Экономическая теория и математическое моделирование

Такие ситуации возникают при разработке условий финансовой сделки, или когда проценты с наращенной суммы удерживаются непосредственно при выдаче ссуды. Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют учетом, а сами проценты в виде разности наращенной и первоначальной сумм долга дисконтом.

Глава 3. Операции дисконтирования

3.1. Сущность дисконтирования

В финансовой практике часто приходится решать задачи, обратные определению наращенной суммы: по уже известной наращенной сумме (FV ) следует определить неизвестную первоначальную сумму долга (PV ).

Такие ситуации возникают при разработке условий финансовой сделки, или когда проценты с наращенной суммы удерживаются непосредственно при выдаче ссуды. Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют учетом , а сами проценты в виде разности наращенной и первоначальной сумм долга дисконтом (discount ):

D = FV - PV

Термин дисконтирование в широком смысле означает определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину.

Рис. 6. Логика финансовой операции дисконтирования.

Не редко такой расчет называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину PV называют приведенной (современной или текущей) величиной FV . Таким образом, дисконтирование – приведение будущих денег к текущему моменту времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет, а также независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной.

Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции.

Исходя из методики начисления процентов, применяют два вида дисконтирования:

• математическое дисконтирование по процентной ставке;
• банковский учет по учетной ставке.

Различие в ставке процентов и учетной ставке заключается в различии базы для начислений процентов:

• в процентной ставке в качестве базы берется первоначальная сумма долга:

i = (FV - PV) / PV

• в учетной ставке за базу принимается наращенная сумма долга:

d = (FV - PV) / FV

Проценты, начисленные по ставке процентов, называются антисипативными , а по учетной ставке – декурсивными .

Учетная ставка более жестко отражает временной фактор, чем процентная ставка. Если сравнить между собой математическое и банковское дисконтирование в случае, когда процентная и учетная ставка равны по своей величине, то видно, что приведенная величина по процентной ставке больше приведенной величины по учетной ставке.

3.2. Математическое дисконтирование

Математическое дисконтирование – определение первоначальной суммы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процентной ставки (i ), позволит к концу срока получить указанную наращенную сумму:

для простых процентов

PV = FV: (1 + n i) = FV 1 / (1 + n i) =

FV (1 + n i) -1 = FV k д ,

где k д – дисконтный множитель (коэффициент приведения) для простых процентов.

Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы. Поскольку дисконтный множитель (множитель приведения) зависит от двух аргументов (процентной ставки и срока ссуды), то его значения легко табулируются, что облегчает финансовые расчеты.

Пример. Через 150 дней с момента подписания контракта необходимо уплатить 310 тыс. руб., исходя из 8% годовых и временной базы 360 дней. Определить первоначальную сумму долга.

Решение:

Поскольку срок ссуды менее года, то используем формулу простых процентов:

PV = FV 1 / (1 + t / T i) =

310"000 1 / (1 + 150 / 360 0,08) = 300"000 руб.

PV = FV k д = 310"000 0,9677419 = 300"000 руб.

Таким образом, первоначальная сумма долга составила 300 тыс. руб., а проценты за 150 дней – 10 тыс. руб.

для сложных процентов

PV = FV (1 + i) -n = FV k д ,

где k д – дисконтный множитель для сложных процентов.

Если начисление процентов производится m раз в год, то формула примет вид:

PV = FV (1 + j/m) -m n

Пример. Через два года фирме потребуется деньги в размере 30 млн руб., какую сумму необходимо сегодня поместить в банк, начисляющий 25% годовых, чтобы через 2 года получить требуемую сумму?

Решение:

Поскольку срок финансовой операции составляет более года, что используем формулу приведения для сложных процентов:

PV = FV 1 / (1 + i) n =

30"000"000 1 / (1 + 0,25) 2 = 19"200"000 руб.

или

PV = FV ╥k д = 30"000"000 0,6400000 = 19"200"000 руб.

Таким образом, фирме следует разместить на счете 19"200"000 руб. под 25% годовых, чтобы через два года получить желаемые 30"000"000 руб.

Современная величина и процентная ставка, по которой проводится дисконтирование, находятся в обратной зависимости: чем выше процентная ставка, тем при прочих равных условиях меньше современная величина.

В той же обратной зависимости находятся современная величина и срок финансовой операции: чем выше срок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современная величина.

3.3. Банковский учет

Банковский учет – второй вид дисконтирования, при котором исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт.

Операция учета (учет векселей) заключается в том, что банк или другое финансовое учреждение до наступления платежа по векселю покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т.е. приобретает его с дисконтом. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока его погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг.

Для расчета дисконта используется учетная ставка:

• >простая учетная ставка:

D = FV - PV = FV n d = FV t/T d ,

где n – продолжительность срока в годах от момента учета до даты выплаты известной суммы в будущем.

