, квартал, месяц). Примером такого ряда могут служить данные о динамике добычи нефти в РФ.

Добыча нефти в Российской Федерации, млн.т.

Таблица 2

Этот ряд характеризует снижение уровня добычи нефти в России.

Значения уровня интервального ряда в отличие от уровней моментного ряда не содержатся в предыдущих или последующих показателях, их можно просуммировать, что позволяет получить ряды динамики более укрупненных периодов. Например, суммирование уровней добычи нефти за каждый год по данным, приведенным выше, позволяет определить ее добычу за все шесть лет в целом и в среднем за год.

Интервальный ряд, где последовательные уровни могут суммироваться, можно представить как ряд с нарастающими итогами. При построении таких рядов производится последовательное суммирование смежных уровней. Этим достигается суммарное обобщение результата развития изучаемого периода (месяца, квартала, года).

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления.

В некоторых случаях закономерность изменения явления, общая тенденция его развития явно и отчетливо отражается уровнями динамического ряда (уровни на изучаемом периоде непрерывно растут или непрерывно снижаются).

К основным правилам формирования динамических (в том числе и временных) рядов относятся:

· периодизация динамики – это процесс выделения однородных этапов развития

· однокачественность отдельных уровней ряда

· сравнимость уровней ряда (должны быть одинаковые единицы измерения, единая методика расчета, одинаковый круг объектов и др.)

· последовательность и непрерывность во времени уровней ряда.

Временные ряды могут быть представлены в виде трех основных способов:

1. Табличный способ представления

Таблица 3

где t i – моменты t

y i – уровень ряда, характеризует значение изученного показателя на момент времени t i .

2. Графический способ , когда с помощью прямоугольной системы координат откладываются точки (ti ; yi ).

Рис. 1 Фактический уровень урожайности 1986-1995 гг.

Геометрический способ представления имеет преимущество перед табличным своей наглядностью и с помощью эмпирической ломаной мы можем увидеть тенденцию развития изучаемого признака, а также визуально установить (хоть и приблизительно) ту линию, которая максимально приближена к опытным данным, т.е. сглаживает опытные точки или иначе может установить закономерность развития изучаемого признака, устранив субъективные ошибки, зависящие от производителя (аналитика) и составить аналитическую модель.

3. Аналитический способ, т.е. в виде зависимости, которая характеризует зависимость между изучаемым признаком и временным параметром y = f ( t ).

Углубленный анализ временных рядов требует использования более сложных методик математической статистики. При наличии в динамических рядах значительной случайной ошибки (шума) применяют один из двух простых приемов - сглаживание или выравнивание путем укрупнения интервалови вычисления групповых средних. Этот метод позволяет повысить наглядность ряда, если большинство «шумовых» составляющих находятся внутри интервалов. Однако, если «шум» не согласуется с периодичностью, распределение уровней показателей становится грубым, что ограничивает возможности детального анализа изменения явления во времени.

Более точные характеристики получаются, если используют скользящие средние - широко применяемый способ для сглаживания показателей среднего ряда. Он основан на переходе от начальных значений ряда к средним в определенном интервале времени. В этом случае интервал времени при вычислении каждого последующего показателя как бы скользит по временному ряду.

Применение скользящего среднего полезно при неопределенных тенденциях динамического ряда или при сильном воздействии на показатели циклически повторяющихся выбросов (резко выделяющиеся варианты или интервенция).

Чем больше интервал сглаживания, тем более плавный вид имеет диаграмма скользящих средних. При выборе величины интервала сглаживания необходимо исходить из величины динамического ряда и содержательного смысла отражаемой динамики. Большая величина динамического ряда с большим числом исходных точек позволяет использовать более крупные временные интервалы сглаживания (5, 7, 10 и т.д.). Если процедура скользящего среднего используется для сглаживания не сезонного ряда, то чаще всего величину интервала сглаживания принимают равной 3 или 5. https://tvoipolet.ru/iz-moskvi-v-nyu-jork/ - отличная возможность выбрать авиакомпанию на перелет из Москвы в Нью-Йорк

Приведем пример вычисления скользящего среднего числа хозяйств с высокой урожайностью (более 30 ц/га) (табл. 10.3).

