Всем привет!

Математическое ожидание играет важную роль в трейдинге. Многие недооценивают это показатель. Можно отлично разбираться в фундаментальном и техническом анализе, но при торговле с отрицательным мат. ожиданием трейдер будет обречен на провал. Но в тоже время многие слишком усложняют себе задачу и пытаются рассчитать мат. ожидание там где это совершенно не нужно и при идеальных условиях. Здесь нужно понять одно, идеальных условий в трейдинге не бывает. В данной статье я не буду вас загружать нудными формулами, которые описаны на других сайтах. Я лишь расскажу о том, как, когда и в каких случаях, стоит учитывать мат. ожидание.

Одну формулу в пример я все-таки приведу, чтобы можно было уловить суть. Это один из вариантов, в котором учитывают показатель мат. ожидания.

При расчете мат. ожидания берется следующая формула: вероятность получения прибыли * на среднюю прибыль от одной сделки минус вероятность получения убытков * средний убыток от одной сделки. И если, к примеру, учесть тот факт, что положительных и отрицательных сделок у нас 50 на 50, при этом средняя прибыль 500 пунктов, а средний убыток 250, то получится формула вида: (0,5*500) – (0,5*250) = 250 – 125 = 125.

В данном идеальном варианте мат. ожидание положительное. И на самом деле, очень странно, когда пытаются взять идеальные условия и доказать что нужно делать так-то и так. Например, что обязательно каждая сделка должна быть не меньше чем 1 к 2 (убыток к прибыли). Или средний профит обязательно выше среднего убытка. Мы никогда не сможем точно определить вероятность прибыльной/убыточной сделки. Все необходимые значения мы сможем оценить лишь постфактум на условии статистики. Торговля не сможет вам гарантировать той или иной вероятности по сделке и по профиту.

Все это я рассказываю к тому, что пытаться рассчитать положительное или отрицательное мат. ожидание постфактум, учитывая только вышеуказанные показатели, не совсем верно. На положительные результаты в торговле влияет очень много факторов. Важнее просто грамотно вести статистику, записывать подробный результат и пытаться выяснить почему получился тот или иной итог. Возможно по текущей торговой формации слишком мало положительных сделок. Либо при увеличении показателя риск к прибыли результат был бы положительным. В этом случае важно учесть тот факт, что нужный нам показатель профита действительно будет оправданным и сделка будет срабатывать. Так как вроде бы с точки зрения мат. ожидания все сошлось, но на деле в реальной торговле инструмент не будет доходить до нашего профита, так как он оказался завышенным, либо мы не учли других факторов.

Также я могу сказать следующее, что даже если совершать сделки 1 к 1, то в некоторых случаях они могут быть абсолютно оправданными, если положительных сделок будет больше чем отрицательных. В некоторых моих формациях есть сделки 1 к 1, при этом результат по данным формациям положительный. Поэтому, в некоторых случаях не нужно доверять всему что написано. И когда я вижу утверждение, что можно зарабатывать на рынке лишь тогда, когда риск к прибыли будет не меньше чем 1 к 2, то для меня это звучит странно.

А теперь, еще один простой пример в каких случаях стоит учитывать мат. ожидание. Например, при использовании такого показателя как ATR. Допустим, инструмент превысил свой показатель ATR более чем на 100 %, то в таком случае глупо заходить в позицию, так как с точки зрения мат. ожидания вероятность разворота выше. Либо заходить в позицию в том случае, когда ATR не позволяет вам закрыть позицию, скажем, 1 к 3. Например, если вы понимаете что инструмент прошел 90 % своего ATR и вы явно не сможете забрать ту прибыль которую планировали, не нарушив мат. ожидание. Это обычная математика против которой идти глупо.

В трейдинге нужно всегда стараться чтобы мат. ожидание было положительным. И когда будете анализировать ваши статистические данные, не забывайте про это и вносите коррективы в вашу торговлю верно.

На этом буду заканчивать. Надеюсь, вы уловили суть из моих размышлений 🙂 Подписывайтесь на новости сайта, всем пока.

С уважением, Станислав Станишевский.

Математическое ожидание на Форекс – это величина эффективности торговли трейдера, которая измеряется путём сложения сумм всех прибыльных и убыточных сделок.

Математическое ожидание на Форекс активно используется успешными трейдерами, при составлении торгового плана, для игры на бирже валюты с положительным исходом.

Пример расчёта математического ожидания: 5 прибыльных сделок и 5 убыточных, при соотношении риска к прибыли 1:2. Предположим, что стоп лосс составляет 10 пунктов, а тейк профит – 20. Допустим, мы торгуем 1 лотом. Это значит, что каждая убыточная сделка будет стоить нам $100, а каждая прибыльная – $200.

Рассчитываем математическое ожидание:
(5 x (-$100)) + (5 x $200) = -500 + 1000 = $500

В примере мы совершили одинаковое количество прибыльных и убыточных сделок и получили прибыль. Поразительно, правда? 50% сделок были убыточными, но мы заработали. Почему? В чём магия? Торговый план, который основан на положительном математическом ожидании, обеспечивает весь ваш успех.

Проблема прогнозирования котировок валют

Forex крайне негативно влияет на торговый счёт трейдера. Поэтому математическое ожидание является вашим спасательным кругом на долгосрочной дистанции.