Отсюда:

PV = FV - FV n d = FV (1 - n d) ,

где (1 - n d) – дисконтный множитель.

Очевидно, что чем выше значение учетной ставки, тем больше дисконт. Дисконтирование по простой учетной ставке чаще всего производится по французской практике начисления процентов, т.е. когда временная база принимается за 360 дней, а число дней в периоде берется точным.

Пример. Вексель выдан на 5"000 руб. с уплатой 17 ноября, а владелец учел его в банке 19 августа по учетной ставке 8%. Определить сумму, полученную предъявителем векселя и доход банка при реализации дисконта.

Решение:

Для определения суммы при учете векселя рассчитываем число дней, оставшихся до погашения обязательств:

Отсюда, определяемая сумма:

PV = FV (1 - t/T d) =

5"000 (1 - 90/360 0,08) = 4"900 руб.

Тогда дисконт составит:

D = FV - PV = 5"000 - 4"900 = 100 руб.

или

D = FV t / T d = 5"000 90/360 0,08 = 100 руб.

Следовательно, предъявитель векселя получит сумму 4"900 руб., а банк при наступлении срока векселя реализует дисконт в размере 100 руб.

• по сложной учетной ставке:

PV = FV ╥(1 - d) n

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, т.к. учетная ставка каждый раз применяется к уменьшаемой на величину дисконта величине.

Пример. Определить величину суммы, выдаваемую заемщику, если он обязуется вернуть ее через два года в размере 55 тыс. руб. Банк определяет свой доход с использованием годовой учетной ставки 30%.

Решение:

Используя формулу дисконтирования по сложной учетной ставке, определяем:

PV = FV (1 - d) n = 55"000 (1 - 0,3) 2 = 26"950 руб.

Заемщик может получить ссуду в размере 26"950 руб., а через два года вернет 55 тыс. руб.

Объединение платежей можно производить и на основе учетной ставки, например, при консолидировании векселей. В этом случае, сумма консолидированного платежа рассчитывается по следующей формуле:

FV oб = ΣFV j (1 - d t j ) -1 ,

где t j – интервал времени между сроками векселей.

Пример. Вексель на сумму 10 тыс. руб. со сроком погашения 10.06, а также вексель на сумму 20 тыс. руб. со сроком погашения 01.08 заменяются одним с продлением срока до 01.10. При объединении векселей применяется учетная ставка 25%. Определить сумму консолидированного векселя.

Решение:

Для использования формулы консолидированного платежа необходимо определить срок пролонгации векселей:

t 1 = 21 (июнь) + 31 (июль) + 31 (август) + 30 (сентябрь) + 1 (октябрь) - 1 = 113 дней,

Тогда, сумма консолидированного векселя:

FV o = ΣFV j (1 - d t j ) -1 =

10"000 (1 - 113/360 0,25) -1 + 20"000 (1 - 61/360 0,25) -1 =

31"736 руб.

Таким образом, сумма консолидированного векселя с датой погашения 01.10 составит 31"736 руб.

В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учетной ставке:

PV 2 = PV 1 (1 + n 1 i) (1 - n 2 d) ,

где PV 1 – первоначальная сумма долга;

PV 2 – сумма, получаемая при учете обязательства;

n 1 – общий срок платежного обязательства;

n 2 – срок от момента учета до погашения.

Пример. Обязательство уплатить через 100 дней сумму долга в размере 50 тыс. руб. с начисляемыми на нее точными процентами по ставке 40%, было учтено за 25 дней до срока погашения по учетной ставке 25%. Определить сумму, полученную при учете обязательства.

Решение:

Следует обратить внимание на различие временных баз, используемых при наращении и учете:

PV 2 = PV 1 (1 + n 1/ i) (1 - n 2 d) =

50"000 (1 + 100/365 0,4) (1 - 25/360 0,25) = 54"516 руб.

Следовательно, сумма, получаемая при учете данного обязательства, составит 54"516 руб.

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/сайт_67509_d83d301c14df6a622d0be91e8c9d2052.doc 4 4 4

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать
56397.		Эстетические взгляды О. Уайльда, их воплощение в романе «Портрет Дориана Грея»	18.92 KB
	Эстетизм для автора «Портрета» всегда был не кредо, а скорее проблемой, и потому в романе он сделал попытку переосмыслить его постулаты. В этом отношении удачным литературным примером стал для него знаменитый роман Ж. К. Гюисманса «Наоборот»
56398.			37 KB
	I аm glad to see you, friends. I like to play games very much. Listen to me and try to guess words which begin with a letter e. g. B. We will play Miss Bells bag. I write the letter B on the board. The first team names an item for that letter scores a point and another for putting it in a correct sentence, e. g. In her bag Miss Bell has a banana.
56399.		Теорема про три перпендикуляри, її застосування при розвʼязанні задач	412 KB
	Ідея цього уроку може бути використана на будь-якому з типів уроку. Така форма проведення уроку потребує попередньої підготовки як збоку вчителя так і з боку учнів. Учні обєднуються в групи по 34 чоловіки кожна група готує презентацію...
56400.		ТЕОРЕМА ПІФАГОРА	109.5 KB
	Наше товариство обіцяє вам, що сума кутів, що прилягають до гіпотенузи, завжди 90º. Ми попереджаємо, що тільки у прямокутному трикутнику застосовується теорема Піфагора, і тільки у ньому гіпотенуза більше катетів, тільки у нас катет...

Инвестиционном анализе

Логика построения основных алгоритмов достаточно понятна и основана на следующей идее. Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы (PV) с условием, что через некоторое время t будет возвращена сумма FV. Эффективность подобной сделки может быть охарактеризована одной из двух величин:

темп прироста:

темп снижения:

.

В финансовых расчётах первый показатель () имеет ещё название «процент», «рост», «ставка процента», «норма доходности», а второй – «дисконт», «ставка дисконтирования», «коэффициент дисконтирования». Очевидно, что обе ставки взаимосвязаны:

Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берётся за базу сравнения: в формуле (8.2) – исходная сумма, в формуле (8.3) – возвращаемая сумма.

Итак, в любой простейшей финансовой сделке всегда присутствуют три величины, две из которых заданы, а одна является искомой.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и процентная ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения или компаундинга. Процесс, в котором задана возвращаемая сумма и коэффициент дисконти-рования, называется процессом дисконтирования. В первом случае речь идёт о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором – о движении от будущего к настоящему (см. рис. 19).

Экономический смысл финансовой операции, задаваемой формулой (8.2), состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции.

Поскольку из формулы (8.2)

,

и , то можно наглядно представить, что время генерирует деньги.

Будущее

Наращивание

Процентная ставка r(t)

Возвращаемая сумма (FV)

Исходная сумма (PV)

Настоящее

Возвращаемая сумма (FV)

Приведенная сумма (исходная) (PV)

Дисконтирование

Дисконтная ставка

Рис. 19. Логика финансовых операций

На практике норма доходности является величиной непостоянной, зависящей главным образом от степени риска, ассоциируемого с данным видом бизнеса, в который инвестирован капитал (чем выше степень риска, тем выше норма доходности). К примеру, наименее рискованными являются вложения в государственные ценные бумаги или в Госбанк, однако норма доходности в этом случае относительно невысока.

Коэффициент дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. При этом искомая величина (PV) показывает как бы текущую, «сегодняшнюю» стоимость будущей величины (FV).

Дисконт, связанный с суммовыми величинами (формула 8.3), исполь-зуется главным образом в операциях по учёту векселей банком, т. е. в том случае, если владелец векселя на сумму FV предъявляет его банку, который соглашается учесть его, т. е. купить, удерживая в свою пользу часть вексельной суммы, нередко также называемой дисконтом. В этом случае банк предлагает владельцу сумму (PV), исчисляемую исходя из объявленной банком ставки дисконтирования (). Расчёт этой суммы ведётся по формуле, вытекающей из формулы 8.3:

;

.

К примеру, векселедержатель предъявил для учёта вексель на сумму 10 тыс. грн. со сроком погашения 15.04.2000 г. Вексель предъявлен 31.03.2000г. Банк согласился учесть вексель с дисконтом в 65 % годовых. Тогда дисконтная ставка на 15 дней составит (15/360)·0.65=0,027083. Следовательно, сумма, которую векселедержатель может получить от банка, рассчитывается по формуле (8.4):

PV=10 · (1 – 0,027083) = 9,72917 тыс. грн.

Комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу, в данном примере составили разницу между FV и PV или 270 грн. 83 коп.

FV–PV=10–9,72917=0,27083 тыс. грн.

Стандартным временным интервалом в финансовых операциях является 1 год. Существует две основные схемы наращения капитала:

схема простых процентов;

схема сложных процентов.

Если исходный инвестируемый капитал равен P, а требуемая норма доходности за 1 год – r (как коэффициент в долях единицы от начальной суммы Р), тогда считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину (P·r). Таким образом, размер инвестиционного капитала через n лет Pn будет равен:

Если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты, то в этом случае инвестиция сделана на условиях сложного процента. В этом случае размер инвестированного капитала будет равен:

к концу первого, второго и n-ного года:

.

Инвестирование на условиях сложного процента более выгодно, т. к.

или Pn на условиях простого процента меньше Pn на условиях сложного процента при n > 1.

В первом случае, при применении простого процента, доходы, по мере их начисления, целесообразно снимать для потребления или новой инвестиции, а во втором случае, при использовании сложного процента, инвестированный капитал непрерывно генерирует доходы и постоянно возрастает и не возникает объективная необходимость изъятия начисленных процентов для использова-ния в других инвестиционных проектах.

Формула 8.6 является базовой в финансовых вычислениях. Для удобства пользования ею значения факторного множителя (FM), обеспечивающего наращение стоимости, табулированы для различных значений r и n. При пользовании такими таблицами формула 8.6 имеет вид:

,

где – факторный множитель, экономический смысл кото-рого состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица (1 гривня, 1 доллар и т. п.) через n периодов при заданной процентной ставке r на каждый из этих периодов.

Схема простых процентов используется в практике банковских расчётов при начислении процентов по краткосрочным ссудам (со сроком погашения до 1 года).

К примеру, выдана ссуда в размере 10 тыс. грн. на один месяц (30 дней) под 130 % годовых. Тогда размер платежа к погашению составит:

Норма доходности в долях единицы составит на один год (360 дней). На 30 дней норма доходности должна составить ,

где – норма доходности на один день:

Тыс. грн.

В практике вложений нередко используются внутригодовые процентные начисления, т. е. при выплате дивидендов на вложенный капитал нередко оговаривается не только величина годового процента, но и частота выплаты в течение года. В этом случае расчет ведётся по формуле сложных процентов по подинтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки:

,

где m – количество начислений в году,

n – период реализации инвестиций, лет.

К примеру, в банковский депозит вложены деньги в сумме 10 тыс. грн. на 2 года с полугодовыми начислениями процентов под 20 % годовых. В этом случае начисление процентов производится 4 раза (2 раза в год в течение 2 лет) по ставке 10 % на полугодие (20 % : 2).

Если воспользоваться формулой 8.7, то сумма к концу двухлетнего периода составила бы:

тыс. грн.,

где 0,20/2 – норма доходности в долях единицы в расчёте на одно полугодие.

Можно сделать вывод, что чем чаще начисляются проценты, тем большая будет итоговая сумма при использовании формулы сложных процентов (т. е. в этом случае 12 % годовых не эквивалентны 1 % в месяц, а несколько больше при помесячном их начислении по формуле сложных процентов).

Наращение суммы к исходной инвестиции (вложению) происходит различными темпами в зависимости от частоты начисления процентов, причём с возрастанием частоты накопления сумма увеличивается.

Максимально возможное наращение реализуется при бесконечном дроблении годового интервала.

,

(это важнейшая постоянная математического анализа, относящаяся к группе замечательных пределов – трансцендентное число e = 2,718281, одновременно является основанием натурального логарифма).

Тогда:

.

В пределах одного года при непрерывном начислении процентов можно использовать формулу (n = 1):

Возможности использования в контрактах на инвестиции (вложения) различных схем начисления процентов определяют объективную потребность и необходимость сравнительного анализа эффективности таких вложений с использованием некого универсального показателя для любой из схем начисления.

В сравнительном анализе эффективности вложений используют показатель эффективной годовой процентной ставки , обеспечивающий переход от P к Pn при заданных значениях этих показателей.

В рамках одного года, исходя из формулы 8.7, такой переход реализуется зависимостью:

.

Тогда по определению эффективной процентной ставки:

Приравняв эти формулы, получим:

.

Можно сделать вывод, что эффективная годовая ставка зависит от количества внутригодовых начислений, с ростом которых она также увеличивается.

К примеру, у частного предпринимателя есть возможность получить ссуду на разных условиях:

1) на условиях ежеквартального начисления процентов из расчёта 80% годовых;

2) на условиях полугодового начисления процентов из расчёта 85 % годовых.

Чтобы выяснить, какой вариант более предпочтителен, необходимо рассчитать относительные расходы предпринимателя по обслуживанию ссуды, величина которых оценивается эффективной годовой процентной ставкой. Чем она ниже, тем более предпочтителен вариант (относительные расходы самые маленькие):

;

.

Из расчётов следует, что второй вариант является более предпочтительным.

У предпринимателя всегда есть выбор, куда вложить свободные денежные средства. Такой выбор всегда является выбором того вида бизнеса, вложение средств в который принесёт максимальный доход. При оценке целесообразности таких вложений исходят из того, явится ли такое вложение более прибыльным (при допустимом уровне риска), чем вложения в государственные ценные бумаги, или наоборот, т. е. анализируют будущие доходы при минимальном («безопасном») уровне доходности.

Для этого используют несложные математические методы, основная идея которых заключается в оценке будущих поступлений P n (в виде прибыли, процентов, дивидендов) с позиции текущего момента.

Рыночная экономика предоставляет предприятиям, осущест­вляющим производственную деятельность, возможность разме­щать свои временно свободные денежные средства на условиях срочности, платности, возвратности с целью:

1) получения процентного или дисконтного, а также курсово­го дохода;

2) сохранения денежных средств от инфляционного обесце­нения.

Основными характеристиками любого объекта инвестирова­ния являются:

1) первоначально размещаемая (исходная, номинальная) сум­ма денежных средств (PV);

2) доход в процентном выражении (процентная ставка - г или ставка дисконта - d);

3) единичный промежуток (стандартный интервал) начисле­ния дохода;

4) возвращаемая сумма (сумма погашения) (FV).

В зависимости от того, какие заданы характеристики, изме­няются направления движения денежных потоков, генерируемых инвестицией.

Классификацию процессов инвестирования по способу на­числения дохода наглядно иллюстрирует рисунок.

Процесс инвестирования, в котором заданы исходная (номи­нальная) сумма (PV) и процентная ставка (r), называется процес­сом наращения. Возвращаемая сумма (сумма погашения) называ­ется наращенной суммой (FV). Доход представляет собой разни­цу между возвращаемой и номинальной суммой. Доходность операции характеризует процентная ставка (процент).

Формула наращения имеет следующий вид:

PV + r PV = FV;

FV = PV + r PV;

FV = PV (1 + r).

Процесс инвестирования, в котором заданы возвращаемая сумма (сумма погашения) (FV) и дисконтная ставка (d), называ­ется процессом математического дисконтирования. При этом возвращаемая сумма (сумма погашения) (FV) равна номинальной сумме объекта вложения денежных средств, а исходная сумма (PV) - меньше номинальной. Инвестируемая сумма в данном случае называется приведенной суммой. Доходность операции ха­рактеризует дисконтная ставка (дисконт).

Формула математического дисконтирования имеет следую­щий вид:

PV = FV (1 - d).

Так как процесс дисконтирования является обратным про­цессу наращения, формула дисконтирования является резуль­татом преобразования формулы наращения:

PV + d FV = FV;

PV = FV - d FV;

PV = FV (1 - d).

От математического дисконтирования следует отличать так называемое банковское дисконтирование, под которым понима­ется поиск исходной суммы для наращения заданной суммы по заданной процентной ставке. Формула (банковского) дисконти­рования имеет следующий вид:

PV = FV/(1 + r).

Формула банковского дисконтирования является результатом преобразования формулы наращения:

PV + r PV = FV;

PV = FV/(1 + r).

Применительно к банковскому дисконтированию говорят о дис­контировании по простой или сложной ставке процентов. Взаимосвязь процентной и дисконтной ставки. Процентная ставка, характеризующая доход при наращении, и дисконтная ставка, характеризующая доход при дисконтировании, являются взаимосвязанными и взаимозависимыми. Если известна про­центная ставка, можно рассчитать дисконтную ставку, и наобо­рот.

Из формулы операции наращения (FV = PV + r PV) следует формула определения процентной ставки:

r РV = FV - PV;

r = (FV - PV)/PV.

Из формулы операции дисконтирования (PV = FV - d FV) следует формула определения дисконтной ставки:

d FV - FV - PV;

d = (FV - PV) / FV.

Процентную ставку можно выразить через дисконтную ставку. Если

r PV = FV - PV;

PV = FV - d FV,

r (FV - d FV) = FV - (FV - d FV);

r FV (1 - d) - FV - FV + d FV;

r FV (1 - d) = d FV; r (1 - d) = d.

r = d/(l-d)

Дисконтную ставку, в свою очередь, можно выразить через процентную ставку. Если

d FV = FV - PV;

FV = PV (1 + r),

d PV (1 + r) = PV (1 + r) - PV;

d PV (1 + r) = PV + PV r - PV;

d PV (1 + r) = PV r; d (1 + r) = r.

d = r/(l+r)

Мультиплицирующие и дисконтирующие множители. Для об­легчения расчетов наращенных и дисконтированных сумм со­ставлены таблицы, соответственно, мультиплицирующих и дис­контирующих множителей.

Мультиплицирующий множитель FM 1 (n, r) показывает, во сколько раз увеличится сумма, вложенная на n лет под r процен­тов годовых, т.е. характеризует будущую стоимость одной денеж­ной единицы на конец периода n:

FM 1 (n, r) = (1 + r) n .

Дисконтирующий множитель FM 2 (n, r) показывает, какую долю от наращенной суммы составит начальная сумма, вложен­ная на n лет под r процентов годовых к концу n-го года, т.е. ха­рактеризует приведенную стоимость одной денежной единицы, ожидаемой к получению через л периодов:

FM 2 (n, r) = 1 / FM (n, r) = 1 / (1 + r) n = (1 + r) -n .

Величина FM (n, r) в случае дисконтирующего множителя называется приведенной (текущей, временной) стоимостью одной денежной единицы, вложенной на n лет под r процентов годо­вых. С помощью данной величины можно привести в соответст­вие вложенную и возвращаемую суммы.

Мультиплицирующий и дисконтирующий множители можно рассчитать для срочного аннуитета постнумерандо в одну денеж­ную единицу продолжительностью n периодов.

Мультиплицирующий множитель FM 3 (n, r) характеризует бу­дущую стоимость срочного аннуитета постнумерандо в одну де­нежную единицу продолжительностью n периодов:

Дисконтирующий множитель FM 4 (n, r) характеризует приве­денную стоимость срочного аннуитета постнумерандо в одну де­нежную единицу продолжительностью n периодов.

2. Операции наращения и дисконтирования

В процессе сравнения стоимости денежных средств при их инвестировании и возврате принято использовать два основных понятия: будущая и настоящая стоимость денег.

Будущая стоимость денег - сумма инвестированных в настоящий момент средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом определенной ставки процента. Определение будущей стоимости денег связано с процессом наращения этой стоимости, который представляет собой поэтапное увеличение суммы вклада путем присоединения к первоначальному его размеру суммы процента (процентных платежей). Эта сумма рассчитывается по процентной ставке. В инвестиционных расчетах ставка применяется не только как инструмент наращения стоимости денежных средств, но и в более широком смысле как измеритель степени доходности инвестиционных операций.

Настоящая стоимость денег представляет собой сумму будущих денежных поступлений, приведенных с учетом определенной ставки процента (дисконтной ставки) к настоящему периоду. Определение настоящей стоимости денег связано с процессом дисконтирования этой стоимости, который представляет собой операцию, обратную наращению при обусловленном конечном размере денежных средств. В этом случае сумма процента (дисконта) вычитается из конечной суммы (будущей стоимости) денежных средств. Такая ситуация возникает в тех случаях, когда определяют, сколько средств необходимо инвестировать сегодня для того, чтобы через определенное время получить заранее обусловленную их сумму.

Для того чтобы обезопасить себя от инфляции, риска неполучения дохода, инвестор определяет для себя требуемую норму доходности на вложенный капитал, которая полностью возместит ему все моральные и материальные неудобства. Количественной мерой этой величины является процентная ставка. С ее помощью может быть определена как сегодняшняя (текущая, приведенная) стоимость будущих денежных потоков, так и будущая стоимость “сегодняшних” денег (если деньги будут отданы в кредит). В первом случае говорят об операции дисконтирования, или приведения будущей стоимости к ее современной величине, во втором случав выполняется наращение, поэтому будущую стоимость называют наращенной.

Логика построения основных алгоритмов достаточно проста и основана на следующей идее. Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы РV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма PV. Результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя - прироста (FV - РV), либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальным показателем - ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо РV, либо FV. Таким образом, ставка за время t рассчитывается по одной из двух формул:

В финансовых вычислениях первый показатель имеет названия “процентная ставка”, “ставка процента”, “процент”, “рост”, “норма прибыли”), “доходность”, а второй - “учетная ставка”, “дисконт”. Очевидно, что обе ставки взаимосвязаны, т.е. зная один показатель, можно рассчитать другой:

r= или d= (3)

Оба показателя могут выражаться либо в десятичных дробях, либо (как правило, на практике) в процентах. Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения: в формуле (1)- исходная сумма, в формуле (2)- возвращаемая (ожидаемая) сумма. Из определения показателей следует, что r > 0 и 0<

Степень расхождения между r и d зависит от уровня процентных ставок, имеющих место в конкретный момент времени. Так, если r= 7%, то d= 6,54%, т.е. расхождение сравнительно невелико; если r = 70%, то d= 41,18%, т.е. ставки существенно различаются по величине.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка, в финансовых вычислениях называется наращением, искомая величина - наращенной суммой, а ставка - ставкой наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется дисконтированием, искомая величина - приведенной суммой, а ставка - ставкой дисконтирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к настоящему (рис. 1.1).

Экономический смысл финансовой операции, задаваемой формулой (1), состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Поскольку из формулы (1)

FV=РV (1+ r) (4)

то FV > РV(так как 1 +г >1), т.е. время генерирует деньги.

Величина РУ, определяемая по формуле (1.7), показывает ка1 бы будущую стоимость “сегодняшней” величины РУ при задан ном уровне доходности г,.

Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных временных периодов. Одна из интерпретаций коэффициента дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина РV показывает как бы текущую, “сегодняшнюю” стоимость будущей величины FV.

Отчетность; - статистическая финансовая информация; - несистемные данные. 3.2 Информационное обеспечение деятельности финансового менеджера Основой информационного обеспечения системы финансового менеджмента служит любая информация финансового характера: - бухгалтерская отчетность; - сообщения финансовых органов; - информация учреждений...

И порядок работы финансовых органов; а также позволяющих обеспечить функционирование и дальнейшее развитие механизма формирования и распределения финансовых результатов на твердой законной основе в условиях перехода к рыночной экономике. Механизм формирования и распределения финансовых результатов можно условно разделить на две части: механизм формирования финансовых результатов и механизм...

Смысл, означая совокупность денежных средств, находящихся в распоряжении государства (государственный бюджет), образование и использование которой есть главный инструмент финансового регулирования государством рыночной экономики. Хотя размеры государственных доходов постоянно растут, величина государственных расходов растёт ещё быстрее. Эта диспропорция объясняется направлениями государственного...

Смысл, означая совокупность денежных средств, находящихся в распоряжении государства, образование и использование которой есть главный инструмент финансового регулирования государством рыночной экономики. Основным источником государственных доходов являются налоги, а также предпринимательская деятельность самого государства (доходы от госпредприятий, сдача объектов госсобственности в аренду, ...

Операции наращения и дисконтирования.

Концепция стоимости денег во времени.

Временная ценность денежных вложений относится к одной из основных концепций, используемых в инвестиционном анализе. Необходимость учета временного фактора заставляет особое внимание уделять оценке базовых финансовых показателей. Разность в оценке текущих денежных средств и той же самой их суммы в будущем может быть связана с:

§ негативным воздействием инфляции, в связи с чем происходит уменьшение покупательной способности денег;

§ возможностью альтернативного вложения денежных средств и их реинвестирования в будущем (фактор упущенной выгоды);

§ ростом риска, связанного с вероятностью невозврата инвестированных средств (чем длительнее срок вложения капитала, тем выше степень риска);

§ потребительскими предпочтениями (лучше получить меньше доход в ближайшем периоде, чем ожидать большее, но в отдаленной перспективе).

В планируемом периоде анализ предстоящей реализации различного вида инвестиционных проектов может осуществляться по двум противоположным направлениям. С одной стороны, определяется будущая стоимостная оценка первоначальной величины инвестиций и доходов (дивидендов, процентов, прибыли, денежных потоков и пр.), полученных в результате осуществления этих капиталовложений. С другой стороны, приращенные в ходе инвестирования денежные средства оцениваются с позиции их текущей (настоящей) стоимости. В соответствии с этим в финансово-инвестиционном анализе используются операции дисконтирования и наращения капитала. Принципиальная схема инвестиционного анализа, осуществляемого с учетом временной ценности денежных вложений, представлена на рис. 1.

Рис. 1. Схема проведения инвестиционного анализа с использованием операций наращения и дисконтирования капитала

Операции наращения и дисконтирования.

При разработке оптимальных финансовых решений в определенных ситуациях требуется проведение оценки будущей стоимости инвестированных денежных средств. Нахождение будущей стоимости денежных средств по истечении одного периода времени и при известном значении темпа их прироста осуществляется по формуле

где FV 1 - будущая стоимость денежных средств в конце первого периода инвестирования (t=1), тыс. руб.;

РV - первоначальная (принципиальная) сумма денежных средств, инвестированных в начальный период времени (t = 0), тыс. руб.;

Процесс, в котором при заданных значениях PV и r необходимо найти величину будущей стоимости инвестированных средств к концу определенного периода времени (n) называется операцией наращения. В практике инвестиционного анализа «темп прироста» денежных средств принято называть «процентом», «ставкой процента» или «нормой рентабельности», а первоначальную сумму денежных средств - «текущей стоимостью» (РV).

Из предыдущей зависимости FV 1 от РV темп прироста денежных средств исчисляется по формуле:

Оценка будущей стоимости денежных вложений, инвестированных на срок более одного периода времени, - более сложная задача. Ответ на вопрос, какой будет будущая стоимость денежных средств в n -й период времени, зависит от того, простой или сложный процент будет применяться в расчетах. Использование простого процента (simple interest) свидетельствует о том, что инвестор будет получать доход (наращивать капитал) только с принципиальной суммы начальных инвестиций в течение всего срока реализации проекта. В противоположность данному подходу использование сложного процента (compound interest) говорит о том, что полученный доход (проценты, дивиденды или пр.) периодически добавляется к сумме начальной инвестиции, в результате помимо первоначальной суммы денежных средств процент берется также из накопленной в предыдущих периодах суммы процентных платежей или любого другого вида доходов. В математическом исчислении операция наращения с использованием сложных процентов к концу второго периода реализации проекта определяется по формуле

В конце n-гo периода времени будущая стоимость денежных средств (FV n) исчисляется по формуле:

Данная формула расчета FV n является базовой в инвестиционном анализе. Для облегчения процедуры нахождения показателя FV n предварительно рассчитывается величина множителя (1+r) n при различных значениях r и n. В этом случае FV n находим по формуле:

где FVIFr,n - фактор (множитель) будущей стоимости денежных вложений, коэф.

В инвестиционном анализе под стандартным временным интервалом принято рассматривать один год. В случае же, когда дополнительно оговаривается частота выплаты процентов по вложенным средствам в течение года, формула расчета будущей стоимости инвестированного капитала может быть представлена в следующем виде:

где r - годовая процентная ставка, коэф.;

m - количество начислений в году, ед.;

n - срок вложения денежных средств, год.

Начисление процентов (дивидендов или др.) может осуществляться ежедневно, ежемесячно, поквартально, один раз в полугодие и один раз в год. Характерно, что чем больше количество раз в течение года будут начисляться проценты, тем больше будет FV в конце n-го периода времени. Для целей анализа отношение r/m принято рассматривать в качестве процентной ставки, а произведение - n∙m в качестве срока инвестирования. Этот случай соответствует следующей экономической ситуации.

Пример. Коммерческая организация приняла решение инвестировать на пятилетний срок свободные денежные средства в размере 30 тыс. руб. Имеются три альтернативных варианта вложений. По первому варианту средства вносятся на депозитный счет банка с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 20 % годовых. По второму варианту средства передаются сторонней организации в качестве займа, при этом на переданную в долг сумму ежегодно начисляется 25 %. По третьему варианту средства помещаются на депозитный счет коммерческого банка с начислением сложных процентов по ставке 16 % годовых ежеквартально. Если не учитывать уровень риска, наилучший вариант вложения денежных средств может быть определен при помощи показателя FV n . По варианту I: FV n = 30 тыс. руб. × (1+0,2) 5 = 74,7 тыс. руб. По варианту II: FV n = 30 тыс. руб. + 5 × (30 тыс. руб. × 0,25) = 67,5 тыс. руб. По варианту III: FV n - 30 тыс. руб. × (1+0,16/4) 5∙4 = 65,7 тыс. руб. В данных условиях первый вариант более предпочтителен для предприятия.

Наращение денежных средств имеет максимальное (предельное) значение, когда интервал наращения становится бесконечно малым (количество начислений в году стремится к бесконечности). В этом случае показатель FV n определяется по формуле:

FV n = PV∙e r ∙ n

где е - трансцендентное число е, равное 2,718281...(постоянная величина).

В финансовых расчетах должна учитываться инфляция, тем более если она значительна. С одной стороны, сумма, положенная, например, на депозит, получит приращение, а с другой - утратит свою реальную стоимость в результате инфляции. Для определения наращенной суммы с учетом инфляции используют алгоритм:

где - будущая стоимость денежных средств c учетом инфляции в конце n-ого периода инвестирования, тыс. руб.;

РV - первоначальная (принципиальная) сумма денежных средств, инвестированных в начальный период времени, тыс. руб.;

r - темп прироста денежных средств, коэф.

m - число начислений в году;

h - ожидаемый месячный темп инфляции;

n - число месяцев.

Пример. Предположим, что на депозит положена сумма 1000 тыс. руб. Номинальная годовая банковская ставка равна 16%. Сложные проценты начисляются каждый месяц, т.е. годовая номинальная ставка применяется 12 раз в году (m). Ожидаемый месячный темп инфляции равен 10%. Определим наращенную сумму (с учетом инфляции) через 5 месяцев, а также эрозию капитала (ЭК), или уменьшение реальной стоимости суммы, положенной на депозит :

Эрозия капитала составит: 663,2 тыс. руб. - 1000 тыс. руб. = - 336,8 тыс. руб.

Как и в случае с наращением капитала, для оптимального принятия финансовых решений чрезвычайно важно знать и учитывать в анализе временной интервал дисконтирования. Если начисление процентов планируется (или произошло) более одного раза в год, формулу для нахождения РV необходимо представлять в следующем виде:

Возможности практического использования показателя PV pacкрываются в различных экономических ситуациях, когда возникает необходимость обоснования финансово-инвестиционных решений с учетом временной ценности денежных вложений.

Одна из типичных ситуаций в инвестиционной деятельности хозяйствующих субъектов представлена ниже.

Пример. Коммерческая организация планирует приобрести помещения под склад и офис. Эксперты оценивают будущую стоимость недвижимости в размере 10 млн. руб. По банковским депозитным счетам установлены ставки в размере 18% с ежегодным начислением сложных процентов и 14% с ежеквартальным начислением сложных процентов. При помощи показателя PV можно определить, какую сумму средств необходимо поместить на банковский депозитный счет, чтобы через два года получить достаточную сумму для покупки недвижимости. Расчет оптимального варианта инвестирования осуществляется следующим образом: в первом случае PV = 10 млн руб. × (1/ 2) = 7,18 млн руб.; во втором случае РV = 10 млн. руб.∙(1/ 2 × 4) = 7,59 млн руб. Очевидно, что более выгодным для предприятия является вложение меньшей суммы средств, т.е. первый вариант.

Отношение 1/(1+r) n известно как фактор (множитель) текущей стоимости (РVIFr,n). Стандартные значения РVIFr,n могут быть найдены в специальных таблицах. Формула расчета PV уравнивает, с точки зрения инвестора, ценность денежных средств сегодня и ожидаемого к получению денежного потока в будущем.

При заданной величине дисконтной ставки текущая стоимость денежных потоков достигнет своего минимально возможного значения при непрерывном дисконтировании. В этом случае (когда m => +∞) текущая стоимость исчисляется по формуле.