Таблица 10.3 Сглаживание динамического ряда укрупнением интервалов искользящим средним

Примеры вычисления скользящего среднего:

1982 г.(84 + 94 + 92) / 3 = 90,0;

1983 г. (94 + 92 + 83) / 3 = 89,7;

1984 г.(92 + 83 + 91) / 3 = 88,7;

1985 г.(83 + 91 + 88) / 3 = 87,3.

Составляется график. На оси абсцисс указываются годы, на оси ординат - число хозяйств с высокой урожайностью. Указываются координаты числа хозяйств на графике и соединяют полученные точки ломаной линией. Затем указываются координаты скользящей средней по годам на графике и соединяются точки плавной полужирной линией.

Более сложным и результативным методом является сглаживание (выравнивание) рядов динамики с помощью различных функций аппроксимации. Они позволяют формировать плавный уровень общей тенденции и основную ось динамики.

Наиболее эффективным методом сглаживания с помощью математических функций является простое экспоненциальное сглаживание. Этим методом учитываются все предшествующие наблюдения ряда по формуле:

S t = α∙X t + (1 - α ) ∙S t - 1 ,

где S t - каждое новое сглаживание в момент времени t ; S t - 1 - сглаженное значение в предыдущий момент времени t -1; X t - фактическое значение ряда в момент времени t ; α - параметр сглаживания.

Если α = 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются; при величине α = 0 игнорируются текущие наблюдения; значения α между 0 и 1 дают промежуточные результаты. Изменяя значения этого параметраможно подобрать наиболее приемлемый вариант выравнивания. Выбор оптимального значения α осуществляется путем анализа полученных графических изображений исходной и выравненной кривых, либо на основе учета суммы квадратов ошибок (погрешностей) вычисленных точек. Практическое использование этого метода следует проводить с использованием ЭВМ в программе MS Excel . Математическое выражение закономерности динамики данных можно получить с помощью функции экспоненциального сглаживания.

В ходе обработки динамического ряда важнейшей задачей является выявление основной тенденции развития явления (тренда) и сглаживание случайных колебаний. Закономерности изменения явления во времени не проявляются в каждом конкретном уровне ряда. Это связано с действием на явления общих и случайных причин. Поэтому для решения этой задачи в статистике существуют следующие методы обработки рядов:

• 1. Метод сглаживания путем укрупнения интервалов во времени.
• 2. Выравнивание рядов динамики методом скользящей средней.
• 3. Метод аналитического выравнивания.

Метод укрупнения интервалов - наиболее простой способ. Он заключается в преобразовании первоначальных рядов динамики в более крупные по продолжительности временных периодов, что позволяет более четко выявить действие основной тенденции изменения уровней. Новые уровни рассчитываются, как средние из укрупненных периодов. Переменная средняя рассчитывается по формулам простой средней арифметической. К примеру, если продолжительность периода равна 3, то переменная средняя будет рассчитана:

Недостатком этого приема является то, что идет потеря информации за счет укорачивания ряда.

Метод скользящей средней - это такая динамическая средняя, которая последовательно рассчитывается при передвижении на один интервал при заданной продолжительности периода.

Последовательность определения скользящей средней:

Формируются укрупненные интервалы, состоящие из одинаковых уровней. Если при расчете средней учитываются три уровня, скользящая средняя называется трехчленной, пять уровней - пятичленной и т.д. Если, предположим, продолжительность периода равна 3, то скользящие средние рассчитываются следующим образом:

Исчисляют первый средний уровень по арифметической простой:

y1 = y1/m, где

y1 - I-ый уровень ряда;

m - членность скользящей средней(продолжительность периода)

Заметим, первая средняя записывается напротив середины первого уровня.