Вы хотите торговать на валютной бирже прибыльно? – В первую очередь вы должны сохранить свои деньги. Использование математического ожидания на Форексе – это основа правильного мани менеджмента. Мани менеджмент позволит вам выжить на рынке и преуспеть в торговле валютой.

Как трейдер торгует и зарабатывает на Forex? Вы оцениваете рынок и вероятность движения цены валюты вверх или вниз, после чего производите механическое действие – открываете ордер на покупку или продажу.

Оценка рынка и расчёт вероятности производится, исходя из поведения цены валюты на графике. Ваши действия (поведение) на рынке называются торговой стратегией. Иначе говоря, вы создаёте собственные правила – триггеры. Триггеры – это ключевые точки на графике, которые служат для вас сигналом для совершения бычьей или медвежьей сделки. Котировка может двинуться в любую сторону, но вы создали жёсткие правила захода в сделку и, таким образом, увеличили вероятность получить прибыль. Что происходит дальше?

Если ваша логика сработала и рынок двинулся в вашу сторону – все отлично. Но природа рынка хаотична и цена пошла против вас. Сколько денег вы готовы потерять, прежде чем поймёте, что ошиблись с прогнозом?

Ловушки математического ожидания на Форексе

Какие математические ловушки на рынке Forex могут быть, если у вас есть торговая стратегия?

Форекс блог Forexone открывает вам 3 самые коварные ловушки математического ожидания на Форекс:

1. Отсутствие стоп лосса.
2. Плавающий стоп лосс (на глаз).
3. Влияние эмоций и психологии на трейдинг.

Давайте рассмотрим детально, в чём коварность каждой ловушки. Оцените роль математического ожидания на Форексе.

Почему надо ставить стоп лосс

Среди некоторых новичков бытует мнение, что стоп лосс ставить не нужно. Зачастую это объясняется тем, что брокер (дилинговый центр) не видит, в каком месте на графике вы решили выходить из сделки, если цена пошла против вас.

Мы уже писали, что нужно выбирать брокера, который регулируется европейскими или американскими контролирующими органами. Во-вторых: за мелкими трейдерами никто не гоняется. Обычно эта параноя возникает у тех трейдером, у которых самые маленькие депозиты, они считают, что если рынок пошел против них – это брокер запустил свою руку, чтобы похитить их драгоценные $100. Увольте.

Почему надо ставить стоп лосс? Потому что это правило, ограничивающее ваш убыток. Ордер стоп лосс – это страховка для торгового счёта. Выше мы писали, что вы везде должны расставить триггеры. Исполнение стоп лосса – это триггер, который означает, что достигнут максимально возможный убыток в торговой сделке. Вы ошиблись. Признайте это и продолжайте торговлю дальше. Опыт успешных трейдеров говорит о том, что если вы получили 3 стоп лосса в день подряд – рекомендуется немедленно остановить трейдинг и заново войти в рынок следующим днем.

Опасность плавающего стоп лосса

Мы выяснили, что использовать ордер стоп лосс рекомендуется каждому трейдеру. Но какой должна быть величина данного ордера? Каждый решает для себя сам, согласно своей торговой стратегии. Существует только одно правило для всех – забудьте про плавающий стоп лосс. Почему?

Применение плавающего стоп лосса в своей торговле уничтожает положительное математическое ожидание на Форекс. Это означает, что ваш мани менеджмент будет подвергнут вашим эмоциям. Когда вы последний раз зарабатывали деньги, находясь под бурным всплеском эмоций? Наверное, это было в казино…

Вот мы подошли к самому страшному яду для своего торгового счёта – влияние эмоций и психологии на успех в торговле на бирже Forex.

Психология трейдинга и эмоции на бирже

Вы замечали за собой, что вам очень тяжело закрывать свои убыточные позиции? Знаете, почему? Потому что вы надеетесь, что рынок вот-вот развернется и котировка пойдёт в вашу сторону. Вы ни в коем случае не хотите смириться с фактом своего неправильного прогноза, до последнего удерживая свою убыточную позицию.

Существует ещё один интересный момент в трейдинге. Понаблюдайте за своими прибыльными сделками. Сколько они длились? Вы должны заметить, что прибыльные сделки длятся гораздо меньше, чем убыточные. Почему? Вы переживаете, что рынок может двинуться против вас и вы потеряете свой заработок. Банальная боязнь потерять свои деньги навевает на вас страх и вы закрываете сделку принудительно с гораздо меньшей прибылью, чем планировалось её закрыть.

Математическое ожидание на Форекс демонстрирует убыточность такого поведения трейдера. Ваши убытки гораздо выше, чем ваши прибыльные сделки – это вопрос времени, когда вы потеряете весь свой торговый депозит. Негативное математическое ожидание означает, что с каждой такой сделкой вы убиваете в себе трейдера. Вскоре вы опять начнёте просматривать сайты с вакансиями на работу.

Главное правило математического ожидания

Главным правилом положительного математического ожидания на Форекс является следующее условие: быстро закрывайте убыточные сделки и давайте прибыли расти, когда сделки уходят в плюс. Не входите в позицию, если вы не уверены, что сможете обеспечить соотношение убыток-прибыль хотя бы 1:2. В долгосрочной перспективе вы оцените всю успешность данного подхода к риск менеджменту и мани менеджменту.

Исключительно все опытные трейдеры используют модели положительного математического ожидания на Форексе.

Математическое ожидание

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности (2.4)

Подчеркнем, что математическое ожидание случайной величины есть некоторое число (постоянная, неслучайная величина ).

Пример 2.5 . Закон распределения случайной величины задан таблично. Найти математическое ожидание.

Решение . По определению

М(ξ) = 0 ∙ 0,08 + 1 ∙ 0,44 + 2 ∙ 0,48 = 1,4.

Для понимания очень полезна механическая аналогия. Трактуя возможные значения случайной величины как координаты точек на оси, а соответствующие им вероятности – как некоторые (вероятностные) массы, можно заметить, что математическое ожидание является аналогом понятия центра массы, то есть является тем «средним, центральным» значением, вокруг которого распределены все возможные значения случайной величины.

Пример 2.6 . Согласно американским статистическим таблицам смертности, вероятность того, что 25-летний человек проживет еще год, равна 0,992 (следовательно, вероятность того, что он умрет, равна 0,008). Страховая компания предлагает такому человеку застраховать свою жизнь на год на сумму 1000$; страховой взнос равен 10$. Найти математическое ожидание прибыли компании.

Решение . Величина прибыли Х есть случайная величина со значениями +10$ (если застрахованный человек не умрет). Составим таблицу распределения вероятностей:

МХ = 10 ∙ 0,992 – 990 ∙ 0,008 = 2.

Ожидаемая средняя прибыль положительна, что дает возможность страховой компании продолжать дело, оставлять резервный капиталь для выплаты страховых сумм, производить административные расходы, получать прибыль.

Пример 2.7 . Игра в рулетку. На колесе рулетки имеется 38 одинаково расположенных гнезд, которые нумеруются так: 00, 0, 1, 2, …, 35, 36. Игрок может поставить 1 доллар на любой номер. Если его номер выиграл, игрок получает 36$ (35$ выигрыша плюс 1$ ставки). Найти математическое ожидание выигрыша игрока.

Решение . Составим таблицу распределения вероятностей:

Игра не является «справедливой», игорный дом, как и страховая компания, обеспечивает себе средний доход на «накладные расходы» и риск.

Пример 2.8 . За дом внесен страховой взнос 200 рублей. Вероятность ему сгореть в данной местности для такого типа домов оценивается, как 0,01. В случае, если дом сгорит, страховая компания должна выплатить за него 10000 рублей. Какую прибыль в среднем ожидает получить компания? На какую прибыль сможет рассчитывать компания, если для получения страховой суммы в размере 10000 рублей она будет брать взнос 100 рублей?

Решение. Ожидаемая средняя прибыль для взноса 200 рублей:

М(Х) = – 9800 ∙ 0,01 + 200 ∙ 0,99 = – 98 + 198 = 100.

То же для страхового взноса 100 рублей.

Возможно, это покажется странным, но в сети очень сложно найти действительно ценную информацию про математическое ожидание в трейдинге. Как правило, все тематические публикации сводятся к перепечатке заблуждений или псевдонаучных идей, которые не имеют никакой практической ценности. Сегодня мы попробуем заполнить этот пробел.

Начнём, пожалуй, с заблуждений и нелепых сравнений, которые портят жизнь начинающим спекулянтам. Не знаю почему, но в русскоязычном Форекс-сообществе многие авторы сравнивают трейдинг с казино и делают закономерный вывод – заработать на рынке невозможно.

Обычно в таких «исследованиях» моделируется игра с монеткой, затем к ней добавляется «фактор спреда» и делается очевидный вывод – ну смотрите же, мат. ожидание получается отрицательным.

Действительно, если позиции открывать наугад, примерно так и будет, но математическое ожидание в трейдинге всегда определяется для конкретной торговой стратегии, т.е. никаких общих оценок на рынке не может быть в принципе.

И вторая распространённая ошибка выражается в попытках сделать торговую стратегию прибыльной путём прямых манипуляций с лотом. Например, в процессе оптимизации сигналов используется динамический объём позиции.

Примечательно, что сторонники этого приёма часто приводят сложные вычисления и графики, якобы доказывающие правоту своей позиции. А поскольку многие начинающие трейдеры от природы любят цифры и уважают математику, они попадают в эту псевдонаучную ловушку. В общем, теряют время.

Как рассчитывается математическое ожидание

Но вернёмся к теме. Как уже отмечалось, математическое ожидание в трейдинге рассчитывается индивидуально для каждой торговой стратегии. Оно показывает, какую прибыль в среднем приносит одна сделка.

В общем случае матожидание рассчитывается в три этапа:

1. Сначала определяется вероятность отработки сделки в плюс (P);
2. Затем потенциальная прибыль умножается на P, а допустимый риск умножается на (1-P);
3. И на последней стадии эти величины складываются.

Например, если у трейдера есть сигналы, которые отрабатываются в 40% случаев, а тейк-профиты/стоп-лоссы по ним равны $10/$3 соответственно, матожидание сделки составит $2,2 (10*0,4 + 3*(1-0,6)).

Таким образом, прежде чем думать над математическим ожиданием в трейдинге, необходимо хотя бы в общих чертах сформулировать правила торговой стратегии. Иначе говоря, точки входа первичны, и пока нет внятного плана, делать какие-либо выводы об эффективности спекуляций категорически нельзя.

Рассмотренный выше пример с постоянными тейк-профитами и стоп-лоссами был теоретическим, но на практике эти величины редко бывают неизменными, т.е. они корректируются в каждой сделке с поправкой на текущую волатильность или дополнительные фильтры.

По этой причине опытные трейдеры определяют математическое ожидание в трейдинге гораздо проще – делят тестовую чистую прибыль на количество всех сделок.

В таблице выше представлены результаты тестирования одной технической системы. Даже не изучая сам шаблон, по этим цифрам сразу становится понятно, что прибыли/убытки по сделкам плавающие, поскольку средний профит/лосс не равен максимальному профиту/лоссу.

Несмотря на то, что терминал MetaTrader уже сделал всю работу (матожидание выигрыша в отчёте выделено отдельной строкой), определим искомую величину самостоятельно. Для этого разделим чистую прибыль на общее количество сделок.

Результат полностью совпал с оценкой тестера - математическое ожидание в трейдинге составляет $1,4 со сделки.

Особенности математического ожидания в трейдинге

Полагаю, с расчётами никаких проблем возникнуть не должно, поэтому пристальное внимание лучше обратить на некоторые специфические нюансы, которые не всегда учитываются в процессе разработки и оптимизации систем.

Во-первых, все базовые тесты на Форекс должны проводиться постоянным лотом. Только такой подход позволяет сделать объективные выводы о работоспособности ключевой идеи.

Справедливо и обратное утверждение – если стратегия плохо себя показывает при торговле постоянным лотом, любые попытки «вытянуть» математическое ожидание в плюс за счёт манипуляций с объёмом позиций в итоге приведут к потерям.

На графике выше представлен результат такого эксперимента. На первый взгляд кажется, что всё нормально – математическое ожидание в трейдинге положительное, да и суммарная прибыль превышает просадку, но если убрать мани-менеджмент и провести чистый эксперимент постоянным лотом, картина кардинально меняется.

Вывод - управлять лотами и играть с вероятностью можно лишь в том случае, если сама базовая идея имеет рациональное зерно. Если его нет, спекулятивный процесс превращается в рулетку, а оптимизация представляет собой ничто иное, как банальную подгонку под историю.

То же самое касается и любых форм мартингейла – он допустим лишь в том случае, если является надстройкой к уже проверенному алгоритму с положительным матожиданием. Если при постоянном лоте оно отрицательное, «мартин» только усугубит ситуацию.

Во-вторых, математическое ожидание в трейдинге тесно связано с объёмом статической выборки. Сразу рассмотрим пример. Предположим, трейдер выбирает одну из двух систем (лоты одинаковые):

1. Первая даёт на сделку $2, при этом за тестовый период она сформировала 500 сигналов;
2. Вторая позволяет зарабатывать со сделки в среднем $10, но за аналогичный период она выдала всего 100 точек входа.

Новички при прочих равных склонны выбирать систему №2, так как она кажется менее трудоёмкой (сделки реже, а прибыль по ним выше), но профессионалы остановятся именно на первой методике, поскольку она имеет за плечами большую надёжную выборку.

И последнее замечание – конкретная величина математического ожидания в трейдинге не должна становиться психологическим якорем, напротив, этот показатель со временем естественным образом меняется, чем даёт нам подсказу о повышении или снижении общей эффективности системы.

Знание основ технического и фундаментального анализа влияет только на процент удачных сделок в общем объеме операций. Но вы можете иметь великолепный результат по соотношению удачных и неудачных сделок и при этом быть постоянно в убытке.

Например, если восемь из десяти ваших сделок заканчиваются прибылью и только две из десяти приносят убытки (процент выигрышных сделок 80 = 8/10 Х 100%), то вас смело можно считать очень хорошим аналитиком. Но при этом если вы в среднем на одной сделке получаете прибыль в 10 пунктов (итого плюс 80 пунктов на 10 сделок) и средний убыток 50 пунктов (итого минус 100 пунктов на 10 сделок), то в целом вашу деятельность нельзя рассматривать иначе как убыточную, несмотря на очевидные аналитические способности. В данном случае вас уже нельзя назвать хорошим трейдером. Так как хороший трейдер не только умеет анализировать рынок, но и управляет своими позициями таким образом, чтобы сумма прибыли всегда перевешивала сумму убытков. С математической точки зрения подобное стремление называется стремлением к положительному математическому ожиданию:

МО = Pw x Sw - Pl х Sl,

где МО - математическое ожидание;
Pw - вероятность получения прибыли;
Sw - средняя сумма прибыли от одной прибыльной сделки;
Pl - вероятность получения убытков;
Sl - средняя сумма убытков от одной убыточной сделки.

Соблюдая, как минимум, равноправное соотношение между суммой прибыли и суммой убытков в расчете на одну среднюю сделку (положительную и отрицательную соответственно), вы получаете возможность работать с денежными средствами, а не играть. Если вы не освоите этот элемент трейдинга, то, даже будучи прекрасным аналитиком, вы обречены на разорение, так как спекулятивный рынок - это рынок профессионалов, а все остальные обречены.

В связи с этим следует привести следующее высказывание Ральфа Винса:

«В играх с отрицательным математическим ожиданием не имеется никакой схемы управления деньгами, которая сделает вас победителем»

Ralph Vince, Portfolio management formulas: mathematical trading methods for the futures, options, and stocks markets.

Знаете ли Вы, что: Вы можете выиграть $100–$1000 или iPhone Xs, приняв участие в бесплатном ежемесячном от NPBFX.

Как правило, любые игры с денежным выигрышем, будь это лотерея, ставки на ипподроме и в букмекерских конторах, игральные автоматы и т.п. являются играми с отрицательным математическим ожиданием. Поэтому участие в любой из них нельзя расценивать как источник стабильного дохода.

У вас может возникнуть закономерный вопрос а каково математическое ожидание финансовых игр? С одной стороны, эти игры обладают всеми внешними атрибутами азартных игр - спрэд и комиссионные являются своеобразными аналогами зеро рулетки. Это дает основание говорить об отрицательном математическом ожидании. Однако финансовые игры имеют одно кардинальное отличие от азартных игр - главным действующим лицом в них является не господин случай, а человек. Если поведение человека прогнозируемо и подчиняется определенным закономерностям, то и рынок может быть прогнозируемым.

Справедливости ради необходимо отметить, что ставки на ипподроме и в букмекерских конторах также необязательно обладают отрицательным математическим ожиданием. Так, шансы одной из хоккейных команд, являющейся лидером национального чемпионата, на победу у другой команды, находящейся в самом низу турнирной таблицы, гораздо выше 0.5. Если при этом вам предлагают заключить пари, где сумма вашего выигрыша в случае победы первой команды будет равна сумме проигрыша в случае победы второй команды, то идеальный вариант подзаработать. С другой стороны, вряд ли найдется желающий заключить с вами это пари на указанных условиях. Сподвигнуть его на это может только изменение денежных ставок.

Для расчета уравнивающего шансы сторон соотношения ставок применим следующую формулу:

где r - ставка первой стороны;
s - ставка второй стороны;
p - вероятность выигрыша первой стороны;
1-p - вероятность выигрыша второй стороны.

Так, если вероятность выигрыша лидера чемпионата у аутсайдера равна 0.9, соотношение ставок первой и второй стороны должно равняться

Таким образом, первый игрок должен поставить 9 жетонов против 1 жетона второго игрока. В этом случае игра будет равноценна для обоих игроков. Однако на практике все выглядит гораздо сложнее. Так, первый игрок может расценивать шансы на победу лидера как 0.95, а второй как 0.857.

Тогда первый игрок будет согласен на ставку 19 к 1, а второй - 6 к 1. Если найдется букмекер или третий игрок, то он может «развести» обоих игроков, сыграв на такой разнице в вероятностных оценках. Произойдет это, конечно же, только при условии, что игроки будут ставить на разные исходы: например, первый - на победу лидера, а второй - на победу аутсайдера. Выглядеть это будет следующим образом: первый игрок поставит на кон 19 жетонов с надеждой в случае удачи заработать 1, а второй поставит 1 жетон с надеждой заработать в случае победы аутсайдера 6 жетонов. Сумма ставки при этом будет составлять 20 жетонов. Если выигрывает команда-лидер, то первый игрок получит доход в размере 1 жетона (плюс возврат ставки в 19 жетонов).

В этом случае букмекер ничего не зарабатывает, но и ничего не теряет. Если же побеждает команда-аутсайдер, то второй игрок получит 6 жетонов. Посредник при этом «прикарманит» оставшиеся невостребованными 13 жетонов (20 он забрал в виде ставок и отдал 6 в виде выигрыша и 1 в качестве возврата ставки). Более того, если не побеждает ни одна команда, т.е. команды играют вничью, букмекер заберет себе обе ставки в размере 20 жетонов (см. табл. 6.1).

На финансовых рынках при большом скоплении игроков и неопределенности результатов подобные ситуации постоянно присутствуют. Поэтому у вас есть шанс поискать в этой «мутной воде» неравновесные соотношения ставок. Значительно облегчает такой поиск наличие инсайдерской информации. Именно такая информация позволяет чувствовать себя достаточно информированным и получить своеобразную точку опоры при оценке шансов на победу и проигрыш.

Кроме этого существуют финансовые инструменты с внутренне присущим положительным математическим ожиданием, которое формируется за счет гарантированного дохода.

Среди всех финансовых инструментов, которые торгуются на рынках, можно отметить обладающие положительным матожиданием, при условии стабильности рыночных цен (табл. 6.2).

Для всех этих инструментов существует валютный риск, если валюта инвестиций отличается от валюты баланса, т.е. валюты, в которой вы рассчитываете финансовый результат своей деятельности.

В качестве примера рассмотрим вариант торговли на рынке FOREX в расчете на положительные свопы.

Во-первых, торговать в расчете на свопы следует в направлении долгосрочного тренда. В противном случае можно попасть в жернова противоположного тренда, когда прибыль по свопам не будет перекрывать убытки, получаемые от негативного изменения спот-курса.

Рассмотрим пример приобретения долларов США против японской йены, по которым долгое время наблюдались значительные положительные свопы, обусловленные более высокими процентными ставками в США по сравнению с Японией.

Из рисунка 6.1 видно, что курс USD/JPY с 1998 по 1999 год включительно находился в медвежьем тренде, а значит, играть на свопах было нельзя. Далее, практически весь 2000 год рынок находился в зоне консолидации, что также останавливает от игры на свопах, хотя если ваши средства значительные, то зоны консолидации тоже могут быть использованы для подобных сделок.

И только в ноябре 2000 года рынок USD/JPY вышел из зоны консолидации, пройдя ключевой уровень сопротивления и сформировав длительное бычье движение.

Итак, примем за точку начала игры на свопах декабрь 2000 года. Последней расчетной датой возьмем декабрь 2001 года. Таким образом, общий период игры на свопах составляет один год.

За это время процентные ставки в США претерпели сильное снижение - с 6.4% в начале периода до 1.75% в его завершении. Средний уровень процентных ставок, таким образом, составил 4.1%. В то же время следует учитывать, что купленные доллары США мы будем размещать на депозитах, а уровень ставок по депозитам ненамного ниже среднего уровня процентных ставок. Примем, что в среднем за год мы размещали на депозит купленные нами доллары под 3.6% (на 50 базисных пунктов ниже среднего уровня процентных ставок).

В Японии уровень процентных ставок за рассматриваемый нами период практически не изменился, и кредит нам обошелся в 1.5% годовых.

По депозитам в долларах, таким образом, мы получим 35 тыс. долл. (1 млн долл. Х 3.5%), а за кредит в йенах заплатим 1.695 млн японских йен (113 млн йен Х 1.5%). Если бы курс йены не изменился, то за йеновый кредит мы бы заплатили 15 тыс. долл.

Таким образом, за год мы бы накопили свопы, которые, кстати, начислялись бы ежедневно в сумме 20 тыс. долл.

На самом же деле, так как курс японской йены за этот период сильно упал, прибыль по свопам выше, приблизительно достигнув 21 тыс. долл.

Согласитесь, весьма неплохая прибавка к пенсии.

Если предположить, что мы держали под залогом для проведения транзакции при покупке спот-контракта 1 млн долл. США против японских йен с кредитным рычагом 1 к 100, всего 10 тыс. долл., полученный доход превысил 200% годовых. Данный процент можно рассчитать также более простым способом - разницу процентных ставок (3.5% - 1.5% = 2%) умножить на величину кредитного рычага (100).

Еще одним применением математического ожидания является использование его при расчете цены входа в сделку. При этом будет сделан, конечно же, целый ряд допущений, которые могут еще со временем и меняться.

Пример. Рассчитаем цену, по которой можно было бы купить некий товар, если известно следующее.

1. Вероятность роста и падения стоимости этого товара мы расцениваем как 50/50.

2. Текущая рыночная цена товара 1.6250-55 (здесь учтен спрэд). Таким образом, если мы будем покупать, цена составит 1.6255, а если продавать-1.6250. Определимся, что стандартный спрэд на минимальном объеме для данного товара составляет 5 пунктов.

3. Уровень сопротивления, по которому мы хотели бы продать ранее купленный товар (можно также использовать другие ценовые ориентиры, каждый из которых будет искомым тейк-профитом), составляет 1.6350. При этом необходимо учитывать, что рынок может не дойти до указанной отметки. Поэтому реальный тейк-профит передвинем немного ниже, допустим на 10 пунктов - до 1.6340 (1.6350 - 0.0010).

4. Уровень поддержки, при проходе которого наша попытка заработать на покупке товара будет признана неудачной и принято соответствующее решение выйти из убыточной сделки, составляет 1.6150 (можно также использовать другие ценовые ориентиры, каждый из которых будет искомым стоп-лоссом). Здесь важно понимать, что простого достижения уровня поддержки для решения о выходе из неудачной позиции недостаточно. Появляется необходимость сделать еще одно допущение - проходом уровня поддержки признается снижение рыночной цены на 25 пунктов ниже уровня поддержки - до 1.6125 (1.6150 - 0.0025). Если же еще учитывать правило исполнения стоп-лоссов, то реальная цена исполнения стопа может оказаться еще ниже. Например, на 5 пунктов. Таким образом, окончательная цена стоп-лосса будет для нас составлять 1.6120 (1.6125 - 0.0005).

Зная все это, рассчитаем цену, по которой мы будем входить в рынок и покупать товар:

Если вас не устраивает вероятность получения прибыли, равная 50%, то вы можете изменить соотношение с 50/50 на другое. Например, 80/20. В этом случае необходимо будет пересчитать цену, по которой желательно совершать покупку.

Максимальное матожидание получения прибыли при покупке на уровне поддержки или при продаже под уровнем сопротивления

Это наиболее ценное знание, которым может на сегодня обладать трейдер. Это именно та точка опоры, которая дает возможность опытным трейдерам принимать рациональные решения по сделкам. И именно поэтому на подступах к уровням сопротивления и поддержки стоят множественные ордера. Здесь, правда, есть один интересный момент, не вполне вписывающийся в теоретический поиск лучшей цены покупки и продажи. Так, если исходить из того, что большинство рыночных участников действуют рационально и заинтересованы в наилучших сделках, цены только и делали бы что скакали от уровня к уровню практически без промежуточных движений (рис. 6.3).

Однако мы знаем, что большая часть рыночных объемов и проведенных сделок обычно лежит примерно посередине между найденными уровнями поддержки и сопротивления. Почему возникает это несоответствие?

Ответ мы найдем у тех же рыночных участников. В любой сделке неизменно участвует две стороны - покупатель и продавец. То, что хорошо для покупателя, как правило, нехорошо для продавца и наоборот. Я здесь не рассматриваю случаи вынужденной продажи, к которой могут прибегать инвесторы, нуждающиеся в деньгах, импортеры и экспортеры в другой валюте, хеджеры в конкретном товаре и т.д. Тогда можно рассчитать, что максимальное положительное математическое ожидание покупателя на уровне поддержки является максимальным отрицательным матожиданием для продавца. Вряд ли вы найдете много таких продавцов. Скорее всего, это будут или недальновидные игроки, или вынужденные рыночные участники. Таким образом, наибольшие объемы сделок действительно будут находиться в зонах, где матожидания прибыли покупателей и продавцов будут как можно больше совпадать. Небольшую подвижку в значениях матожиданий будет играть разница в оценках уровней сопротивления и поддержки, присущая разным рыночным участникам.

Здесь же нельзя не сказать и о вложенности математических ожиданий, рассчитанных для множества различных уровней сопротивления и поддержки. В один и тот же момент времени практически всегда существует несколько значимых ближайших уровней сопротивления и поддержки для одной и той же рыночной цены. Данные уровни можно увидеть, если рассматривать чарты разных временных интервалов.

Так, если мы возьмем уже рассмотренный нами ранее пример, но добавим хотя бы еще один временной отрезок (например, дневные чарты по сравнению с 5-минутными в первом случае) с новыми уровнями поддержки и сопротивления, расчеты матожидания прибыли и цены, где оно достигнет статистически значимой для нас величины, могут привести к совершенно иному результату.

1. Желательная вероятность получения прибыли для нас 80%.

2. Уровень сопротивления составляет 1.6430. Учитывая небольшую сдвижку рынка, который может не дойти до указанного нами уровня, передвинем реальный тейк-профит немного ниже, допустим на 25 пунктовдо 1.6405 (1.6430 - 0.0025). Допуск для дневных чартов возьмем больше, так как здесь увеличивается и погрешность при определении уровней, да и заинтересованные рыночные игроки больше смотрят на этот интервал времени.

3. Уровень поддержки составляет 1.5550. Сделаем допущение - проходом уровня поддержки признается снижение рыночной цены на 40 пунктов ниже уровня поддержки - до 15510 (1.5550 - 0.0040). Реальная цена исполнения стоп-лосса будет еще ниже на величину спрэда и (или) «проскальзывания» рынка, например на 10 пунктов. Таким образом, окончательная цена стоп-лосса будет для нас составлять 1.5500 (1.5510 - 0.0010).

Зная все это, рассчитаем цену, по которой мы будем входить в рынок и покупать товар (для дневных чартов):

Более того, если мы рассчитаем наилучшую цену для продажи товара (с вероятностью 65%), то увидим, что она очень близка к той цене, по которой мы были готовы на 5-минутных чартах покупать (пусть и с вероятностью 80%):

Данный факт также обусловливает разницу в расчетах и восприятии матожиданий различными рыночными участниками и увеличивает подвижность мнений о рыночных ценах.

Если вы не сторонник уровней поддержки и сопротивления и не верите в их существование, а значит, и в практическую пользу приведенных выше расчетов, то, по крайней мере, они дадут вам ориентир при постановке стоп- и лимит-ордеров при обыкновенном управлении активами (money management).

Вместо математического ожидания, использующего в расчете вероятность, которая является отражением субъективной оценки возможности наступления какого-либо события, можно рассчитывать ожидаемую полезность, особенно когда речь идет о принятии человеком экономических или инвестиционных решений.

Ожидаемая полезность вычисляется так же, как и математическое ожидание, однако вместо вероятности здесь применяется субъективный фактор полезности. Полезность является степенью удовлетворения человеческой потребности в чем-либо.

Разница в полезности одного и того же продукта хорошо отражена в следующем примере. Для только что отобедавшего человека полезность стакана воды составляет одну величину и далеко не самую высокую. С другой стороны, для человека, во рту которого в последние два дня не было ни росинки, а губы его потрескались от сухого зноя пустыни, полезность аналогичного стакана воды равна жизни.

Разницу между вероятностью наступления события и его полезностью можно увидеть в попытке решения очень простой житейской проблемы-брать или не брать зонт. Например, перед вами стоит проблема - брать перед выходом на двухчасовую прогулку по улице зонт или нет. Вы оцениваете вероятность дождя из-за пробегающих по небу редких туч как незначительную. Однако вы решили поехать далеко от дома и намерены провести большую часть этого времени на открытом воздухе. И хотя вероятность дождя, а значит, и потребности в зонте незначительна, зонт вы скорее всего возьмете, так как его полезность в случае дождя оцените выше неудобства, связанного с ношением зонта. При этом, естественно, на ваше решение может повлиять множество дополнительных факторов: начиная от прогноза погоды, вчерашней погоды (если вчера вы не взяли зонт при такой же вероятности, но промокли до нитки из-за внезапно хлынувшего дождя), идете вы один или с кем-то (например, если вы мужчина и пригласили на свидание девушку, то наверняка не захотите, чтобы она заболела из-за вашей беспечности и из-за того, что вы решили не брать с собой зонт, в случае, если дождь все-таки пойдет) и т.д. Таким образом, в своих повседневных действиях человек оценивает не столько вероятность наступления того или иного события, сколько полезность предпринимаемых им действий.

С финансовой точки зрения термин «полезность» хорошо виден на классическом примере «петербургского парадокса», который был описан Николаем Бернулли.

Бернулли рассматривал вариант игры между Петром и Павлом. Петр бросает двустороннюю монету и платит Павлу в том случае, если выпадает решка, и так до тех пор, пока не выпадет орел. После первого броска Петр платит 1 доллар, после второго - 2 доллара, после третьего - 4 и т.д. То есть за каждое последующее выпадение решки Петр платит Павлу сумму в два раза большую предыдущей.

Вопрос сколько вы заплатите за то, чтобы занять место Павла в этой игре.

С точки зрения математического ожидания потенциальная прибыль Павла стремится к бесконечности, так как выпадение решки может произойти бесконечное число раз подряд. Так, уже через сорок подбрасываний прибыль Павла в этой игре может превысить 1 млрд долл., а через пятьдесят одно подбрасывание астрономическую сумму 1 трлн долл. Полезность последующего удвоения подобных денег для одного человека уже не имеет значения - триллионом больше будет или на этом игра остановится. Такие деньги один человек будет уже попросту не в силах потратить за всю свою самую долгую жизнь.

Отсюда видно, что с ростом капитала полезность каждого дополнительного доллара падает. Так, полезность 100 долл. для неимущего намного выше, чем полезность тех же 100 долл. для миллионера.

Объяснить разницу в полезности одних и тех же 100 долл. можно и на примере процентного соотношения. Так, если на вашем счету у брокера находится 200 долл. для восстановления первоначального размера счета после потери половины из них возникнет потребность в удвоении капитала: 200 - 100 = 100 (-50%), затем 100 + 100 = 200 (+100%). Сначала вы получите -50%, а затем +100%. Естественно, последний финансовый результат - удвоение счета - получить гораздо сложнее, чем потерять половину.

Если же на вашем счету 1000 долл., то здесь процентное соотношение первоначальной потери и последующей прибыли для восстановления счета будет выглядеть следующим образом: 1000 - 100 = 900 (-10%), затем 900 + 100 = 1000 (+11%). Здесь разница между - 10% и +11% уже не является пропастью, а значит, и более реальна для восстановления первоначального размера инвестиционного счета.

Уменьшение полезности 100 долл. с ростом личного богатства зачастую приводит и к разной оценке риска потерять 100 долл. Для одного человека потеря этих денег может стать потерей всего, а другой даже не заметит их. Первый будет склонен к маленьким ставкам, но с большим возможным выигрышем, т.е. к большому риску. Однако относительно одних и тех же денег более богатый человек согласен будет рискнуть с большей вероятностью. И в любом случае богатый человек будет предпочитать игры с большими ставками, редко мелочась.

За выбор рискованной игры склонный к риску человек будет платить. Вот и получается, что бедные становятся еще беднее, играя в рискованные игры с маленькими шансами на успех.

У петербургского парадокса есть вполне рыночное отражение. Возьмем, например, акции компании АВС, объемы продаж и прибыли которой на протяжении последних трех лет стремительно росли. Если просто экстраполировать эти поистине блестящие финансовые показатели в бесконечность, то можно ожидать, что стоимость акций этой компании будет также стремиться к бесконечности. И, несмотря на абсурдность подобного ожидания, иногда фондовый рынок акций в лице своих многочисленных представителей из когорты инвесторов демонстрирует именно такие ожидания бесконечного положительного математического ожидания и бесконечной ожидаемой полезности. Для этого достаточно вспомнить любой биржевой бум: от бума железнодорожных акций середины XIX века до «мыльного пузыря» Интернет-акций конца XX века.

Теория полезности объясняет, почему рано или поздно такой бум захлебывается, даже если видимых причин для этого нет, а количество свободных и готовых для инвестирования денег не сокращается. Согласно теории полезности для инвесторов, которые во время бума новых акций уже много заработали, сравнительная полезность каждого дополнительного доллара меньше полезности потенциального убытка и они начинают фиксировать прибыль, тем самым останавливая развитие пирамиды.

Здесь же можно привести прямую аналогию со строительством пирамид. Представим себе, что мы строим свою собственную золотую пирамиду, вкладывая весь свой капитал в строительные блоки, каждый из чистого золота. Как мы знаем, в любой пирамиде каждый верхний блок меньше нижнего блока. Отсюда понятно, что ущерб от снятия нижнего блока больше потенциальной пользы добавления верхнего.

Кстати, игры с нулевым математическим ожиданием обладают отрицательным ожиданием полезности, так как полезность прироста меньше ущерба от возможного убытка аналогичной суммы. Это будет хорошо видно в материале главы, посвященной психологии.