• - Первый уровень отбрасывают, а в исчисление средней включают уровень, следующий за последним уровнем, участвующем в первом расчете. Процесс продолжается до тех пор, пока в расчет не будет включен последний уровень исследуемого ряда динамики y n .
• - По ряду динамики, построенному из средних уровней, выявляют общую тенденцию развития явления.

Отрицательной стороной использования метода скользящей средней является то, что, как и в случае с методом укрупнения идет потеря информации за счет укорачивания ряда. В дальнейшем затруднен прогноз развития явлений, так как нет достаточного математического обоснования для осуществления прогноза.

Более точным способом отображения тенденции динамического ряда является аналитическое выравнивание, т. е. выравнивание с помощью аналитических формул. В этом случае динамический ряд выражается в виде функции у (t), в которой в качестве основного фактора принимается время t, и изменения аргумента функции определяют расчетные значения у t .

Фактическими (или эмпирическими) уровнями ряда динамики называют исходные данные об изменении явления, т. е. данные, полученные опытным путем, посредством наблюдения. Они обозначаются уi. Расчетными (или выровненными теоретическими) уровнями ряда называют значения, полученные в результате подстановки в уравнение тренда значений t, и обозначают их?.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

линейная;

параболическая;

экспоненциальная

• 1. Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.
• 2. Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.
• 3. Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, -устойчивость в изменении показателей относительного роста.

Таким образом, целью аналитического выравнивания является:

• - определение вида функционального уравнения;
• - нахождения параметров уравнения тренда методом наименьших квадратов, где сумма квадратов отклонений фактических уровней от выровненных теоретических на искомой линии должна быть минимальна
• ?(y i - ?) 2 >min;
• - расчет «теоретических», выровненных уровней, отображающих основную тенденцию ряда динамики.

Графическое отображение изменения уровней ряда играет большую роль в применении данного вида выравнивания. Оно позволяет ускорить процедуру анализа и увеличить степень наглядности полученных результатов.

Тенденцию развития социально-экономических явлений обычно изображают кривой, параболой, гиперболой и прямой линией.

Наиболее простой и часто встречающейся в практике является линейная зависимость, описываемая уравнением:

где у i - фактические уровни;

у t - теоретическое значение уровня;

t - периоды времени - фактор времени.

«а» и «в» - параметры уравнения.

Так как «t» известно, то для нахождения «у t » необходимо определить параметры «а» и «в». Их находят методом наименьших квадратов, где сумма квадратов отклонений фактических уровней от выровненных теоретических на искомой линии должна быть min ?(y i - ?) 2 >min; Этому требованию удовлетворяет следующая система нормальных уравнений:

n - количество уровней ряда динамики.

Эту систему уровней можно упростить, если взять t (период времени) таким, чтобы сумма периодов равнялась нулю: Уt = 0.

Для этого необходимо периоды ряда динамики пронумеровать так, чтобы перенести в середину ряда начало отчета времени. В ряду динамики с нечетным числом периодов времени нумерация начинается с середины ряда и с нуля «0», а с четным числом периодов с «-1» и «+1». Тогда уравнения примут следующий вид:

an = Уу, отсюда получим «а»

После нахождения параметров необходимо рассчитать выровненные уровни ряда путем подстановки значения номера периода.

Таким образом, аналитическое уравнение сводится к замене фактических уровней теоретическими.

Анализ рядов динамики предполагает и исследование сезонной неравномерности (сезонных колебаний), под которыми понимают устойчивые внутригодовые колебания, причиной которых являются многочисленные факторы, в том числе и природно-климатические. Сезонные колебания измеряются с помощью индексов сезонности, которые рассчитываются двумя способами в зависимости от характера динамического развития.

При относительно неизменном годовом уровне явления индекс сезонности можно рассчитать как процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных месяцев к общему среднему уровню за исследуемый период: